课题椭圆及其标准方程三.doc

课 题: 8．1椭圆及其标准方程（三）
教学目:
1.使学生了解轨迹与轨迹方程区分与联络
2.使学生掌握转移法（也称代换法, 中间变量法, 相关点法）求动点轨迹方程方法与椭圆相关问题处理
教学关键: 利用中间变量法求动点轨迹
教学难点: 利用中间变量法求动点轨迹
讲课类型: 新讲课
课时安排: 1课时
教 具: 多媒体、 实物投影仪
教学过程:
一、 复习引入:
1 椭圆定义:
平面内与两个定点距离之和等于常数（大于）点轨迹叫作椭圆, 这两个定点叫做椭圆焦点, 两焦点间距离叫做椭圆焦距
注意:椭圆定义中轻易遗漏两处地方: （1）两个定点-两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定
在一样绳长下, 两定点间距离较长, 则所画出椭圆较扁（线段）两定点间距离较短, 则所画出椭圆较圆（圆）椭圆形状与两定点间距离、 绳长相关(为下面离心率概念作铺垫)
2.椭圆标准方程:
（1）
它所表示椭圆焦点在轴上, 焦点是, 中心在坐标原点椭圆方程 其中
（2）
它所表示椭圆焦点在轴上, 焦点是,中心在坐标原点椭圆方程 其中
在与这两个标准方程中, 都有要求, 如方程就不能肯定焦点在哪个轴上; 分清两种形式标准方程, 可与直线截距式类比, 如中, 因为, 所以在轴上“截距”更大, 所以焦点在轴上(即看分母大小)

二、 讲解范例:
例1 如图, 已知一个圆圆心为坐标原点, 半径为2, 从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ, 求线段PPˊ中点M轨迹（若M分 PPˊ之比为, 求点M轨迹）
解: （1）当M是线段PPˊ中点时, 设动点坐标为, 则坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2圆上,
所以有 , 即
所以点轨迹是椭圆, 方程是
（2）当M分 PPˊ之比为时, 设动点坐标为, 则坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2圆上,
所以有 , 即
所以点轨迹是椭圆, 方程是
例2 已知轴上一定点A（1,0）, Q为椭圆上动点, 求AQ中点M轨迹方程

解: 设动点坐标为, 则坐标为
因为点为椭圆上点,
所以有 , 即
所以点轨迹方程是
例3 长度为2线段AB两个端点A、 B分别在轴、 轴上滑动, 点M分AB比为, 求点M轨迹方程
解: 设动点坐标为, 则坐标为 坐标为
因为,
所以有 , 即
所以点轨迹方程是
例4 已知定圆, 动圆M和已知圆内切且过点P(-3, 0), 求圆心M轨迹及其方程
分析: 由两圆内切, 圆心距等于半径之差绝对值 依据图形, 用数学符号表示此结论:
上式能够变形为, 又因为, 所以圆心M轨迹是以P, Q为焦点椭圆
解 已知圆可化为:

圆心Q(3, 0), , 所以P在定圆内 设动圆圆心为, 则为半径 又圆M和圆Q内切, 所以,
即 , 故M轨迹是以P, Q为焦点椭圆, 且PQ中点为原点, 所以, , 故动圆圆心M轨迹方程是:
三、 课堂练习:
（1）已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点距离为3, 则P到另一个焦点距离是 （ ）
A.2 B.3 C.5 D.7 答案: D
（2）已知椭圆方程为,那么它焦距是 （ ）
A.6 B.3 C.3 D. 答案: A
（3）假如方程表示焦点在轴上椭圆, 那么实数k取值范围是
A.（0, +∞） B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1) 答案: D
(4)已知椭圆两个焦点坐标是F1（-2, 0）, F2（2, 0）, 而且经过点P（）, 则椭圆标准方程是_____ 答案:
（5）过点A（-1, -2）且与椭圆两个焦点相同椭圆标准方程是____ 答案:
（6）过点P（, -2）, Q（-2, 1）两点椭圆标准方程是______
答案:
四、 小结 : 用转移法求轨迹方程方法 转移法是在动点运动伴随另一个点运动而运动, 而另一个点又在有规律曲线上运动, 这种情况下才能应用, 利用这种方法解题关键是寻求两动点坐标间关系
五、 课后作业:
1．已知圆＝１, 从这个圆上任意一点P向轴作垂线段ＰＰ′, 求线段ＰＰ′中点M轨迹.
选题意图: 训练相关点法求轨迹方程方法, 考查“经过方程, 研究平面曲线性质”这一解析几何基础思想.
解: 设点M坐标为, 则点P坐标为.
∵P在圆上, ∴, 即.
∴点M轨迹是一个椭圆
2．△ABC两个顶点坐标分别是B(0, 6)和C(0, -6), 另两边AB、 AC斜率乘积是-, 求顶点A轨迹方程.
选题意图: 巩固求曲线方程通常方法, 建立借助方程对应曲线后舍点解题意思, 训练依据条件对部分点进行取舍.
解: 设顶点A坐标为.
依题意得 ,
∴顶点A轨迹方程为 .
说明: 方程对应椭圆与轴有两个交点, 而此两交点为（０, －６）与(0, 6)应舍去.
3．已知椭圆焦点是, Ｐ为椭圆上一点, 且｜｜是｜｜和｜｜等差中项.
(1)求椭圆方程;
(2)若点P在第三象限, 且∠＝120°, 求.
选题意图: 综合考查数列与椭圆标准方程基础知识, 灵活利用等比定理进行解题.
解: (1)由题设｜｜＋｜｜＝２｜｜＝4
∴, 2c=2, ∴ｂ＝
∴椭圆方程为.
（２）设∠, 则∠＝60°－θ
由正弦定理得:
由等比定理得:

整理得: 故
.
说明: 曲线上点与焦点连线组成三角形称曲线三角形, 与曲线三角形相关问题常常借助正(余)弦定理, 借助百分比性质进行处理.对于第二问还可用后面几何性质, 借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来, 再去解三角形作答
六、 板书设计（略）
七、 课后记: