离散数学代数系统省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第6章代数系统,第一节代数系统普通概念,第二节同态和同构,第三节同余关系,第四节商代数和积代数,第五节经典代数系统,第1页,第一节代数系统普通概念,1、代数系统定义,2、代数系统满足条件,3、子代数系统,4、同类型代数系统,第2页,1、代数系统定义,X:非空集合,:X上运算非空集合,V=:代数系统,1,，,2,，,n,有限代数系统,|X|为V阶,解释：,一个非空集合X,连同若干个定义在该集合上运算,1,，,2,，,n,所组成系统称为代数系统。,第3页,2、代数系统满足条件,（1）非空集合,X,；,（2）有一些建立在集合X上,运算,；,（3）这些运算在集合X上是,封闭,。,第4页,代数系统举例,是,是,第5页,代数系统举例,N,4,=0，1，2，3,i+,4,j=(i+j)(mod4),问：是代数系统吗？,+,4,0,1,2,3,0,1,2,3,验证+,4,在N,4,集合上是否满足封闭性,0,1,2,3,1,2,3,0,2,3,0,1,3,0,1,2,由运算表可知运算满足封闭性,是代数系统,第6页,代数系统举例,设A=1，2，3，4，6，12,A上运算*定义为：,a*b=|a-b|,（1）写出二元运算运算表；,（2）能组成代数系统吗？,第7页,解答,由运算表可知*运算在集合A上不封闭,所以：,不能组成代数系统,*,1,2,3,4,6,12,1,2,3,4,6,12,0,1,2,3,5,11,1,0,1,2,4,10,2,1,0,1,3,9,3,2,1,0,2,8,5,4,3,2,0,6,11,10,9,8,6,0,第8页,3、子代数系统,V=:代数系统,S,S,S,每一个运算 在S上均封闭,V=是一个代数系统,V为V子代数系统,子系统或子代数,第9页,子代数系统举例,是一个代数系统,设E：偶数集合,则：是子代数系统。,第10页,4、同类型代数系统,V,1,=:代数系统,V,2,=:代数系统,存在一个双射函数f:,1,2,每一个,1,和f(),2,含有相同阶,同元运算,V,1,和V,2,是同类型代数系统,类型映射,f,第11页,同类型代数系统举例,V,1,=和V,2,=是同类型代数系统吗？其中：,i+,m,j=(i+j)(mod m),i,m,j=(i,j)(mod m),第12页,解答,双射函数（类型映射）f:,f(+,m,)=+,f(,m,)=,且+,m,和+、,m,和,均为二元运算,所以：V,1,=和V,2,=是同类型代数系统。,第13页,同类型代数系统举例,V,1,=和V,2,=是同类型代数系统吗？,V,1,=和V,2,=是同类型代数系统吗？其中：“-”为取负运算。,（不是）,（不是）,不存在双射函数,不是同元运算,不是同元运算,第14页,第二节同态和同构,一、同态,二、同构,第15页,一、同态,1、同态定义,2、同态特点,3、满同态、单一同态、自同态,第16页,1、同态定义,同类型代数系统,A上二元运算,B上二元运算,存在一个映射g：AB,对任意a,bA,g(ab)=,g(a),g(b),*,运算象,象运算,从到一个同态映射,与同态,第17页,同态普通定义(略),设,V,1,=，V,2,=是两个同类型代数系统；f:,1,2,为类型映射，假如存在函数 g：S,1,S,2,，使得对任意n元运算,1,及任意元素a,1,a,2,a,n,S,1,都有：,g()=,f,(),则称V,1与V,2,同态。,第18页,解释,两个代数系统同态：,（1）两个代数系统,同类型,；,（2）,运算象=象运算,第19页,2、同态特点,（1）g映射能够是内射、单射、满射、双射；,（2）g(,S,1,),S,2,像点集,单一同态,满同态,同构,第20页,同态示意图,S,1,x,1,x,2,x,3,S,2,g,g(x,1,)=y,1,g(x,2,)=y,1,g(x,3,)=y,3,y,1,y,3,g(x,1,x,3,)=,g(x,1,)*g(x,3,)=,x,1,x,3,y,1,*y,3,y,1,*y,3,g(x,2,x,3,)=,g(x,2,)*g(x,3,)=,y,1,*y,3,x,2,x,3,g(,S,1,),第21页,同态举例,证实：和是同态，其中：,B=正，负，零，*运算运算表以下：,*,正,负,零,正,正,负,零,负,负,正,零,零,零,零,零,第22页,解答,(1)显然,和是同类型；,(2)g:I,B,(3)验证运算