泰勒公式和泰勒级数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,三、幂级数性质,1 加减法,设,f,(,x,)=和,g,(,x,)=,收敛半径,分别各为,R,1,0和,R,2,0,则,=,f,(,x,),g,(,x,).,收敛半径,R,min,R,1,R,2,.,2,设幂级数 收敛半径,R,0,则在收敛区间(,R,R,)内,其,和函数,S,(,x,),是,连续,函数.,若级数 在端点收敛,则,S,(,x,)在端点单侧连续.,第1页,3 幂级数 和函数,S,(,x,)在收敛区间(,R,R,)内可导,并能够,逐项求导,任意次,且求导后级数收敛半径不变.,即,f,(,x,),=,x,(,R,R,),4 幂级数 和函数,S,(,x,)在收敛区间(,R,R,)内可积,并可,逐项求积分,且积分后级数收敛半径不变.,x,(,R,R,),即,n,=1,(,a,n,x,n,),第2页,注,:,惯用已知和函数幂级数,(1),(,1,x,1),(2),(3),(4),(5),第3页,二、麦克劳林(,Maclaurin,)公式,三、,泰勒级数,一、泰勒公式建立,7.6,泰勒,(,Taylor,),公式与泰勒级数,第4页,4,一次多项式,在微分应用中有近似计算公式:,若,f,(,x,0,)存在,则在,x,0,点附近有,f,(,x,)=,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,),f,(,x,),f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,),+,o,(,x,x,0,),需要处理问题,怎样提升精度?,怎样预计误差?,不足:,1.准确度不高;,2.误差不能定量预计.,希望:,在,x,0,点附近,用适当,高次多项式,P,n,(,x,)=,a,0,+,a,1,(,x,x,0,)+,a,2,(,x,x,0,),2,+,+,a,n,(,x,x,0,),n,f,(,x,),一、泰勒公式,第5页,猜测,2 若有相同切线,3 若弯曲方向相同,近似程度越来越好,n,次多项式系数确实定,1 若在,x,0,点相交,P,n,(,x,0,)=,f,(,x,0,),P,n,(,x,0,)=,f,(,x,0,),P,n,(,x,0,)=,f,(,x,0,),y,=,f,(,x,),假设,P,n,(,k,),(,x,0,)=,f,(,k,),(,x,0,),y,=,P,n,(,x,),x,o,y,x,0,第6页,即有,P,n,(,x,),=,a,0,+,a,1,(,x,x,0,)+,a,2,(,x,x,0,),2,+,+,a,n,(,x,x,0,),n,假设,P,n,(,k,),(,x,0,)=,f,(,k,),(,x,0,),P,n,(,n,),(,x,),=,n,!,a,n,P,n,(,x,),=,a,1,+2,a,2,(,x,x,0,)+3,a,3,(,x,x,0,),2,+,+,na,n,(,x,x,0,),n,1,P,n,(,x,),=2,a,2,+32,a,2,(,x,x,0,)+,+,n,(,n,1,),a,n,(,x,x,0,),n,2,a,0,=,f,(,x,0,),2,a,2,=,f,(,x,0,),n,!,a,n,=,f,(,n,),(,x,0,),k,=0,1,2,3,n,令,x,=,x,0,得,a,1,=,f,(,x,0,),a,0,=,f,(,x,0,),a,1,=,f,(,x,0,),第7页,k,=0,1,2,3,n,代入,P,n,(,x,)中得,P,n,(,x,),=,f,(,x,0,),+,f,(,x,0,),(,x,x,0,)+,(,x,x,0,),2,+,+(,x,x,0,),n,P,n,(,x,),=,a,0,+,a,1,(,x,x,0,)+,a,2,(,x,x,0,),2,+,+,a,n,(,x,x,0,),n,称为函数,f,(,x,)在,x,0,处,泰勒多项式.,k,=0,1,2,3,n,称为泰勒系数,f,(,x,)=,P,n,(,x,)+,o,(,x,x,0,),n,.,第8页,其中,定理1(泰勒中值定理),若函数,f,(,x,)在,x,0,点某邻域,U,R,(,x,0,)内含有直到,n,+1,阶连续导数,则当,x,取,U,R,(,x,0,)内任何值,时,f,(,x,)可按(,x,x,0,)方幂展开为,f,(,x,),=,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,)+,(,在,x,0,与,x,之间),+R,n,(,x,),公式(1)称为函数,f,(,x,)在,x,0,处,泰勒公式.,(1),R,n,(,x,),称为,拉格朗日,(,Lagrange,),余项.,泰勒系数,k,=0