导数和矢量运算.pptx

1.1.1 导数导数1.1.2 导数的运算导数的运算1.1.3 单变量函数的微分单变量函数的微分1.1.4 积分积分附录附录 1.1 微积分简介微积分简介 积分积分例例 物体作匀速直线运动，路程速度物体作匀速直线运动，路程速度时间，时间，即即sv t。在在 v-t 图中，图中，路程路程 s 为阴影的为阴影的面积面积。例例 若物体作变速直线运动，速度若物体作变速直线运动，速度vv(t),可可以把以把 t 分成许多均等小段分成许多均等小段 t，只要，只要 t 充分小，每充分小，每段时间中的速率近似看成是不变的，把各小段时间中的速率近似看成是不变的，把各小段时间内走过的路程相加，即近似为总路程，段时间内走过的路程相加，即近似为总路程，曲折的梯形曲线下的曲折的梯形曲线下的面积即近似为总路程。面积即近似为总路程。当当 时时 ,右右边的极限值就是所求总路程：边的极限值就是所求总路程：上式可用积分形式表达：上式可用积分形式表达：定积分的上、下限、被积函数、积分变量定积分的上、下限、被积函数、积分变量即定积分形式。定积分的一般形式：即定积分形式。定积分的一般形式：几何意义几何意义:从从 0 到到 t 这段时间中这段时间中v(t)曲线下的曲线下的面积。面积。二、基本定理二、基本定理如果被积函数如果被积函数 f(x)是某一个函数是某一个函数 (x)的导数的导数，f(x)(x)，则在，则在 xa 到到 xb 区间内区间内 f(x)对对x 的定积分等于的定积分等于(x)在这区间内的增量。在这区间内的增量。(x)称为称为原函数原函数 积分是导数的积分是导数的逆运算逆运算求求解解例例找找 的原函数的原函数：因为因为 故故:三、不定积分三、不定积分不定积分是不定出上、下限的积分，可写成不定积分是不定出上、下限的积分，可写成式中式中C 为常量，可根据具体问题所给的条件为常量，可根据具体问题所给的条件定出此常量定出此常量已知曲线的切线斜率为已知曲线的切线斜率为 若曲线经过点若曲线经过点 求此曲线方程求此曲线方程。例例(1)求曲线方程求曲线方程；解解(1)设曲线方程为设曲线方程为 已知已知故故不同的不同的C 对应不同的曲线。对应不同的曲线。曲线经过点曲线经过点 把把 代代入入曲线方程，曲线方程，则曲线方程为则曲线方程为:四、基本积分公式四、基本积分公式一、一、矢量定义矢量定义二、矢量的合成二、矢量的合成附录附录 1.2 矢量矢量一、矢量定义一、矢量定义 物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。矢量的大小矢量的大小 矢量的模矢量的模 模等于模等于 1 1 的矢量的矢量 单位矢量单位矢量 需要以大小和方向表示的物理量需要以大小和方向表示的物理量 矢量，矢量，如：速度、加速度、力。如：速度、加速度、力。只有大小而无方向的量只有大小而无方向的量 标量，如：标量，如：温度、质量、体积。温度、质量、体积。用图表示矢量用图表示矢量 用有向线段表示：用有向线段表示：长度表示其大小，箭头表示其方向。长度表示其大小，箭头表示其方向。矢量平移时大小和方向不变。矢量平移时大小和方向不变。二、矢量的合成二、矢量的合成1.三角形法则：三角形法则：余弦定理余弦定理 几何关系几何关系 若两个以上的矢量相加若两个以上的矢量相加 所有的矢量首尾相连所有的矢量首尾相连2.解析法解析法将矢量沿直角坐标轴分解，各分矢量叫分量将矢量沿直角坐标轴分解，各分矢量叫分量 只需用带正号或负号的代数值表示只需用带正号或负号的代数值表示 三、矢量的标积三、矢量的标积(点乘点乘)两矢量相乘得到一个标量两矢量相乘得到一个标量 标积。其定义为标积。其定义为：投影投影根据标积定义根据标积定义 推论推论：(3)若若 两矢量垂直两矢量垂直 (4)直角坐标系的直角坐标系的单位矢量单位矢量 具有具有正交性正交性四、矢量的矢积四、矢量的矢积(叉乘叉乘)两矢量相乘得到一个矢量两矢量相乘得到一个矢量 矢积。写成：矢积。写成：若若 则则根据矢积定义根据矢积定义 推论推论：规定规定：若若 则则五、矢量的导数五、矢量的导数设矢量设矢量 为时间为时间t 的函数，规定其对时间的导数为的函数，规定其对时间的导数为：在直角坐标中，在直角坐标中，为常矢量为常矢量 一般情况下有以下性质：一般情况下有以下性质：六、矢量的积分六、矢量的积分一般采用直角坐标分量式计算。一般采用直角坐标分量式计算。矢量的矢量的线积分线积分：矢量的矢量的面积分面积分,就是计算矢量通过曲面的就是计算矢量通过曲面的通量通量N:在正法线方向的分量在正法线方向的分量一、函数一、函数有两个互相联系的有两个互相联系的变量变量 x 和和y，每当，每当x 取了某一取了某一数值后，按照一定的规律就可以确定数值后，按照一定的规律就可以确定 y 的值，就的值，就称称 y 是是 x 的的函数函数，记作，记作 yf（x）或）或 yy（x），x 为为自变量自变量，y 叫叫因变量因变量。