象=象运算,g(I)=,i0,i0,j0时:g(i,j)=正，g(i)*g(j)=正*正=正,i0,j0,j=0时:g(i,j)=零，g(i)*g(j)=正*零=零,i0时:g(i,j)=负，g(i)*g(j)=负*正=负,i0,j0时:g(i,j)=正，g(i)*g(j)=负*负=正,i0时:g(i,j)=零，g(i)*g(j)=零*正=零,i=0,j0时g(i,j)=零，g(i)*g(j)=零*负=零,i=0,j=0时:g(i,j)=零，g(i)*g(j)=零*零=零,第24页,同态举例,其中：g:N,0,1，且定义为：,g(n)=0,(n,N),证实：,同态,第25页,证实,（1）显然与同类型；,（2）运算象=象运算,对任意m,n,N,运算象=g(mn)=,0,象运算=g(m)g(n)=00=,0,所以：与同态,第26页,3、满同态、单一同态、自同态,(1)假如,g为满射,函数，则称g为关于类型映射f满同态；,(2)假如,g为单射,函数，则称g为关于类型映射f单一同态；,(3)若,V,1,=V,2,，且类型映射,f为恒等函数,，则称g为关于类型映射f自同态。,第27页,自同态举例,其中：g:I,I，且定义为：,g(n)=3n,(n,I),证实：,自同态,第28页,证实,(1),显然与同类型,且f(+)=+；,(2)运算象=象运算,对任意m,n,N,运算象=g(m+n),=3(m+n)=3m+3n,=g(m)+g(n)=象运算,所以：与同态,且是自同态。,第29页,满同态举例,证实：,U=,V=,满同态,g:IN,m,对于全部iI,有：,g(i)=(i)(modm),第30页,证实,类型映射f定义为：f(+)=+,m,f(,)=,m,(1)显然U=和V=同类型,(2)运算象=象运算,对任意x,y,I:,g(x+y)=g(x)+,m,g(y),g(x,y)=g(x),m,g(y),第31页,证实:g(x+y)=g(x)+,m,g(y),g(x+y),=(x+y)(mod m),=(x)(mod m)+(y)(mod m)(mod m),=(x)(mod m)+,m,(y)(mod m),=g(x)+,m,g(y),第32页,证实:g(x,y)=g(x),m,g(y),g(x,y),=(x,y)(mod m),=(x)(mod m),(y)(mod m)(mod m),=(x)(mod m),m,(y)(mod m),=g(x),m,g(y),所以：U=和V=同态,第33页,证实g是满射函数,对于任意x,N,m,都有x,I，使得：,g(x)=(x)(mod m)=x,所以：U=和V=是满同态,第34页,满同态特点,满同态对性质保持是,单方向,，即：,与满同态,性质,，均保持,交换律,结合律,分配律,吸收律,幺,元,零,元,逆,元,等幂元,第35页,交换律、结合律,设与满同态，则：,（1）若,运算可交换，则*运算也可交换；,（2）,若,运算可结合，则*运算也可结合；,第36页,分配律,V,1,=,V,2,=,满同态,f:类型映射,*,1,1,*对可分配,f(*)对f()也可分配,2,第37页,幺元、零元、逆元,设与满同态，则：,(1)若,有幺元e，则*有幺元g(e);,(2)若,有零元,，则*有零元g(,);,3)若x,X有逆元x,-1,则g(x)Y有逆元g(x,-1,),第38页,满同态特点举例,和满同态，则：,(1)可交换，f()=+,3,也可交换；,(2),可交换，f(,)=,3,也可交换；,(3)可结合，则f(+)+,3,也可结合；,(4),可结合，则f(,),3,也可结合；,第39页,满同态举例（续）,(5)对“”存在e=0,则:,对“+,3,”存在e=g(0)=0;,(6)对“,”存在e=1,则:,对“,3,”存在e=g(1)=1;,(7)对“,”存在零元,=0,则:,对“,3,”存在零元=g(0)=0;,第40页,(8)对“”，8逆元是-8,则:,对“,+,3,”,g(8)=,2,g8)=g(-9+1)=,(-9+1)(mod3)=1(mod3)=,1,满同态举例（续）,2,+,3,1=(2+1)(mod3)=0=e,2和1互为逆元,第41页,单一同态举例,证实：,单一同态,实数集合,g:RR,对于x,R,g(x)=2,x,第42页,证实,(1)显然和同类型,(2)运算象=象运算,对于任意x,y,R，有：,g(x+y),=2,x+y,=2,x,2,y,=g(x),g(y),(3)g映射是单射函数,y=2,x,