1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2、3 极限的运算和两个重要极限,一、极限的四则运算,二、两个重要极限,三、无穷小量的比较,说明：记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程，实际上，下面的定理对xX,0,及x都成立。我们只证明xX,0,的情形。,1,定理,证,由无穷小运算法则,得,一、极限的四则运算,2,3,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,有界，,4,求极限方法举例,例1,解,5,小结:,6,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,7,解,例3,(消去零因子法),8,例4,解,(无穷小因子分出法),9,小结:
2、无穷小分出法:,以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,10,例5,解,先变形再求极限.,11,例6,解,12,例7,解,左右极限存在且相等,13,意义：,14,例8,解,15,小结,1、极限的四则运算法则及其推论;,2、极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限;,b.消去零因子法求极限;,c.无穷小因子分出法求极限;,d.利用无穷小运算性质求极限;,e.利用左右极限求分段函数极限.,3、复合函数的极限运算法则,16,二、两个重要极限,(1),注意：,17,例,解,18,(2),定义,19,20,模式,21,例4,解,例5,解,22,小结,1.,两个准则,2.
3、两个重要极限,迫敛准则;单调有界准则.,23,三、无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,24,定义:,25,例如，,26,例1,解,27,证,必要性,充分性,28,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,见课本357页,29,例,解,30,等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,31,例,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,32,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,注意,例,解,33,例,解,解,错,34,例6,解,35,另解:,36,小结,1、无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,37,作业：,课本,38,
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