导数在研究函数中的应用B.doc

课时作业(十三)B　[第13讲　导数在研究函数中应用]

[时间: 45分钟　　分值: 100分]

1． 函数f(x)定义域为开区间(a, b), 导函数f′(x)在(a, b)内图象如图K13－4所表示, 则函数f(x)在开区间(a, b)内有极小值点(　　)

图K13－4
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2． 设f(x), g(x)是R上可导函数, f′(x), g′(x)分别为f(x), g(x)导函数, 且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0, 则当ax)g(b)>f(b)g(x)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b)
D．f(x)g(x)>f(b)g(a)
3．如图K13－5, 直线l和圆C, 当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超出90°)时, 它扫过圆内阴影部分面积S是时间t函数, 它图象大致是(　　)

图K13－5

图K13－6
4． 满足性质: “对于区间(1,2)上任意x1, x2(x1≠x2)．|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|恒成立”函数叫Ω函数, 则下面四个函数中, 属于Ω函数是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝|x|
C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2

5．图K13－7中三条曲线给出了三个函数图象, 一条表示汽车位移函数s(t), 一条表示汽车速度函数v(t), 一条是汽车加速度函数a(t), 则(　　)

图K13－7
A．曲线a是s(t)图象, b是v(t)图象, c是a(t)图象
B．曲线b是s(t)图象, a是v(t)图象, c是a(t)图象
C．曲线a是s(t)图象, c是v(t)图象, b是a(t)图象
D．曲线c是s(t)图象, b是v(t)图象, a是a(t)图象
6．设a∈R, 函数f(x)＝ex＋a·e－x导函数是f′(x), 且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)一条切线斜率是, 则切点横坐标为(　　)
A．ln2 B．－ln2
C. D.
7．f(x)是定义在R上可导函数, 且对任意x满足xf′(x)＋f(x)>0, 则对任意实数a, b有(　　)
A．a>b⇔af(b)>bf(a) B．a>b⇔af(b)b⇔af(a)b⇔bf(b)大值f(1)＝1
B．函数有极大值f(－2)＝－, 极小值f(1)＝1
C．函数有极小值f(－2)＝－, 无极大值
D．函数有极大值f(1)＝1, 无极小值
10．已知a>0, 函数f(x)＝x3－ax在[1, ＋∞)上是增函数, 则a最大值是________．

11． 已知函数f(x)＝xsinx, x∈R, f(－4), f, f大小关系为____________(用“<”连接)．

12．已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·ex, 设t>－2, 函数f(x)在[－2, t]上为单调函数时, t取值范围是________．
13．已知函数f(x)自变量取值区间为A, 若其值域也为A, 则称区间A为f(x)保值区间．若g(x)＝x＋m－lnx保值区间是[2, ＋∞), 则m值为________．
14．(10分)已知函数f(x)＝ex－x(e为自然对数底数)．
(1)求f(x)最小值;
(2)不等式f(x)>ax解集为P, 若M＝且M∩P≠∅, 求实数a取值范围;
(3)已知n∈N﹡, 且Sn＝[f(x)＋x]dx(t为常数, t≥0), 是否存在等比数列{bn}, 使得b1＋b2＋…＋bn＝Sn？若存在, 请求出数列{bn}通项公式; 若不存在, 请说明理由．

15．(13分) 设f(x)＝x3＋mx2＋nx.
1)假如g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5, 求f(x)解析式;
(2)假如m＋n<10(m, n∈N＋), f(x)单调递减区间长度是正整数, 试求m和n值．(注: 区间(a, b)长度为b－a)