第43页,定理,V,1,=,V,2,=,g为同态映射,V,3,=为V,2,=子系统,象点集,V,1,同态象点,第44页,推论,g为同态映射,性质,同态象点均保持,第45页,二、同构,1、同构定义,2、同构特点,3、自同构,第46页,1、同构定义,同类型代数系统,A上二元运算,B上二元运算,存在一个,双射映射,g：AB,对任意a,bA,g(ab)=,g(a),g(b),*,运算象,象运算,从到,一个同构映射,与同构,第47页,同构普通定义,V,1,=,V,2,=,同类型代数系统,f:,1,2,类型映射,存在一个,双射映射,g：G,1,G,2,对任意n元运算,1,任意元素a,1,a,2,a,n,G,1,(),g(,)=,f,(,),V,1,与V,2,同构,第48页,同构满足条件,（1）同类型,（2）g为双射函数（|,S,1,|,S,2,|）,（3）运算象象运算,第49页,同构举例,S=4,5,6,运算见表(a),P=1,2,3,运算*见表(b),则与同构。,4,5,6,4,4,5,4,5,4,5,5,6,4,5,6,*,1,2,3,1,1,2,1,2,1,2,2,3,1,2,3,表(a),表(b),第50页,解答,（1）显然与同类型；,（2）寻找双射函数g：SP,方法：特异元素对应特异元素,在中e=6,在中e=3,g(6)=3,g(5)=2,g(4)=1,g(5)=1,g(4)=2,或者,g,1,(4)=1,g,1,(5)=2,g,1,(6)=3,g,2,(4)=2,g,2,(5)=1,g,2,(6)=3,第51页,（3）运算象象运算,g,1,4)=1,g,1,(5)=2,g,1,(6)=3,例：g(45)=g(5)=2,g(4)*g(5)=1*2=2,g,2,(4)=2,g,2,(5)=1,g,2,(6)=3,例：g(46)=g(4)=2,g(4)*g(6)=2*3=2,g,1,、g,2,均为同构映射,第52页,变换运算表方法,g,1,一致,g,2,1、2列交换,1,2行交换,一致,第53页,同构举例,S=a,b,c,d,运算见表(a),P=1,2,3,4,运算*见表(b),则与同构。,a,b,c,d,a,d,a,b,d,b,d,b,c,d,c,a,d,c,c,d,a,b,a,a,表(a),*,1,2,3,4,1,2,2,2,42,1,1,4,2,3,3,2,3,1,4,1,1,3,4,表(b),第54页,解答,（1）显然与同类型；,（2）寻找双射函数g：SP,由表(a)第4行和表(b)第1行可知：,g(a)=2,g(b)=4,在中c是等幂元,在中3是等幂元,g(c)=3,g(a)=2,g(b)=4,g(c)=3,g(d)=1,第55页,变换运算表,g,1,2列交换,2,4列交换,1,2行交换,2,4行交换,一致,第56页,2、同构特点,（1）g为双射函数；,（2）g(X)=Y,S,1,x,1,x,2,S,2,g,x,1,x,2,g(,x,1,)*g(,x,1,),g(,x,1,),g(,x,2,),第57页,同构对运算保持相同性质,设与同构，则：,(1)若,有幺元e,则*有幺元g(e),反之亦然；,(2)若,有零元,则*有零元g(,),反之亦然；,(3)若x,X有逆元x,-1,则g(x)Y有逆元g(x,-1,),反之亦然；,(4)若,运算可交换,则*运算也可交换,反之亦然；,(5)若,运算可结合,则*运算也可结合,反之亦然；,第58页,3、自同构,若,V,1,=V,2,，且类型映射,f为恒等函数,，则称g为关于类型映射f自同构。,第59页,同构举例,证实：,同构,给定：g:R,+,R,g(x)=lnx,第60页,证实,(1)显然和同类型；,(2)g(x)=lnx是双射函数；,(3)运算象象运算:,对于任意a,b,R,+,g(a,b),=ln(a,b)=lna+lnb=,g(a)+g(b),所以：和同构。,第61页,第三节同余关系,一、代换性质,二、同余关系,第62页,一、代换性质,V=:代数系统,R:G上等价关系,:n元运算,对任意a,1,b,1,a,2,b,2,a,n,b,n,G,a,1,Rb,1,a,2,Rb,2,a,n,Rb,n,(),(),R,R关于含有代换性质,第63页,代换性质举例,为代数系统，I中等价关系以下：对任意a,b,I，,aRb,|a|=|b|,问：等价关系R对于运算和是否含有代换性质？