1、初中数学九年级《二次函数》的教学案例
民族中学 张华从
一、教材研读与剖析
１．教材分析：本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习. 本章我们研究的是二次函数，要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系，掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法. 学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何描述变量之间的数量关系，感悟新旧知识的关系，深刻的体会数学中的类比思想方法.
２． 教学目标：第一，理解和掌握二次函数的概念、性质，会做二次函数的图像，掌握二次函数的形式；第二，会建立二次函数模型，并能确定实际问题的自变量的取值范围；
2、第三，会用待定系数法求二次函数的解析式；第四，从实际情景和实例中让学生探索分析，建立两个变量之间的二次函数，使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题，学会用数学符号和数学方法解决最值问题，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.
３． 教学重点和难点：第一，经历探究和表示二次函数的过程，获得二次函数的定义；第二，能够表示简单变量之间的二次函数关系；第三，探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题. 本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题，其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力.
二、教学过程与设计
（１）温故而知新，回顾
3、有关函数的知识，激发兴趣. 教师在课堂的开始，可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ值，那么我们称ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量，ｙ是因变量——做进一步巩固. 对“正比例函数、一次函数、反比例函数”的知识点进行总结，并在ｐｐｔ上给出一次函数ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ（其中ｋ，ｂ是常数，且ｋ ≠ ０）正比例函数ｙ ＝ ｋｘ（ｋ是不为０的常数）反比例函数ｙ ＝ K/X（ｘ是不为０的常数）的形式.
（２）创设问题情境，激发兴趣. 教师在黑板上给出实际问题一，例如：现有６０米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长为１０米，它的面积是多少
4、若矩形的长分别为１５米、２０米、３０米时，它的面积分别是多少？从上两问同学们发现了什么？教师提问后，学生可独立回答. 在活动中，教师应重点关注：学生是否能准确的建立函数关系；学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积；学生是否能准确的讨论出自变量的取值范围.
问题的设计，旨在运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题，让学生在合作学习中共同解决问题，培养合作精神. 最后，提出问题：由矩形问题你有什么收获？让学生经过短时间的讨论与思考后，师生共同归纳总结出函数解析式ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ （ａ，ｂ，ｃ 是常数，ａ ≠ ０）的形式. 在ｐｐｔ上给出概念
5、我们把形如ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（其中ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ ≠ ０）的函数叫做二次函数. 称ａ为二次项系数， ｂ为一次项系数，ｃ为常数项. 通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值，激发其学习的热情.
（３）利用图像激发兴趣. 学习性质最好的方法就是根据图像来探索. 例如，教师可以给出以下的问题，让学生进行自由探索：填空： 根据下边已画好抛物线ｙ ＝ －２ｘ２的顶点坐标是＿＿＿＿＿ ， 对称轴是＿＿＿＿＿，在＿＿＿＿＿侧，即ｘ＿＿＿＿＿０时，ｙ随着ｘ的增大而增大；在＿＿＿＿＿侧，即ｘ＿＿＿＿＿０时， ｙ随着ｘ的增大而减小.当ｘ ＝ ＿＿＿＿＿时，函
6、数ｙ的最大值是＿＿＿＿. 当ｘ＿＿＿＿０时，ｙ ＜ ０. 教师让学生根据问题进行探究，并归纳出：二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的图像和性质，顶点坐标与对称轴，位置与开口方向，增减性与最值.
（４）小组合作探索二次函数与一元二次方程 . 教师向学生展示二次函数ｙ ＝ ｘ２ ＋ ２ｘ，ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ ＋ １，ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ ＋ ２的图像如图所示．
教师引导学生以小组为单位，对以下问题进行合作探究：每个图像与ｘ轴有几个交点？一元二次方程ｘ２ ＋ ２ｘ ＝ ０，ｘ２ － ２ｘ ＋ １ ＝ ０有几个根？验证一下一元二次方程ｘ２ － ２ｘ ＋ ２
7、 ＝ ０有根吗？二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ的图像和ｘ轴交点的坐标与一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０的根有什么关系？并引导学生对二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ的图像和ｘ轴交点的三种情况进行归纳.
三、教学反思与小结
教学活动是建立在学生对已学函数理解的基础上，通过类比和探索的方式进行的. 课堂开始时，对已学过的知识进行复习和总结，然后，给出简单的实际问题. 接着笔者进一步将问题引申，加大难度，引出本节课所学习的内容，这一方法旨在激发学生的学习兴趣. 通过几个简单的问题，让学生体会两个变量的关系. 特别是在创设问题中，教师应重点关注学生是否发现变量，是否注意到取值范围，这个环节中简单问题的设计旨在激发学生的学习欲望. 利用图像进行教学，是几何教学的一个重点内容. 这个环节教师引导学生小组进行合作探究，在兴趣下去探求真知. 本节课学生对二次函数的基本概念、图像有了比较扎实的认识，但是众观整个教学过程，笔者发现还存在不合理的地方，如还缺乏一些生动的教学方式激发学生学习的兴趣，在进行图像的教授过程中，教师可以利用多媒体进行动态的教学，课堂的结尾处教师还缺乏引导学生对二次函数知识的实际运用等. 这些还需要教师不断地进行反思与发现，对教学方法进行不断改进与更新.
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