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认识垂径定理
丰都许明中学 张政
一、深度学习主题：
如何认识垂径定理
二、深度学习内容：
初中数学人教A版必修《24.1.2垂直于弦的直径》
三、教材地位作用：
本节内容是前面圆的性质的重要体现，也是圆的对称性的具体化，也是今后证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系的重要依据，同时也是为了进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以本节内容是本章的教学重点，也是教材的重点。
四、教学重点难点：
１、教学重点：垂径定理，推论及其应用。
２、教学难点：发现并证明垂径定理.
五、深度学习目标：
１、知识与技能目标
（1）通过观察实验，使学生理解圆的对称性。
（2）掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它来解决有关的证明，计算和作图问题。
（3）培养学生观察，分析，联想能力，学会归纳、概括结论的能力.
２、过程与方法目标
（4）经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
（5）学生在老师的引导下进行自主探索，合作交流，收获新知。
（6）通过分组训练，深化新知，共同感受收获的喜悦。
３、情感态度与价值观目标
（7）激发学生探究，发现数学问题的兴趣和欲望。
（8）通过联系，发展，对立与统一的思想方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育
六、深度学情分析：
本节课是在上节课学习了圆的概念及弧,弦等概念的基础上的一节课。在上节课结束时留给学生这样一个问题“你还想进一步研究什么？”通过学习，学生很容易联系到上节课学习了圆，弧，弦，直径，半径等有关知识。那么圆内这些元素还具有哪些性质呢？学生自然地从上节课过渡到这节课的学习，同时培养了学生勤于思考，勤于动脑的好习惯，激发了学生学习兴趣与热情。
本节课主要有两方面的内容：一是圆的轴对称性，二是垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引入课题，带问题进行学习。圆的轴对称性主要是通过动手操作得出结论，圆是轴对称图形，根据轴对称性进一步研究院中相等的弦，弧得出垂径定理及其推论。利用此定理再去解决赵州桥问题，每一个环节都是环环相扣，不是孤立存在的。

七、深度教法分析
鉴于教材特点及目前学生的认识水平，选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动，多观察，多合作，多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验——观察——猜想——证明”的活动，最后得出定理，这符合新课改理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，要充分利用教具，提高教学效果，在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手，动口，动眼，动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课改理念下的直观性与可接受性原则。另外，教学中还要注重用不同颜色作图对比来启发学生。
八、深度学法指导：
考虑到九年级学生的心理特点（追求效率，喜欢精简，喜欢快节奏）和已有的知识基础（已学过轴对称，中心对称，圆的基本概念），在课堂中应采取的是情境引入后用折纸的方式引导学生从已知的，熟悉的知识入手让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析，解决新问题，通过探索发现，夯实基础，更上层楼和解决问题等环节发掘不同层次学生的不同能力从而达到发展学生思维能力的目的。
九、所需课时安排：１课时
十、学习教具准备：纸片、圆规、三角板，剪刀
十一、课堂结构设计：
（约需10分钟）
（约需15分钟）
（约需10分钟）
（约需3分钟
垂径定理的建构
垂径定理的探究
创设—感知概念
观察归纳—形成概念
辨析讨论—深化概念

质疑反思—深化定理
动手操作—确认定理

垂径定理的初步应用
尝试练习—巩固定理
总结反思—提高认识
布置作业—自主探究
（约需2分钟）

十二、教学活动设计：
教学过程设计
学习目标
学习活动
设计意图
目标（3）
目标（7）
探究活动1：创设情境—感知概念
①观察实例：
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,
是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你
能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
②展示图片：

③师生活动：
教师利用多媒体出示赵州桥图片，介绍赵州桥的资料，充分显示我国古代劳动人民的创造智慧。学生观察分析，体会，初步感知。
结合赵州桥资料的介绍，向学生进行爱国主义教育和美育的渗透

目标（１）
目标（3）
目标（4）
目标（5）
目标（7）

探究活动2：观察归纳－形成概念
学生动手：
用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
师生活动：
教师演示折叠的过程，学生折叠实验，观察分析，总结合作交流。
结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

探究活动3：辨析讨论－深化概念C

要求学生按要求完成下题：
如右图，CD是⊙O的一条弦，做直径AB，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如右图圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
通过上面的问题我们就能得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
师生活动：

教师点评，学生先自主探索，再小组合作，分析，总结，交流。

①让学生亲自动手，进行实验，探究得出结论，激发学生的求知欲望。

②从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换

ƒ通过该问题的引导学生探究，发现垂径定理，初步感知。

目标（2）
目标（3）
目标（4）
目标（5）
目标（6）

探究活动4：动手操作－确认定理
已知：如右图，直径AB、弦CD且CD⊥AB垂足为M
求证：CM=DM
弧AC=弧AD,弧CB=弧DB

分析：如图，连接OC,OD则OC=OD,可通过证明Rt△OCM和Rt△ODM全等，结合轴对称证明

类似地可以得到：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
师生活动：
教师引导，点拨，分析：要证CM=DM只要证CM,DM构成的两个三角形全等。因此，只要连接OC,OD或AC,AD即可。

学生自主，再合作，完成证明过程，养成良好的分析问题，解决问题的能力和习惯。

·
O
A
B
C
D
E

1教师通过引导学生自主，合作，探究，验证，培养学生分析问题，解决问题的能力

2、让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性

目标（2）
目标（3）
目标（4）
目标（5）
目标（6）
目标（7）
目标（8）

探究活动5：质凝反思－深化定理
l 垂径定理在作图方面的应用
如图，有一段弧AB，你能用尺规将其平分吗？四等分呢？
l 垂径定理在计算方面的应用
（1）已知，若⊙O中有两条平行的弦分别分8cm和6cm，且圆的半径为5cm，求两条弦之间的距离。
（提示学生一定要考虑两条弦的两种位置关系）
（2）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”

l 垂径定理在生活中的应用
如图，你能用什么方法确定这个残缺的圆的圆心？

师生活动：
教师出示问题，并引导学生利用垂径定理的推论来解决。
教师引导学生画出图形，考虑两种位置关系，利用勾股定理解决计算问题。

先让学生多读题，弄清题意和条件，画出图形。
以此问题激发学生学习的积极性，培养学生的爱国情。
小组讨论，进行思考，教师巡视并进行提示的指导。

1通过作图可直接应用垂径定理，充分说明用数学问题研究实际问题价值所在，培养学生逻辑思维能力和运用数学语言的能力。

2感受如何运用垂径定理与定义解决问题，明确运用定理的条件和具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理

3让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，培养学生的应用意识和能力。

目标（1）
目标（2）
目标（3）
目标（5）
目标（7）
目标（8）
探究活动６：总结反思－提高认识
１、 垂径定理及其应用。
２、 将垂径定理和勾股定理有机的结合，化圆中问题为三角形问题。
３、 圆中经常作辅助性——半径，弦的垂线。
点评方法：在解决有关弦，半径（直径），圆心到弦的距离等问题时，通常是通过构造直角三角形将垂径定理和勾股定理结合起来。

通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯。
目标（3）
目标（5）
目标（6）
目标（7）
目标（8）
自主活动７：布置作业－自主探究
必做题：（课本P88练习题24,1第7,8题）

选做题：已知：在半径为5cm的⊙O中，两条平行弦AB,CD分别长8 cm,6cm
求:两条平行弦间的距离。

通过训练，巩固本课所学知识，感悟其中蕴涵的转化数学思想，增强学生的应用意识。
必做题是垂径定理的应用。
选做题有助于培养学生的发散思维，为学有余力的学生安排的，这样，使不同程度的学生都有所获。