,第64页,解答,（1）对加法运算“”：,设a、-a、b,I,|a|=|-a|,aR(-a),|b|=|b|,bRb,|,a+b|-a+b|,(a+b)(-a+b),R关于“”不含有代换性质,第65页,解答（续）,（2）对乘法运算“,”：,设i,1,、i,2,、j,1,、j,2,I,若i,1,Ri,2,则|i,1,|=|i,2,|,若j,1,Rj,2,则|j,1,|=|j,2,|,|,i,1,j,1,|=|i,2,j,2,|,(,i,1,j,1,)R(,i,2,j,2,),即：,对于乘法运算“,”来说，R含有代换性质。,第66页,二、同余关系,V=:代数系统,R:G上等价关系,R关于每一个运算,都含有代换性质,R为上同余关系。,第67页,同余关系举例,为代数系统，在N上定义一个模m同余关系,m,证实：,m,关于含有代换性质，且是上同余关系,第68页,证实,x,1,y,1,x,2,y,2,N,x,1,m,y,1,x,2,m,y,2,(x,1,+x,2,),m,(y,1,+y,2,),x,1,m,y,1,x,1,=p,1,m+r,1,y,1,=p,2,m+r,1,x,2,m,y,2,x,2,=q,1,m+r,2,y,2,=q,2,m+r,2,p,1,p,2,q,1,q,2,r,1,r,2,N,0r,1,、r,2,m-1,x,1,+x,2,=,p,1,m+r,1,+,q,1,m+r,2,=(p,1,+q,1,)m+(,r,1,+r,2,),y,1,+y,2,=,p,2m+r,1,+,q,2,m+r,2,=(p,2,+q,2,)m+(,r,1,+r,2,),(x,1,+x,2,),m,(y,1,+y,2,),m,是同余关系,第69页,同余关系举例,给定代数系统V=，其中*是I上一元运算，定义为：,*(i)=i,2,(mod m)m,I,+,问：,m,是V上同余关系吗？,第70页,解答,设：i,1,m,i,2,证实：*(i,1,),m,*(i,2,),令：i,1,=a,1,m+r,i,2,=a,2,m+r,其中：a,1,a,2,r,N,且0rm-1,*(i,1,)=(a,1,m+r),2,(mod m),=(a,1,2,m,2,+2a,1,mr+r,2,)(mod m)=r,2,(mod m),*(i,2,)=(a,2,m+r),2,(mod m),=(a,2,2,m,2,+2a,2,mr+r,2,)(mod m)=r,2,(mod m),*(i,1,),m,*(i,2,),m,关于*含有代换性质,m,是上同余关系,第71页,定理,U=,V=,f:同态映射,R,f,:,X上二元关系,对于任意x,1,x,2,X,x,1,R,f,x,2,f(x,1,)=f(x,2,),R,f,是U上同余关系,第72页,证实,(1)R,f,是等价关系：,自反性：,对任意x,X,f(x)=f(x),xRx,对称性：,x,1,R,f,x,2,f(x,1,)=f(x,2,)f(x,2,)=f(x,1,),x,2,R,f,x,1,可传递性：,x,1,R,f,x,2,x,2,R,f,x,3,f(x,1,)=f(x,2,)f(x,2,)=f(x,3,),f(x,1,)=f(x,3,),x,1,R,f,x,3,第73页,证实（续）,(2)R,f,关于含有代换性质：,x,1,y,1,x,2,y,2,X,x,1,R,f,y,1,x,2,R,f,y,2,(x,1,x,2,)R,f,(y,1,y,2,),f(x,1,x,2,)=f(y,1,y,2,),f(x,1,x,2,),f:同态映射,=f(x,1,)*f(x,2,),x,1,R,f,y,1,f(x,1,)=f(y,1,)f(y,1,)*f(x,2,),x,2,R,f,y,2,f(x,2,)=f(y,2,),=f(y,1,)*f(y,2,),f:同态映射,=f(y,1,y,2,),(x,1,x,2,)R,f,(y,1,y,2,),R,f,是U上同余关系,第74页,第四节商代数和积代数,一、商代数,二、积代数,第75页,一、商代数,1、商代数定义,2、正则映射,第76页,1、商代数定义,R:代数系统V=上同余关系,:,V=关于R商代数,V/R,(1)对于x1,x2,X,x,1,R,x,2,R,=,x,1,x,2,R,(2)X/R,=x,R,|x,X,商集,第77页,证实,验证是一个代数系统,(1)封闭性：,任取x,1,R,、x,2,R,X/R,x,1,R,x,2,R,由定义,=x,1,x,2,R,在X上封闭,x,1,x,2,X,x,1,x,2,R,X/R,在X/R上封闭,x,1,R,x,2,R,X/R,第78页,证实（续）,(2),是良