自由落体运动自由落体运动:物体从离地面为物体从离地面为 h0 高度处开始下高度处开始下 落，则物体与地面的距离依赖于落，则物体与地面的距离依赖于时间时间 t 的规律是：的规律是：1.1.1 导数导数这里这里t 为自变量，为自变量，h 为因变量，也可记为：为因变量，也可记为：二、极限二、极限当自变量当自变量 x 无限趋于某一数值无限趋于某一数值 x0 (记作记作x x0)时，时，函数函数 f(x)的数值无限趋于某一确定的数值的数值无限趋于某一确定的数值a，则则 a 叫做叫做 x x0 时函数时函数 f(x)的极限值，记作：的极限值，记作：在三角函数中，在三角函数中，当当 x 无限向正向增大时，无限向正向增大时，arctan x 无限接近无限接近 ，用极限表示：，用极限表示：类似有：类似有：三、导数三、导数当自变量当自变量 x 由一个数值由一个数值 x0 变到另一个数值变到另一个数值 x1 时，后者减去前者叫作该自变量的时，后者减去前者叫作该自变量的增量增量，记作，记作函数函数 xx1x0.增量可正可负，增量可正可负，y 与自变量的增量与自变量的增量 x 密切密切相关，两者之比：相关，两者之比：称称增量比增量比。与此对应，因变量与此对应，因变量 y 的数值的数值由由 y0 f(x0)变到变到 y1 f(x1)，增量增量为：为：存在，则该极限就称为函数存在，则该极限就称为函数 f(x)在在 x 点的点的导导数数，记为，记为 ，f(x)或或 y。定义：如果定义：如果极限极限四、导数的意义四、导数的意义(1)(1)导数是函数在一点导数是函数在一点(而不是一个区间里而不是一个区间里)的变化率，的变化率，物理中的瞬时速度和瞬时加速度即导数的例子。物理中的瞬时速度和瞬时加速度即导数的例子。(2)几何意义：几何意义：函数的曲线上任意一点的切线的函数的曲线上任意一点的切线的 斜率斜率，就是函数在这一点的导数值。，就是函数在这一点的导数值。设函数设函数 y f(x)，在曲线上，在曲线上取一点取一点A，A是曲线上另一是曲线上另一点，割线点，割线AA 和和 x 轴的夹角记轴的夹角记为为。当。当A点沿着曲线趋近于点沿着曲线趋近于A时，时，割线割线AA趋近于某一趋近于某一极极限位置限位置 AT，显然，直线，显然，直线 AT 就是曲线在就是曲线在A点的点的切线切线，AT与与 x 轴所成的轴所成的夹角夹角即为变角即为变角 的极限。的极限。导数的几何意义导数的几何意义 曲线上横坐标为曲线上横坐标为x0 的一点的一点A处的切线斜率就处的切线斜率就 是是函数函数 f(x)在在 x0 处的导数值处的导数值 f(x0)。一、基本函数的导数运算举例一、基本函数的导数运算举例1.1.2 导数的运算导数的运算求求解解求求 及及解解当当 时，时，二、常用初等函数的导数公式二、常用初等函数的导数公式三、导数运算法则三、导数运算法则以下设以下设 u,v 为为x 的的函数函数，且导数，且导数 u,v 存在存在(1)(1)和（差）的导数，由极限的和（差）的导数，由极限的加法法则加法法则：(2)(2)积的导数：积的导数：(3)(3)商的导数：商的导数：(4)(4)复合函数的导数法则，设复合函数的导数法则，设 yf(v)，v(x)均有导数，则均有导数，则或或求求解解例例1求求解解例例2求求解解例例3求双曲线求双曲线 在任意点的切线斜率。在任意点的切线斜率。解解例例4切线斜率为切线斜率为 ，在方程中逐项对，在方程中逐项对 x 求导求导于是于是 ，此即曲线在坐标为，此即曲线在坐标为(x,y)的点的切线斜率。的点的切线斜率。一、微分概念一、微分概念定义：若定义：若 f(x)在在x 处有导数，则称处有导数，则称 f(x)dx 为为 f(x)在在 x 处的微分，处的微分，记为记为dy f(x)dx。P，C 是曲线上两点，是曲线上两点，1.1.3 单变量函数的微分单变量函数的微分二、微分的几何意义二、微分的几何意义函数函数微分微分自变量自变量微分微分导数导数 微商微商根据微分定义，可直接由导数公式求微分，相应根据微分定义，可直接由导数公式求微分，相应地，微分运算法则与导数运算法则相同，如：地，微分运算法则与导数运算法则相同，如：三、微分运算法则三、微分运算法则(2)(1)函数在函数在 x 处的微分处的微分 dy 就是曲线在就是曲线在 x 点的切线的点的切线的纵坐标的增量。纵坐标的增量。(5)若若 ，则，则(4)(3)四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用当当 x 很小时，很小时，当取当取 时，即有时，即有近似公式近似公式或或改为改为x 应限于较小的值，这样可得到一系列的近似公式：应限于较小的值，这样可得到一系列的近似公式：例如例如