专题复习《线段和差最值问题》.doc

《线段和差最值问题》教学设计
谷城县石花镇第一中学 李绍平
一、教学目标
1.了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；
2.训练学生运用以上基本策略和基本原理解决坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识相关的线段和差最值问题；
3.通过解决问题培养学生转化问题的能力，以及及时总结反思的良好习惯.
二、学情分析
从心理特点来看，九年级的学生思想成熟,有想法,对直观事物的感知能力强,想象力丰富,正逐步从形象思维过渡到抽象思维.在知识储备上,他们在八年级上册已经学习过《最短路径问题》,对坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识也进行了复习，具备一定的解决问题的能力，可以主动参与、思考、交流.但由于学生归纳总结、综合实践能力不足,很难发现数学知识之间的联系,因此在解决实际问题时常常感到无处着手.所以,我们可以在教学过程中进行一些知识融合，使他们的分析问题、解决问题、总结反思等能力进一步提高.
三、重点难点
1.了解解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理；
2.综合运用所学知识解决线段和差最值问题；
3.如何把线段和最小、线段差最大问题转化到同一直线上.
四、教学过程
（一）情景引入
1.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

2.如图，若A地、B地在河的同侧．牧马人在河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

师生活动:
情景引入1，问题简单，学生很快回答出来.在情景引入1的铺垫下，学生自然想到作对称点来解决情景引入2问题.
设计意图:
教师通过改编后的“将军饮马问题” 引入，虽然有悖实际，但从理论上看，由易到难，能很好地服务于教学，让学生体会数学知识之间的联系并产生探索研究的兴趣，符合学生认知特点.
（二）合作探究一
1.如图，在抛物线的对称轴上找一点P，使点P到点B与点C的距离之和最小，求出
点P的坐标 .

方法归纳：
求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”的解题方法：
(1)作其中一点关于这条直线的对称点；
(2)连接这个对称点与另一点与直线相交；
(3)交点即为所求点，此线段长即为该最小距离.

2.变式
如图，在抛物线的对称轴上找一点P，使PA–PC的值最大，求出点P的坐标 .

方法归纳：
求“直线上一点到这条直线异侧两点的距离差最大时”的解题方法：
(1)作其中一点关于这条直线的对称点；
(2)连接另一点与这个对称点并延长与直线相交；
(3)交点即为所求点，此时两线段差即为该距离差的最大值.

师生活动:
合作探究一的第1题是一种常见题型，学生独立思考后回答解题思路，并对求点P的坐标提出不同的方法.合作探究一的第2题是第1题变式，不常见，学生小组讨论交流后回答解题思路，总结解题方法.
设计意图:
让学生通过解决线段和最小、线段差最大问题，体会解决线段和差最值问题基本策略和基本原理.

（三）合作探究二
1.如图，CF= BC，E是AB中点，在x轴 、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.

方法归纳：
求一个动点使线段和最小的问题，通常需要作一次对称；而求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称.

2.拓展
如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由.

方法归纳：
求几条线段和最小的问题，通常是把这几条线段转移到同一条直线上去.

师生活动:
合作探究二的第1题，学生尝试回答解题思路，并相互补充，最后达成共识：求两个动点使线段和最小的问题，通常需要作两次对称，将所求线段转移到同一条直线上去.
合作探究二的第2题，是几条线段和最小的问题的拓展延伸，第⑵的②问有一定难度，若学生小组讨论交流后还存在困难，教师适当点拨:
（1）由第（1）问的三角形全等可知线段 AM、EN有何数量关系？
（2）由题目中的将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，联想到△BMN是什么三角形？从而可知线段BM 、MN有何数量关系？
（3）此时，AM＋BM＋CM就转化为EN＋MN＋CM，当M点在何处时，可使EN＋MN＋CM的值最小？
师生共析，得出解题思路，总结解题方法。
设计意图:
通过解决合作探究二问题，拓展学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力，感悟转化思想，丰富数学活动经验.

（四）巩固练习

1. 如图， 中， 且BC=1，MN为AC的垂直平分线，

设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为_______.

2. 如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上，BM＝2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最小值为_______.

3. 如图,MN为⊙O的直径， MN＝4， ∠AMN＝ 30°,点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则 PA＋PB的最小值为______.

4.如图，∠AOB=45°，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q、R，则△PQR周长的最小值为______.

5.设G为y轴上一点，点P从点M出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点．
P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍．
（1）求∠ OMA的度数．
（2）试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．
（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

师生活动:
第（1）—（4）题学生独立完成后回答，并相互补充. 第（5）题有一定难度，若学生存在困难，教师适当点拨.
设计意图:
让学生进一步巩固解决线段和差最值问题的基本策略和基本方法.

（五）反思小结
教师与学生一起回顾本节课的知识，并请学生回答以下问题：
1. 本节课主要利用什么数学知识解决了哪类问题？
2. 解决这类问题的基本方法是什么？在解决这类问题的过程中，主要用到了什么数学思想？
设计意图:
通过回顾本节课的知识，引导学生把握解决线段和差最值问题的基本策略和基本原理，感悟转化思想的重要价值.

（六）课后作业
《中考复习指南》:P155 第5题；P152 第8题.
设计意图:
检查学生解决线段和差最值问题的能力.
五、教学反思
近几年来，线段和差最值问题常在中考题中出现，学生虽在八年级上册《轴对称》这一章的课题学习中学习过《最短路径问题》,但这类问题综合性较强,难度较大，学生常常无法找到解决问题的突破口.为了让学生掌握解决这类问题的基本策略、基本原理和基本思想，我在九年级下学期的第二轮复习中，对此进行了专题复习.
在教学中,我通过改编后的“将军饮马问题” 引入，先设计了两点在一条直线异侧确定最短路径的问题,又变式为两点在一条直线同侧确定最短路径的问题，帮助学生回顾旧知识，明确解决问题的基本原理，从理论上看，由易到难，让学生体会到数学知识之间的联系并产生探索研究的兴趣，符合学生认知特点.接着，探究与坐标系、抛物线相关的线段和最小问题，再变式为求线段差最大问题，让学生初步体会解决线段和差最值问题基本策略. 然后, 探究求两个动点使线段和最小的问题，并适当拓展延伸，让学生感知到求几条线段和最小的问题，基本思想就是把这几条线段转移到同一条直线上去.既拓展了学生的思维，培养了学生分析问题、解决问题的能力，又让学生感悟到转化思想的重要价值，丰富了学生的数学活动经验.最后，通过一组练习，进一步训练学生运用以上基本策略和基本原理解决坐标系、抛物线、三角形、四边形、圆等知识相关的线段和差最值问题. 整个教学过程紧凑而不失活泼,注重以学生为主体，努力给学生营造民主、平等而又充满乐趣的课堂，充分让学生参与教学，在自主探究、合作交流的过程中，获得良好的情感体验.本节课在每一教学环节中，都能以老师为主导，学生为主体由浅入深的展开教学，并能及时总结方法，很好地将“线段和差最值问题”转化为“两点之间，线段最短”问题，扣住了重点又突破了难点，同时注重了数学思想方法的渗透，让学生既学会了方法，又提升了能力，充分体现了新课程标准的基本理念，让时间留给学生，让讲台留给学生，让发现留给学生，让学生真正成为课堂的主人.
俗话说“活到老学到老”，在以后的教学中我还要努力学习，努力做好信息技术与数学教学的深度融合, 时刻关注学生的成长与体验, 努力使学生在课堂中自信、上进！努力使学生在学习中成功、成长！