定,y,1,x,1,R,y,2,x,2,R,x,1,R,x,2,R,=y,1,R,y,2,R,x,1,R,x,2,R,与等价类代表元素x,1,和x,2,选取无关,y,1,x,1,R,y,2,x,2,R,等价类定义,x,1,R,y,1,x,2,R,y,2,R为同余关系,R关于含有代换性质,x,1,x,2,R,y,1,y,2,x,1,x,2,R,=y,1,y,2,R,x1,R,x,2,R,=y,1,R,y,2,R,由定义,第79页,商代数举例,设代数系统F=,其中A=a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,*和运算表以下：,*,a,1,a,4,a,3,a,2,a,3,a,2,a,3,a,4,a,1,a,4,a,2,a,3,a,5,a,1,a,5,R为A上等价关系,A/R=a,1,a,3,a,2,a,5,a,4,证实：,R是F上同余关系，并求F商代数。,第80页,证实,(1)R是F上同余关系,R关于*运算含有代换性质,R关于运算含有代换性质,(2)求F商代数,第81页,证实:R关于*含有代换性质,A/R=a,1,a,3,a,2,a,5,a,4,R=,a,1,Ra,1,:,*a,1,=a,4,(a,4,Ra,4,),*a,1,R*a,1,a,1,Ra,3,:,*a,1,=a,4,*a,3,=a,4,(a,4,Ra,4,),*a,1,R*a,3,a,3,Ra,1,:,*a,3,=a,4,*a,1,=a,4,(a,4,Ra,4,),*a,3,R*a,1,第82页,R关于*含有代换性质(续),a,3,Ra,3,:,*a,3,=a,4,(a,4,Ra,4,),*a,3,R*a,3,a,2,Ra,2,:,*a,2,=a,3,(a,3,Ra,3,),*a,2,R*a,2,a,2,Ra,5,:,*a,2,=a,3,*a,5,=a,1,(a,3,Ra,1,),*a2,R*a,5,a,5,Ra,2,:,*a,5,=a,1,*a,2,=a,3,(a,1,Ra,3,),*a,5,R*a,2,第83页,R关于*含有代换性质(续),a,5,Ra,5,:,*a,5,=a,1,(a,1,Ra,1,),*a,5,R*a,5,a,4,Ra,4,:,*a,4,=a,2,(a,2,Ra,2,),*a,4,R*a,4,对任意x,y,A,xRy,*xR*y,R关于*含有代换性质,第84页,证实:R关于,含有代换性质,a,1,Ra,1,:,a,1,=a,3,(a,3,Ra,3,),a,1,Ra,1,a,1,Ra,3,:,a,1,=a,3,a,3,=a,1,(a,3,Ra,1,)a,1,Ra,3,a,3,Ra,1,:,a,3,=a,1,a,1,=a,3,(a,1,Ra,3,),a,3,Ra,1,a,3,Ra,3,:,a,3,=a,1,(a,1,Ra,1,),a,3,Ra,3,a,2,Ra,2,:,a,2,=a,2,(a,2,Ra,2,),a,2,Ra,2,第85页,证实:R关于,含有代换性质,a,2,Ra,5,:,a,2,=a,2,a,5,=a,5,(a,2,Ra,5,),a,2,Ra,5,a,5,Ra,2,:,a,5,=a,5,a,2,=a,2,(a,5,Ra,2,),a,5,Ra,2,a,5,Ra,5,:,a,5,=a,5,(a,5,Ra,5,),a,5,Ra,5,a,4,Ra,4,:,a,4,=a,3,(a,3,Ra,3,),a,4,Ra,4,对任意x,y,A,xRy,xR,y,R关于含有代换性质,第86页,F商代数,设F商代数为,A/R,a,1,a,3,a,2,a,5,a,4,a,1,R,a,2,R,a,4,R,*,R,R,a,1,R,a,2,R,a,4,R,*,R,(a,1,R,)=,*a,1,R,=a,4,R,a,4,R,*,R,(a,2,R,)=,*a,2,R,=a,3,R,=a,1,R,a,1,R,*,R,(a,4,R,)=,*a,4,R,=a,2,R,a,2,R,R,(a,1,R,)=,a,1,R,=a,3,R,R,(a,2,R,)=,a,2,R,=a,2,R,a,2,R,R,(a,4,R,)=,a,4,R,=a,3,R,=a,1,R,a,1,R,=a,1,R,a,1,R,第87页,2、正则映射,正则映射,R:集合G上等价关系,函数g:GG/R,g(x)=x,R,第88页,定理,R:上同余关系,g:XX/R,正则映射,g是从到商代数,满同态,自然同态,g(x)=x,R,第89页,证实,(1)显然与,同类型,；,(2)证实：,运算象象运算,对任意x,y,X,g(x,y),(,正则映射定义),=,x,y,R,(,商代数定义),=x,R,y,R,(,正则映射定义),=g(x)g(y),第90页,(3)g,是,满射,函数：,任意x,R,X/R，,在X中最少有一个原象x与之对应，使得：g(x)=x,R,g,是满射函数,证实(续),第91页,自然同态举例,上例：求代数系统F=到F商代数为自然同态。