1、更巧更活的数学解题思想方法(一)
一、数学思想方法一般分为三个层次
第一类层次是用于具体操作的解题方法，如配方法、换元法、消元法、待定系数法、判别式法、迭代法、特值法、两边取对数、两边平方、两边开方、两边同加、拆项方法、添项方法等；
第二层次是用于指导解题的逻辑方法，如综合法、分析法、反证法、类比法、归纳法等；
第三层次是在长期的学习过程中形成的对数学解题具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想等。
二、巧用数学思想方法，破解数学难题
1、看清本质，不被表象迷惑
例1．已知若，求实数的
2、取值范围。
变式1．已知，若不等式 对任意实数x成立，求实数的实数的取值范围
变式2．已知是偶函数，且在[0，+)是增函数，如果数在上恒成立，求实数的取值范围。
例2．设函数且，则该函数的图像大致是（ ）
2、从定义、概念入手,破解数学难题
例3．是否存在函数满足:对任意都有 。
例4．设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，设
3、为有限集，试比较与
的大小。
3、合理变形，变换数学解题视角
例5．方程在上有解，求实数a的取值范围？
例7(机动)．已知，方程在区间（0，2）上有两个不等的实根，求的最小值。
更巧更活的数学解题思想方法(二)
3、合理变形，变换数学解题视角
例6.已知函数f(x)=ax，a∈R.
（Ⅰ）当a<2时，证明：函数f(x)在(0，1)上单调递减；
（Ⅱ）若对任意的x∈(0，1)∪(1，+∞)，不等式(x－1)[f(x)－]≥0恒成立，求a的取值范围。
4、
4、整体入手，换元解题
例8．若函数，求使成立的实数的集合。
联想:设函数则满足的取值范围
5、构图优先、以形助数
例9．已知函数f(x)=|x-a|-+a，x∈[1,4]， a∈(1,4)时，求函数f(x)的最大值的表达式M(a).
5、
例10．已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，求的取值范围。
例11.已知，求证:
6、以数辅形，代数求解
例12.如图，已知正方形ABCD、EFGH的边长分别为4和1，设M,N分别为CG,AE的中点，若小正方形EFGH在平面上作平移变换，且EH//AD，其中，求证MN长为定值。
6、
7、以静制动、不变应万变
例13．如图,放置的正方形,分别在一个十字架上滑动，M是BC中点，求的最大值
8.变元过多,实施减元
例14.已知对任意实数，二次函数恒非负，若，求的最小值
练习
1. 已知函数f(x)=，g(x)=ax+1，其中a>0。若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点， 则a的取值范围是
2.设函数f(x)=x2－ax+b,a,b∈R..
存在实数a，使得当x∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值
3.已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求的取值范围．
4. 已知函数f(x)=，g(x)=ax+1，其中a>0。若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点， 则a的取值范围是
5.已知函数，其中，且．
(1)如果对于任意，都有.证明：；
(2)当函数在区间上至少存在一个零点时，求的最小值．
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