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函数图像的线性变换
（一） 平移变换
1。比较函数ｙ＝ｆ（ｘ）与函数ｙ＝ｆ（ｘ＋３），当这两个函数的函数值相同时，它们的自变量的取值的关系是　　　　 　　　　　　。于是可知函数ｙ＝ｆ（ｘ＋３）的图像可以由函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像向　 　 来得到。
2．比较函数ｙ＝ｆ（ｘ）与函数ｙ＝ｆ（ｘ）+3，当这两个函数的自变量取相同值时，它们的函数值的关系是　　　　 　　　　　　。于是可知函数ｙ＝ｆ（ｘ）＋３的图像可以由函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像向　 　 来得到。
归纳：将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像
①向左平移ａ（ａ＞０）个单位，可以得到函数　　　　　　　的图像，
②向右平移ａ（ａ＞０）个单位，可以得到函数　　　　　　　的图像；
③向上平移ｂ（ｂ＞０）个单位，可以得到函数　　　　　　　的图像，
④向下平移ｂ（ｂ＞０）个单位，可以得到函数　　　　　　　的图像，
⑤向左平移ａ（ａ＞０）个单位，再向上平移ｂ（ｂ＞０）个单位，
可以得到函数　　　　　　　　　　的图像，
练习：1。下列两个函数的图像有何关系，说说他们的性质：
①，
②，，
2．将函数ｙ＝2sin（3ｘ）的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
得到函数 　　　　　　　　　　的图像。
总结：将函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像沿ｘ轴平移ｘ在变，沿ｙ轴平移ｙ在变.。向ｘ轴正方向平移ａ单位时，把ｘ换成ｘ－ａ，向y轴正方向平移ａ单位时，把ｙ换成ｙ－ａ；向ｘ轴负方向平移ａ单位时，把ｘ换成ｘ＋ａ，向y轴负方向平移ａ单位时，把ｙ换成ｙ＋ａ。
推广：（１）对于方程f(x,y)=0的图像的平移有类似结论。
将曲线C：f(x,y)=0向左平移a个单位，再向上平移b个单位得到方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的图像。
（２）一个图像沿向量平移，可以看成是左右和上下平移。
将曲线C f(x,y)=0沿向量v=(m,n)平移得到曲线，则的方程是　　　　　　　　　　。
解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点，P沿向量平移后的对应点为 ，则

代入方程f(x,y)=0中得：f(,)=0
所以则的方程是ｆ（，）＝０
练习：1。①函数ｙ＝sin2x的图像向右平移单位，得到函数　　　　　　　的图像。
②将曲线-2向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到曲线　　　　　　的图像。
③函数的对称中心是　　　　　　。的对称轴是　　　　　　，值域是　　　　　　。
2。若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是X∈( )
A． B． C． D．
3．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
A．2 B．4 C．6 D．8,
4．设偶函数满足，则
(A) (B)
(C) (D)
4．函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数
（二）对称变换。
1．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像为C，C关于y轴的对称图像为。则的解析式为 。
解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点，P关于轴的对称点为 ，则
，代入ｙ＝ｆ（ｘ）中得
所以的解析式是ｙ＝ｆ（－ｘ）
类似的可知;
2. 函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像为C，C关于轴x的对称图像为。则的解析式为 。
3. 函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像为C，C关于原点的对称图像为。则的解析式为 。
4．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像为C，C关于直线x=a的对称图像为。则的解析式为 。
5. 函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像为C，C关于点（m,n）的对称图像为。则的解析式为 。
6函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像为C，C关于直线y=x的对称图像为。则的解析式为 。

推广：对于方程f(x,y)=0的图像的对称变换有类似结论。
练习： 1.
①函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与函数　　　　　　　　的图像关于x轴对称。
②函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与函数　　　　　　　　的图像关于y轴对称。
③函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与函数　　　　　　　　的图像关于直线x=2对称。
④函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与函数　　　　　　　　的图像关于（-1,0）点对称。
⑤函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与函数　　　　　　　　的图像关于（1,2）点对称。
⑥函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与函数的图像关于ｙ轴对称，则＝　　　　　　　　。
⑦函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像与函数的图像关于ｘ轴对称，
则＝　　　　　　　　。
2.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）

(三)。伸缩变换：
1．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像为C，将图像上个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍得到图像。则的解析式为 。
解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点，P变换后的对应点为 ，则
∴，代入ｙ＝ｆ（ｘ）中得
所以的解析式是ｙ＝2ｆ（ｘ）
类似的可知
2．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像为C，将图像上个点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1/3倍得到图像。则的解析式为 。
3函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像为C，将图像上个点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标缩短为原来的1/3倍得到图像。则的解析式为 。
练习：1。把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

2.将圆C： 上各点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变) ，然后按向量平移得到图形，求图形得方程。