,第92页,求解,自然同态g:,g(x)=x,R,g(,a,1,)=g(,a,3,)=,a,1,R,g(,a,2,)=g(,a,5,)=,a,2,R,g(,a,4,)=,a,4,R,A,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,A/R,a,1,R,a,2,R,a,4,R,g,第93页,定理,f:从到同态映射,R,f,:上同余关系:,xR,f,y,f(x)=f(y),g:从到自然同态,存在从到同构映射,g=f,第94页,示意图,x,x,Rf,商代数,g,f(x),f,同态象点,f(X),g=f,同构映射,第95页,证实,设映射,：,X/R,f,f(X)，且,(x,Rf,)=f(x),证实：,(1)显然同类型；,(2),是单射函数；,(3),是满射函数；,(4),运算象象运算,第96页,证实：,是单射函数,单射即：象点相同证实原象相同,对任意x,y,X,若(x,Rf,)=(y,Rf,),(由定义）,f(x)=f(y),(由,xR,f,y,f(x)=f(y),),x,R,f,y,x,Rf,=y,Rf,是单射函数,第97页,证实：,是满射函数,f:Xf(X)满同态映射,对任意y,f(X),必存在x,X,使得f(x)=y,又,(x,Rf,)f(x)=y,即：,对任意y,f(X)，必存在,x,Rf,X/R,f,使得：,(x,Rf,)y,是满射函数。,第98页,证实：,运算象象运算,对任意x,y,X，有：,运算象(x,Rf,y,Rf,),(g(x)=x,Rf,）,=(g(x),g(y),(g为自然同态,运算象象运算),=(g(x,y),(g(x)=x,Rf,）,=(x,y,Rf,),(定义),=f(x,y),(f为同态映射,运算象象运算),f(x)*f(y),(定义),(x,Rf,)*(y,Rf,)象运算,是从,到同构映射。,第99页,证实：,g=f,对任意x,X,g(x),=,(g(x),=(x,Rf,),=f(x),g=f,第100页,二、积代数,A,1,=,A,2,=,同类型代数系统,A,1,A,2,=,:,A,1,与A,2,积代数,定义为：,对任意,G,1,G,2,=,A,1,A,2,:A,1,A,2,因子代数,第101页,积代数举例,F,2,=,F,3,=,求：F,2,F,3,第102页,解答,N,2,=0,1,N,3,=0,1,2,则：N,2,N,3,=,设：F,2,F,3,=,第103页,+,23,、,23,运算表,+,23,=,=,23,=,=,第104页,第五节经典代数系统,一、半群,二、群,三、格,四、布尔代数,第105页,一、半群,1、半群,2、可交换半群,3、独异点（含幺半群）,4、可交换含幺半群,5、子半群,6、循环半群,第106页,1、半群,:代数系统,*:二元运算,*运算是可结合,:半群,第107页,2、可交换半群,:半群,*运算是可交换,:可交换半群,第108页,3、独异点（含幺半群）,:半群,*运算有,幺元e,:含幺半群,独异点,第109页,4、可交换含幺半群,:,独异点,*运算是可交换,S,*:可交换含幺半群,第110页,半群举例,以下各代数系统是否为半群？若是半群，是什么半群？,(1),(2),(3)，其中S为非空集合。,(4)其中S为非空集合。,半群,可交换半群,含幺半群,e=0,可交换含幺半群,半群,可交换半群,含幺半群,e=1,可交换含幺半群,半群,可交换半群,含幺半群,e=S,可交换含幺半群,半群,可交换半群,含幺半群,e=,可交换含幺半群,第111页,半群举例,I:整数集合，对于以下*运算，哪些代数系统是半群?,a*b=a,b,a*b=a,a*b=a+ab,a*b=max(a,b),第112页,解答,对任意a,b,c,I,(a*b)*c=a,b,*c=(a,b,),c,=a,bc,，,a*(b*c)=a*b,c,=,，,不是半群,所以(a*b)*c a*(b*c)。