,1,2,n,是唯一.,第9页,设,f,(,x,),=,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,)+,k,证,因为,f,(,x,)在,U,R,(,x,0,)内含有,n,+1阶连续导数,作辅助函数,(t,),=,f,(,x,),f,(,t,)+,f,(,t,)(,x,t,)+,(,x,),=0,=,(,x,0,),不妨设,x,0,x,时同理可证,第11页,其中,f,(,x,),=,f,(0)+,f,(0),x,+,1,当,x,0,=0,时,(,在0与,x,之间),或令,=,x,0,1,则,+R,n,(,x,),.,称为函数,f,(,x,),麦克劳林,(,Maclaurin,),公式.,2,f,(,x,),f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,)+,其误差为:,R,n,(,x,),第12页,解,例1*,求,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,n,阶,泰勒公式,.,因为,f,(,n,),(,x,),=,e,x,n,=1,2,3,所以,f,(,n,),(,0,),=,e,0,=1,n,=1,2,3,于是,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,n,阶,泰勒公式为:,其中,0,1.,第13页,定义,假如函数,f,(,x,)在,x,0,某邻域内是存在,任意阶导数,则幂级数,称为函数,f,(,x,)在,x,0,处,泰勒级数.,=,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,),二、泰勒级数,称为函数,f,(,x,),麦克劳林级数.,问题:,泰勒级数在收敛区间是否收敛于,f,(,x,)?,不一定.,第14页,解,例2*,求,f,(,x,),=sin,x在,x,=0,泰勒级数,.,当,n,=2,k,时,f,(2,k,),(0),=sin(,k,)=0,k,=0,1,2,当,n,=2,k,+1时,f,(2,k,+1),(0),=sin(,k,+,),=,(1),k,得,因,=0,于是,R,=+,定理2,f,(,x,)在,x,0,点,泰勒级数,在,U,R,(,x,0,)内收敛于,f,(,x,),在,U,R,(,x,0,)内,R,n,(,x,),0.,第15页,=0,所以 sin,x,=,0,其中,收敛区间为:,(,+,).,x,(,+,).,即,第16页,麦克劳林多项式迫近,sin,x,y,=sin,x,y,=,x,第17页,7.7 初等函数幂级数展开式,一、直接法(泰勒级数法),二、间接法,三、常见函数幂级数展开式,第18页,步骤:,(1)求,f,(,n,),(,x,),n,=0,1,2,(4)讨论,?,并求出其收敛区间.,(3)写出幂级数,利用,泰勒公式,或,麦克劳林公式,将,f,(,x,)展开为幂级数,若,为0,则幂级数在此,收敛,区间内等,于,函数,f,(,x,),;,若,不为0,则幂级数即使,收敛,但它,和不是,f,(,x,).,一、直接法(泰勒级数法),(2)计算,a,n,=,f,(,n,),(,x,0,),n,=0,1,2,第19页,解,例1,将,f,(,x,),=,e,x,在展开成,x,幂级数,.,因,f,(,n,),(,x,),=,e,x,n,=1,2,3,f,(,n,),(,0,),=,e,0,=1,于是,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,麦克劳林级数,为:,其中,0,1,=,0,所以,e,x,=1+,x,+,x,+.,收敛,区间为:,(,+,),第20页,二项展开式,+,+,nx,n,1,+,x,n,(1+,x,),n,=,1+,nx,+,(1+,x,),=,1+,x,+,?,第21页,解,例2,将,f,(,x,),=(1+,x,),展开成,x,幂级数,.,n,=0,1,2,f,(,n,),(0),=,(,1)(,2)(,n,+1),=1,得,(1+,x,),(,n,),=,(,1),(,2,),(,n,+,1)(1+,x,),(,n,),注意:,当,x,=,1时,级数收敛性与,取值相关.,1,收敛区间为:(,1,1,).,1,0,收敛区间为:,1,1,.,所以,(1+,x,),泰勒级数收敛区间是,(1,1),第22页,x,(1,1),(1+,x,),=,1+,x,+,牛顿二项式展开式,当,=,1,时,x,(,1,1,).,=,1,x,+,x,2,x,3,+,+(1,),n,x,n,+,第23页,三、小结,1.,怎样求函数泰勒级数;,2.,泰勒级数收敛于函数条件,;,3.,函数展开成泰勒级数方法,.,第24页,