复变函数在工程中的应用.doc

浅析复变函数在工程中应用
作为一名学习电子信息学生, 我能感受到复变函数在学习中大量利用, 现在正在学习《电磁场与电磁波》, 《信号与系统》中时刻出现复变函数简单应用。经过查阅, 我想从自己熟悉角度谈一下复变函数在工程中应用, 关键分为两个方面, 一个方面是电磁场中复变函数方法, 一个方面是积分变换及其在通信中应用。
导入:
在学习电磁场过程中, 我曾经接触过这么一道题目, 题目以下:

因为在给一些定边值静电场问题中, 在直角坐标系中无法找到简单形式试探解。通常采取叠加原理和傅里叶级数来组成一个满足边界条件试探解, 然后利用傅里叶级数相关知识求出待定系数即可。
比如此题中是将（x）= 用傅里叶级数做了展开

而求法便是应用复变函数中傅里叶级数知识,

看到这道题后你第一思绪可能是这种不能凑成势能对应形式题目没有措施解, 不过当你深入到复变函数中傅里叶中级数展开, 你思绪便展开了, 因为傅里叶级数能够展开成无数个频率不一样, 幅度不一样正弦余弦, 而正弦余弦形式解形式我们是能够解答, 所以我们能够解出这道题, 由求出系数带入到原来傅里叶级数, 便能够求出最终解。
经过这道题目, 我初步了解到了复变函数初步作用, 即它能够提供一个迫近思想, 它能够将一个常数经过傅里叶级数展开变成一个由无数多个不一样幅度, 不一样频率正余弦函数和, 用信号与系统中分析思想就是由实数域转换到了复频域。
复变函数在静电场问题中应用:
在电磁场学习中, 我们在“静电场标量位”这一章中接触到了复变函数在静电场问题中应用。
假如一个系统为场量和源量分布只与x和y相关二维静电场系统。因为在二维无源区域内, 静电位满足二维拉普拉斯方程, 即
（x, y）=+
我们发觉, 此时点位是一个调和函数, 经过复变学习我们已经知道, 解析函数实部和虚部都是调和函数, 而且是一对共轭调和函数。所以, 我们能够使用复变函数这一数学工具来处理二维静电场问题。
由此在电磁场中引出了复电位概念, 若f（）= u(x,y)+ jv(x,y),则
+ =0………………（1）

+ =0………………（2）
只要利用解析函数应满足柯西-黎曼条件, 即
= , = -
就能够导出式（1）和（2）, 能够证实, 实部函数和虚部函数等值线族是相互正交。由正交特征, 能够将平面上电场强度放在复平面上来考察, 也就是能够将E（x,y）写成复数形式
（）= +j = - ,其中便是复电位概念。
利用复变位能够反应静电场分布情况, 这是经过与已知静电场问题解相对比而得到。假如有部分有复杂边界静电系统, 则不能经过这种对比方法来求复电位, 这时编引入了常见保角变换, 利用保角变换能够把部分含有复杂边界静电系统变换为有简单边界经典静电系统。
利用保角运算计算系统复电位思绪是这么: 将复杂边界静电系统变换为有简单边界经典静电系统, 因为经典静电系统复电位轻易求解, 利用复杂边界与简单边界关系, 求出经典系统静电位以后, 就能够经过反变来得到原系统复电位了。当然, 能够利用这种思想需要理论基础是黎曼定理和互为单值对应原理。
许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换也是一个平面之间转换关系, 它能够将z平面上一个任意多边形区域变换为w平面上半平面一个变换。
以上便是平面静磁场问题中复变函数方法, 即利用复电位, 保角变换（保角映射）, 许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换等来处理问题。
其实, 我认为复变函数更多表现在信号与系统学习过程中, 因为复变函数思想一致贯穿与信号与系统学习中 在时域中难以处理问题经过转换到频域中能够得到更简便处理方案, 而转换到复频域便包含到了复变函数应用。
连续时间信号实频域分析和连续时间系统实频域分析便是是利用傅里叶级数及傅里叶变换。而连续时间信号与连续时间系统复频域分析便是利用到了拉普拉斯变换性质。作为复变函数中关键傅里叶变换和拉普拉斯变换, 我们足以看到复变函数在信号即通信中关键作用。
首先, 我们引入实频域分析傅里叶级数和傅里叶变换。针对周期函数, 我们引入了傅里叶级数概念。
连续时间信号分析以下:
对于满足Dirichlet条件周期为 周期函数f(t),能够将其分解表示为:
f(t)=+
由此得到, 满足Dirichlet条件周期信号, 能够分解为基于其各次谐波不一样幅度, 不一样相位余弦或正弦信号叠加, 在这种条件下, 对满足Dirichlet条件周期信号, 从千变万化时域波形关注, 转向对各次谐波余弦或正弦函数幅度和相位关注, 从问题表象到问题特征, 建立周期信号分析理论模型。由频谱分析我们能够知道信号幅频和相频特征。
对非周期信号分析我们则采取傅里叶变换, 因为在真实物理世界中严格周期信号时不存在, 所谓周期信号只是既定于在某一个时间段, 傅里叶级数关键物理意义就是: 非周期信号能够与周期信号建立某种联络, 进而采取周期信号处理思绪来处理非周期信号。
周期信号与非周期信号并不存在严格界限, 能够经过把非周期信号周期看成无穷大而将其近似于周期信号, 也能够将周期信号中一部分区间中取出来组成非周期信号进行分析。
对于连续时间系统实频域分析, 我们则引入了系统频率响应, 频率响应即为单位冲激响应h(t)傅里叶变换:
H（w）=
假如知道一个系统频率响应, 便能够对系统特征有深入了解。