,第113页,解答:,a*b=a,*封闭性是显然;,(a*b)*c=a*c=a,a*(b*c)=a*b=a，,*是可结合运算,是半群,第114页,解答:,a*b=a+ab,(a*b)*c=(a+ab)*c,=a+ab+(a+ab)c,=a+ab+ac+abc,a*(b*c)=a*(b+bc),=a+a(b+bc)=a+ab+abc,(a*b)*ca*(b*c),不是半群,第115页,解答:,a*b=max(a,b),(4)*封闭性是显然;,(,a,*,b,)*,c,=a,*(,b,*,c,),=,max(,a,b,c,)，,*是可结合运算,是半群,第116页,5、子半群,:半群,H,S,集合H在运算*作用下封闭,是,子半群,第117页,:含幺半群,H,S,集合H在运算*作用下封闭,是,子含幺半群,子含幺半群,e,H,第118页,子半群举例,例：是一个半群，*运算运算表以下：,问：,(1),(2),(3),(4),(5),是子半群吗？,子半群,含幺子半群,子半群,含幺子半群,子半群,子半群,不是子半群,第119页,子含幺半群举例,集合,A=,0,2,4,(1),是含幺半群;,(2),不是,子含幺半群。,第120页,解答,幺元是4，所以是独异点；,幺元是1。而1,A,，所以不是子含幺半群。,第121页,定理,:,含幺半群,*运算表中,任何两行或两列都是不相同,第122页,证实,a,b,S,ab,假设a行和b行完全相同,a*e=b*e,a=b,与ab矛盾,结论成立,第123页,定理,:,可交换含幺半群,H:S,等幂元,所组成集合,是子含幺半群,第124页,证实,(1)证实e,H,e*e=e,e是等幂元,e,H,(2)*在H上封闭,对任意a,b,H,a*b,H,a*b是等幂元,(a*b)*(a*b),（*运算可交换）,=(a*b)*(b*a),（*运算可结合）,=a*(b*b)*a,（b是等幂元）,=a*b*a,（*运算可交换）,=(a*a)*b,（a是等幂元）,=a*b,第125页,元素幂定义,在含幺半群中，任意元素a,S,它幂被定义为：,a,0,=e,a,1,=a,a,2,=a*a,a,k+1,=a,k,*a,第126页,6、循环半群,:半群,:含幺半群,存在一个元素g,S,对任意aS都有一个对应nN,a=g,n,循环半群,循环含幺半群,生组员,第127页,循环含幺半群举例,设S=a,b,c,d，定义S中二元运算*，*运算运算表以下：,(1)证实是一个,循环含幺半群，并给出它生组员；,(2)把中每一个元素都表示成生组员幂；,(3)列出中全部等幂元。,第128页,解答,(1)由运算表可知：e=a,b和d均为生组员,(2)生组员幂形式：,b,0,=a,b,1,=b,b,2,=b*b=c,b,3,=b,2,*b=c*b=d,d,0,=a,d,1,=d,d,2,=d*d=c,d,3,=d,2,*d=c*d=b,(3)a为等幂元,第129页,定理,每一个循环半群（或含幺循环半群）都是可交换半群（或可交换含幺半群）。,第130页,证实,:循环半群,g生组员,对任意a,b,X,都存在m,n N,a=g,m,b=g,n,a*b,=g,m,*g,n,=g,m+n,=g,n+m,=g,n,*g,m,=b*a,*运算是可交换,是可交换半群,第131页,二、群,1、群定义,2、阿贝尔群,3、循环群,4、子群,第132页,1、群定义,（1）是代数系统；,（2）“*”运算满足结合律；,（3）中存在幺元e；,注意：,群中无零元,群,含幺半群,（4）中任意一个元素都有逆元素；,第133页,群举例,和是群吗？为何？,解：,:,0是零元，而零元是不可逆。,：,（1）是代数系统；,（2）存在幺元e=1;,（3）“”可结合；,（4）对任意实数x,x,-1,=1/x不是,是,第134页,有限群和无限群,设是一个群，若集合S是有限集则称 是有限群，|S|称为有限群,阶数,。,若集合S是无限集则称 是无限群。