备好一节课好难.doc

备好一节课好难

温州中学 陈相友 童美亚（邮编325014 电话[phone]）
1、 引言
美国教育家布鲁巴克曾经说过：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是让学生自己提出问题。”课堂的本质是作为教学主体的学生的学堂，是学生探索、讨论、交流的平台，而不是教师的表演舞台，学生完全可以根据自己的意愿自由地提出问题。因而如同人教社章建跃博士所说的，“教师应尽力在自己的能力边缘活动”，摆正师生角色，尽力创设问题的发现情境，使学生敢提出问题，想提出问题，能提出问题，为学生多层次、多角度、多方位探索问题尽力提供开阔的思维空间，营造一种民主、平等、开放、和谐、宽容的教学氛围。
2、 缘起
在一节向量的习题课的备课过程中，我选用了《高中数学精编》上两个问题和另一教学参考书上一个问题如下：
【问题1】已知为 线段的中点，求证：对任意一点，都有.
(《精编》P.178第11题)
【问题2】的重心为，点为所在平面内任意一点，
求证：. (《精编》P.173例3)
【问题3】如果为平行四边形所在平面内任一点，为对角线的交点，
求证：

图1 图2
选题后当时的感觉颇佳，因为首先这三道题的条件和结论相似，从问题1到问题2再到问题3，是同一个系列问题从二元到三元再到四元的引申，其次在上述问题解决的过程中能融平面向量形式的多样性和平面向量运算的灵活性于一体。
3、 问题的出现
怀着备课时颇佳的心态，课堂上从问题1到问题2，讲练结合，一气呵成，教学双边活动也很为和谐，于是我拿出问题3让学生思考，正当其他学生在静静思考时，学生甲提出问题：“老师，题1、题2条件中所涉及的是平面内任意的一条线段的两端点、任意一个三角形的三个顶点，而题3中你为什么选择平行四边形这样特殊的平面四点？不具一般性！研究任意四边形的四个顶点，问题更有意义！”。多具挑战性的一个问题！教学偶发事件出现了，教学尚为老练的自己及时肯定和大加赞赏了这位学生的思维，然后问其他学生：“我们可以不可以先思考学生甲提出的问题？我们把它称为问题4如下”
【问题4】如果为四边形所在平面内任意一点，在平面内是否存在定点，使得：
，若存在，找出定点，并加以证明；若不存在，请说明理由。
4、 问题的解决
问题4的出现，一个自己身边同学提出的问题来了，一个探索性的问题来了。此时学生的积极性高涨，超乎预期，我期待着学生有超乎预期的问题解决方案，我决定把余下的时间交给我的学生。果然不出我料，问题解决方案汇总如下：
方案1：
学生甲：首先我的直觉满足条件的点存在，来不及太多考虑，抱歉！我先找出这样的点。是问题1帮了我的忙，因为我们要找的点满足，此式可化为，如图3，分别取的中点，
有问题1得：，，
所以，故点为线段的中点。
方案2： 图3
学生乙：我是得益于问题1和问题3。因为在这之前我已把问题3证明了，我知道问题3是问题4的特殊情形，在问题4寻找点的过程中，最先猜测点也是对角线交点，失败了。但我还是念念不忘问题3的结论，于是我在分别取得中点，
如图4，由得

再由问题1得，
显然四边形是平行四边形，
故点为平行四边形对角线的交点。 图4
方案3：
学生丙：我是利用问题2的结论。由问题2得，
即，
代入
整理得：
图5 即，即
故点为线段的一个内分点，（如图5所示）。
方案4：
学生丁：在问题1和问题2的解决过程中我们可以发现一个类似的结论：
要想证明和成立，只需证明
成立，因此问题4的解决即转化为在平面内寻找点使得，令，，，，由平面向量的坐标形式运算得：，但我还不清楚怎么跟前面同学的几何作图衔接。
方案5：
学生戊：把平面上的四点看成四个均匀的质点，那么得益于方案4，可得点即为这四个质点的重心，从物理的角度分析这个问题，我们在四个
质点处施加1g垂直向下的力（如图6所示），由问题2得，
作用于三点的等同于在点
施加一个3g垂直向下的力，再结合点，
很快找出力矩平衡点为满足上述条件的点。
5、讨论与反思 图6
我为自己拥有这样一群学生感到骄傲，感到自豪，当我还来不及选用怎样的词语赞许他们时又有一学生提出问题： “老师，既然任意的四边形我们已经解决，那么对于任意的五边形呢？…任意的n边形呢？甚至再推广到空间三维向量的情形呢？”可想而知，课后我的心情是沉沉的，因为此时此刻不断在我脑海里闪现的是：“教学真是个良心活！你要花多少时间才能备好一节课？又怎么样才算是真正备好一节课？备好一节课好难！”
从问题1到问题2再到问题3、4，以原来的形式呈现,固然给学生能充分感受到题设条件和结论的相似之处;题型的一脉相承又循序渐进,然问题呈现形式的单一总是留于人应试教育的痕迹,因而我们再回过头来审视上述问题解决的各方案发现，尽管条件中的点具有任意性，然而结论的结构相似，当学生借助几何画板或Ti图形计算器画这两个图形时发现，当O点变化时，的和向量也在不断变化，但是有一点是不变的，即M点始终落在向量上，同理也发现在题2中，当O变化时， 的和向量也始终过点G。

图7 图8
把问题拓展到任意的五边形，…任意的n边形。根据前面的问题分析，即要求我们在多边形中找到一个点，使它到多边形各顶点的向量和为零向量，我们不妨把这个点叫做多边形的“向量平衡点”。我们得到找n边形的向量平衡点的一般方法：
（1）当n为偶数时，把这n个点分成两组，每组 个点，这两组点组成两个边形，则这个n边形的向量平衡点就是的中点，其中分别为两个边形的向量平
衡点；
（2）当n为奇数时，也把这n个点分成两组，分别组成，则这个n边形的向量平衡点就是分的比为的点，其中为边形的向量平衡点，为边形的向量平衡点。
后记： 成功的教学是一种创造，是一种艺术，永无止境。章建跃博士的话还在耳边回荡——“教师应尽力在自己的能力边缘活动，不要做自己驾轻就熟的事”。

参考文献：
1、李昌官。数学问题发现情境的创设探究。数学通报，2004。5
2、杨志文。中学数学教学中开展探究性学习的几点思考。数学通报，2001。11