然后, 我们引入复频域分析拉普拉斯变换。拉普拉斯变换是针对于不能用傅里叶形式函数即不满足Dirichlet条件函数而言, 经过与一个衰减因子相乘而达成绝对可积条件。
对于拉普拉斯逆变换而言, 它与拉普拉斯变换组成了信号与系统时域及频域分析关键数学工具, 在求解系统多种响应, 卷积计算及系统频率响应过程中都起到了关键作用。

经过以上分析, 我们能够看到复变函数在电子领域关键性, 除了电子领域, 我还查阅了复变函数在其她领域应用。
首先我了解到了在绕流问题中复变函数方法, 我们总是使用共形映射方法研究通常剖面绕流问题, 尤其是机翼剖面绕流问题。我们只要求出平面稳定绕流复势, 便可导出此绕流速度分布。而要求出通常剖面绕流复势, 通常先计算对圆柱剖面绕流复势, 然后再求通常剖面绕流区域到圆柱剖面外部区域共形映射, 把上述两个函数复合起来, 便可得到对通常剖面绕流复势, 这就是研究任意剖面绕流问题基础方法。另外, 我们还介绍机翼剖面外部共形映射到圆柱剖面外部函数近似计算方法以及含有自由边界通常剖面绕流问题处理方法。

然后我了解到了渗流问题中复变函数方法, 所谓渗流就是流体（液体、 气体、 含气液体）在多孔介质里流动。我们关键讨论不可压缩液体如水与石油在各向同性匀质土壤”中作平面稳定渗流情形或作轴对称稳定渗流情形。下面先把上述部分渗流问题化为复变函数问题, 然后使用共形映射与边值问题等方法来处理这些复变问题。

通常弹性理论基础问题在解法上是比较复杂, 所以, 常常较多地研究部分特殊情形, 其中最关键一类就是所谓“平面弹性理论”或叫“弹性理论平面问题”。我们将导出平面弹性理论基础方程及其通解复变函数表示式, 然后介绍两种基础边值间题及圆内边值问题幕级数解法。使用共形映射方法, 能够把通常区域上基础边值间题转化到特殊区域情况, 从而把复杂间题化为较简便间题来处理。

复变函数在工程中有着普遍应用, 经过学习, 我能够掌握基础复变函数分析方法以及傅里叶拉普拉斯基础处理方法, 并能够应用到实际工程中, 因为数学上知识不够充足, 有很多公式概念难以了解, 研究很很久也只是初步认识到了它是处理什么问题, 所以文中并没有插入过多公式。
学习只是基础, 应用才是硬道理! ! 经过这次论文准备, 我真正认识到了复变函数关键作用。