,注意：,群运算表中没有两行或两列是相同,第135页,定理,:群,对于任意a,bA,方程,a*x=b,y*a=b,在A中都有,唯一,解,第136页,证实,(1)证实方程有解：,x=a,-1,*b,y=b*a,-1,方程解是:,左式a*x,a*(,a,-1,*b,),（*运算可结合）,=(a*a,-1,)*b,=e*b,=b,=右式,左式y*a,(,b*a,-1,),*a,（*运算可结合）,=b*(a,-1,*a),=b*e,=b,=右式,第137页,证实（续）,（2）证实方程有唯一解：,假设方程有其它解分别为x,1,y,1,则：,a*x,1,=b,a,-1,*,a*x,1,=a,-1,*b,(,a,-1,*,a)*x,1,=a,-1,*b,e,*x,1,=a,-1,*b,x,1,=a,-1,*b,同理：,y,1,b*a,-1,第138页,定理,:群,对于任意a,b,cA,(,a,*b=,a,*c)(b*a=c*,a,),消去律,b=c,第139页,证实,设a逆元是a,-1,，则：,a*b=a*c,a,-1,*,a*b=,a,-1,*a*c,(,a,-1,*,a)*b=(,a,-1,*a)*c,e,*b=e*c,b=c,同理：b*a=c*a,b=c,第140页,定理,对于任意a,bA，有：,(a*b),-1,=b,-1,*a,-1,:群,第141页,证实,由逆元定义：x*x,-1,=x,-1,*x=e,要证实：,(a*b),-1,=b,-1,*a,-1,即证实:,(,a*b)*(,b,-1,*a,-1,)=(,b,-1,*a,-1,)*,(,a*b)=e,(,a*b)*(,b,-1,*,a,-1,),=a*(b*,b,-1,)*,a,-1,=a*e*,a,-1,=a*,a,-1,=,e,(,b,-1,*,a,-1,)*,(,a*b),=,b,-1,*(,a,-1,*a)*b,=,b,-1,*,e,*b=,b,-1,*b=,e,第142页,2、阿贝尔群,:群,“*”:可交换,阿贝尔群,交换群,第143页,定理,是阿贝尔群,充分必要条件,是：对任意a,bA，有：,(a,*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),:群,第144页,证实：必要性,已知：,是阿贝尔群，证实：,(a,*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),证实：左式,(a,*b)*(a*b),(“*”运算可交换，可结合),=(a*a)*(b*b),=右式,第145页,证实：充分性,已知：,(a,*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),证实：是阿贝尔群,要证实是阿贝尔群，即证实*运算可交换，即：,a*b=b*a,(a,*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),a,-1,*,a,*(b*a)*b*b,-1,=a,-1,*a*(a*b)*b*b,-1,e*,a,*(b*a)*e=e*(a*b)*e,b*a=a*b,第146页,3、循环群,若群中每个元素均是它某个 元素a整数幂，则称是由a生成循环群。a称为,生成元素,。,第147页,定理,:有限循环群,a:生成元素,|G|=n,e:幺元,a,n,=e,G=a,a,2,a,3,a,n,=e,使a,n,=e最小正整数,元素a阶或周期,第148页,循环群举例,设G=0，1，2，3,（1）是循环群吗？,（2）找出生成元。,a+,4,b,=a+,4,b,第149页,解答,（1）,是循环群；,（2）生成元：13,1,1,=,1,1,2,=1+,4,1,2,1,3,=1,2,+,4,12+,4,1=,3,1,4,=,1,3,+,4,13+,4,1=,0,=e,1周期为4,第150页,解答（续）,生成元：3,3,1,=,3,3,2,=3+,4,3,2,3,3,=3,2,+,4,32+,4,3=,1,3,4,=,3,3,+,4,31+,4,3=,0,=e,3周期为4,第151页,4、变换群,A:非空集合,P,A,:从A到A全部双射函数集合,:函数复合运算,:群,变换群,|A|!,第152页,变换群举例,A=1,2,3,f,1,=,=I,A,f,2,=,f,3,=,f,4,=,f,5,=,f,6,=,PA,=f,1,f,2,f,3,f,4,f,5,f,6,第153页,变换群举例（续）,（1）,在,P,A,上封闭；,（2）,可结合；,（3）幺元存在，e=,f,1,（4）每个元素均可逆：,f,1,-1,=,f,1,，f,2,-1,=,f,2,，,f,3,-1,=,f,3,，,f,4,-1,=,f,4,，,f,5,-1,=,f,6,，,f,6,-1,=,f,5,f,1,f,2,f,3,f,4,f,5,f,6,f,1,f,1,f,2,f,3,f,4,f,5,f,6,f,2,f,2,f,1,f,6,f,5,f,4,f,3,f,3,f,3,f,5,f,1,f,6,f,2,f,4,f,4,f,4,f,6