数值分析试卷及其答案2.doc

1、（本题5分）试确定作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。
解 因为 =3.142857…=
=3.141592…
所以
（2分）
这里，
由有效数字的定义可知作为的近似值具有3位有效数字。 （1分）
而相对误差限
（2分）
2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：；
解 设
由矩阵乘法得：
（3分）
由解得
（3分）
3、（本题6分）给定线性方程组
1）写出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；
2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的敛散性；
解 1）Jacoib迭代格式为
（2分）
Gauss-Seidel迭代格式为
（2分）
2）由于所给线性方程组的系数矩阵

是严格对角占优的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收敛的。（2分）
4、（本题6分）已知方程

在附近有一个根。将此方程改写成如下2个等价形式：

构造如下两个迭代格式：
1）
2）
判断这两个迭代格式是否收敛；
解 1）记，则，
（2分）
所以该迭代格式是局部收敛的。 （1分）
2）记，则，
（2分）
所以该迭代格式是发散的 （1分）
5、（本题6分）设
（1）写出解的牛顿迭代格式；
（2）证明此迭代格式是线性收敛的。
解 （1）因，故，由牛顿迭代公式
， （1分）
得， （2分）
（2）因迭代函数，
， （1分）

故
此牛顿迭代格式是线性收敛的。 （2分）
6、（本题9分）给定数据
x 0 2 3 5
f(x) 1 -3 -4 2

（1） 写出的3次Lagrange插值多项式；
（2） 写出的3次Newton插值多项式；
解 （1）由题意知

（3分）

（2分）
（2）用牛顿插值公式，构造差商表
0 1
2
3
5 2 3

（3分）
则有
（1分）
7、（本题6分）作一个5次多项式使得

解 构造有重节点的牛顿插商表
1 3
1 3 2
2
2 1 5 11
4 3 2
4 3 2 0

（4分）
则有
2分）
8、（本题6分）已知数据如下，试用二次多项式来拟合：

0
1
2
3
4
5
6

15
14
14
14
14
15
16
解 设，则上表可化为

0
1
2
3

1
0
0
0
0
1
2
这时，取，并设所求二次多项式为
，容易得到
，，
，，
，， （3分）
得正规方程组如下：

解得 即 （2分）
回代得 1分）
9、（本题5分）给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式
解 由于
所以 （1分）
（1分）
（1分）
（1分）
故求积公式为 （1分）
10、（本题6分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分：
解 （1）用梯形公式
，

（3分）
（2）用辛普森公式
（3分）
11、（本题8分）求高斯型求积公式的系数
解 令：
（1分）
由 得
再由 （2分）
（1分）
得
所以的根为 （2分）
（2分）
12、（本题6分）设为次多项式，为个互异点，为的次插值多项式。若，试证。
解：因为为次多项式，所以， （2分）
又因为，故有 （2分）
由插值关系可知： （2分）
所以，
13、（本题10分）设，求及谱半径。
解 由定义得
（2分）
（2分）
又由于，而
（2分）

所以，。 （2分）
因为
所以 （2分）

14、（本题6分）写出用4阶经典龙格-库塔法求解初值问题的计算公式，并取步长，计算的近似值，小数点后至少保留4位。
解 ，于是
（4分）
故，由于
故 （2分）
15、（本题9分）给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数
解 幂法计算公式：取，作如下迭代：
， ， ，
其中表示中（首次出现的）绝对值最大的分量，则
（1分）
计算如下：

（2分）

（2分）

（2分）

（2分）