16．(12分) 设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间, 求a取值范围;
(2)当0导函数图象上找从x轴下方变为x轴上方点, 这么点只有1个, 所以函数f(x)在开区间(a, b)内只有1个极小值点, 故选A.
2．C　[解析] ∵f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′<0, ∴f(x)g(x)为减函数, 又∵af(x)g(x)>f(b)g(b)．
3．D　[解析] 选项A表示面积增速是常数, 与实际不符; 选项B表示最终时段面积增速较快, 也与实际不符; 选项C表示开始时段和最终时段面积增速比中间时段快, 与实际不符; 选项D表示开始和最终时段面积增速缓慢, 中间时段增速较快．
4．A　[解析] ∵|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|, ∴<1, 即Ω函数是指对于区间(1,2)上, 曲线上任意两点连线斜率均在(－1,1)内, 对于A, f′(x)＝－值域为, 对于曲线上任意两点连线, 一定存在曲线切线与它平行, 符合条件, 故选A.
【能力提升】
5．D　[解析] 因为v(t)＝s′(t), a(t)＝v′(t), 注意到所给三条曲线中, 只有曲线a上有部分点纵坐标小于零, 所以只有曲线a才能作为a(t)图象, 曲线b有升有降, 所以其导函数图象有正有负, 这与所给曲线a形状吻合, 所以b为v(t)图象．
6．A　[解析] f′(x)＝ex－ae－x, 这个函数是奇函数, 因为函数f(x)在0处有定义, 所以f′(0)＝0, 故只能是a＝1.此时f′(x)＝ex－e－x, 设切点横坐标是x0, 则ex0－e－x0＝, 即2(ex0)2－3ex0－2＝0, 即(ex0－2)(2ex0＋1)＝0, 只能是ex0＝2, 解得x0＝ln2.正确选项为A.
7．D　[解析] 结构函数g(x)＝xf(x), 则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0, 故函数g(x)是R上单调递增函数, 由增函数定义, 对任意实数a, b有a>b⇔g(a)>g(b), 即a>b⇔bf(b)导数f′(x)＝3x2＋2ax＋b在区间(－1,0)小于或者等于零恒成立, 即3－2a＋b≤0且b≤0, 把点(a, b)看作点坐标, 则上述不等式表示区域如图．

依据a2＋b2几何意义得, 最小值就是坐标原点到直线3－2a＋b＝0距离平方, 即.
9．A　[解析] f′(x)＝′＝＝0, 得x＝－2或x＝1, 当x<－2时f′(x)<0, 当－20, 当x>1时f′(x)<0, 故x＝－2是函数极小值点且f(－2)＝－, x＝1是函数极大值点且f(1)＝1.
10．3　[解析] f′(x)＝3x2－a在[1, ＋∞)上恒大于0, 则f′(1)＝3－a≥0⇒a≤3.
11．f0⇒x>1或x<0, 由f′(x)<0⇒0－20时, f′(x)>0, 当x<0时, f′(x)<0.
∴f(x)在(0, ＋∞)上递增, 在(－∞, 0)上递减,
∴f(x)min＝f(0)＝1.
(2)∵M∩P≠∅, ∴f(x)>ax在区间有解,
由f(x)>ax, 得ex－x>ax, 即
a<－1在上有解．
令g(x)＝－1, x∈,
∵g′(x)＝,
∴g(x)在上递减, 在[1,2]上递增．
又g＝2－1, g(2)＝－1, 且g(2)>g,
∴g(x)max＝g(2)＝－1,
∴a<－1.
(3)设存在等比数列{bn}, 使b1＋b2＋…＋bn＝Sn,
∵Sn＝[f(x)＋x]dx＝en－et, ∴b1＝e－et,
n≥2时bn＝Sn－Sn－1＝(e－1)en－1,
当t＝0时, bn＝(e－1)en－1, 数列{bn}为等比数列,
当t≠0时, ≠, 则数列{bn}不是等比数列,
∴当t＝0时, 存在满足条件数列bn＝(e－1)en－1满足题意．
15．[解答] (1)由题意得gx)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)2＋(n－3)－(m－1)2,
已知g(x)在x＝－2处取得最小值－5,
所以即m＝3, n＝2.
即得f(x)＝x3＋3x2＋2x.
(2)因为f′(x)＝x2＋2mx＋n, 且f(x)单调递减区间长度为正整数, 故f′(x)＝0一定有两个不一样根,
从而Δ＝4m2－4n>0, 即m2>n.
不妨设两根为x1, x2, 则|x2－x1|＝2为正整数．
又m＋n<10(m, n∈N＋),
故m≥2时才可能有符合条件m, n,
当m＝2时, 只有n＝3符合要求;
当m＝3时, 只有n＝5符合要求;
当m≥4时, 没有符合要求n.
总而言之, 只有m＝2, n＝3或m＝3, n＝5满足上述要求．
【难点突破】
16．[解答] (1)f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a,
当x∈时, f′(x)最大值为f′＝＋2a; 令＋2a＞0, 得a＞－,
所以, 当a＞－时, f(x)在上存在单调递增区间．
(2)令f′(x)＝0, 得x1＝, x2＝.　
所以f(x)在(－∞, x1), (x2, ＋∞)上单调递减, 在(x1, x2)上单调递增．
当0＜a＜2时, 有x1＜1＜x2＜4, 所以f(x)在[1,4]上最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0, 即f(4)＜f(1),
所以f(x)在[1,4]上最小值为f(4)＝8a－＝－,
得a＝1, x2＝2, 从而f(x)在[1,4]上最大值为f(2)＝.