完全平方公式-教学设计.doc

教学设计

沪科版七年级(下)数学

8.3 完 全 平 方 公 式
（第1课时）

安徽省滁州市第八中学 徐义勇

2017年4月

教学设计

课题：8.3完全平方公式（第1课时）

一、学习目标
1.经历探索完全平方公式的过程，发展观察、交流、归纳、猜测、验证等能力.
2.能推导乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，能用公式进行简单计算.
3.进一步体会数形结合的数学思想和方法.
二、教学重点、难点
1.重点：乘法公式的应用.
2.难点：公式的结构特征以及对公式中字母所表示广泛含义的理解和正确运用.
三、教学过程
（一）复习回顾
（提问）多项式与多项式相乘的运算法则是什么？
多项式与多项式相乘的运算法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
（练习）计算下列各式：
(1)(x+8)(x+15) (2)(x+y)(x-3y) (3)(x+8)(x+8)
(4)(x+y)(x+y) (5)(a+b)(a+b) (6)(a-b)(a-b)
计算：
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2
(二)新课讲解
1.完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
2.完全平方公式的文字叙述：
两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数的积的2倍.
两个数的差的平方，等于这两个数的平方和减这两个数的积的2倍.
说明：乘法公式实际上是几个特殊形式的多项式乘法结果.掌握这些公式，在遇到形式相同的多项式相乘时，就可以直接写出结果，从而省略了乘法运算过程，达到简化运算的目的.
3.完全平方公式的特点：
①积为二次三项式；
②积中两项为两数的平方和；
③另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；
④公式中的字母a，b可以表示数、单项式或多项式.
公式的口诀：首平方，尾平方，首尾二倍中间放.
4.(探究与思考)完全平方公式的几何图形说明：
(第1种方法)
提问：完全平方公式除了直接由乘法得到，还可以通过图形面积补割的方法得到吗？
b2

2ab

(第2种方法)
问题1：有一个边长为a的正方形广场，现要扩建广场，要求将其边长增加b，试问扩建后这个正方形的面积有多大？
广场
a
a
b
b
a2
a
a
b
b
ab
ab
b2

算法一：扩大后正方形广场的边长是 a+b ，所以它的面积是 a+b)2 .
算法二：先算4块小矩形的面积，再求总面积.所以扩大后正方形广场的面积是 a2+2ab+b2 .
归纳：
①如果把它看成一个大正方形，那么它的面积可表示为 (a+b)2 .
②如果把它看成四个小矩形，那么扩建后的面积就是它们的面积之和，可表示为 a2+2ab+b2 .
我们又可以得到：(a+b)2=a2+2ab+b2.
问题2：如果将正方形广场的边长缩减b，试问缩减后这个正方形的面积又有多大呢？
广场
a
a
b
b
a2
广场
a
a
b
b
b2
b(a-b)
b(a-b)

算法一:缩减后正方形广场的边长是 a-b ，所以它的面积是(a-b)2.
算法二：先算4块小矩形的面积，再求总面积.所以缩减后正方形广场的面积是 a2-2ab+b2 .
a2-b(a-b)-b(a-b)-b2=a2-ab+b2-ab+b2-b2=a2-2ab+b2
归纳：
①如果把它看成一个小正方形，那么它的面积可表示为 a-b .
②如果把它看成四个小矩形，那么缩减后这个正方形的面积表示为(a-b)2.
我们又可以得到：(a-b)2=a2-2ab+b2.
由此，我们可以得到两个重要的乘法公式：
（板书标题）完全平方公式
(1)(a+b)2=a2+2ab+b2
用文字语言叙述是：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的2倍.
(2)(a-b)2=a2-2ab+b2
用文字语言叙述是：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和减这两个数乘积的2倍.
强调：这两个公式，今后我们可以直接应用于计算.
(三)练习
判断正误（提问学生口答）：
(1)(a+b)2=(-a-b)2 ( √ )
(2)(a+b)2=(b-a)2 ( √ )
(3)(a+b)2=a2+b2 ( × )
(4)(a-b)2=a2-b2 ( × )
(5)(a-b)2=a2+2ab+b2 ( × )
(6)(a+b)2=a2+ab+b2 ( × )
(四)例题讲解
(板书)例1.利用乘法公式计算：
(1)(2x+y)2； (2)(3a-2b)2.
解：(1)(2x+y)2 =(2x)2+2·2x•y+y2=4x2+4xy+y2.
↑↑ ↑ ↑↑↑
↓↓ ↓ ↓↓↓
( a+b)2 = a2 + 2 a b +b2
(2)(3a-2b)2 = (3a)2-2•3a•2b+(2b)2=9a2-12ab+4b2.
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(五)练一练
(请同学上黑板)1.利用乘法公式计算：
(1)(3x+1)2； (2)(a-3b)2； (3)(2x+)2； (4)(-2x+3y)2.
解：(1)(3x+1)2=(3x)2+2•3x•1+12=9x2+6x+1.
(2)(a-3b)2=a2-2•a•(3b)+(3b)2=a2-6ab+9b2.
(3)(2x+)2=(2x)2+2•2x•+()2=4x2+2xy+.
(4)(-2x+3y)2=(-2x)2+2•(-2x)•(3y)+(3y)2=4x2-12x+9y2.
2.(纠错练习)指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(2a-1)2＝2a2-2a+1；
(2)(2a+1)2＝4a2+1；
(3)(-a-1)2＝-a2-2a-1.
解:(1)第一个数被平方时,未添括号；第一个数与第二个数乘积的2倍中少乘了一个2；
应改为: (2a-1)2＝(2a)2-2•2a•1+12.
(2)少了第一个数与第二个数乘积的2倍(漏了一项)；
应改为:(2a+1)2＝(2a)2+2•2a•1+12.
(3)第一个数平方未添括号；第一个数与第二个数乘积的2倍错了符号；第二个数的平方这一项错了符号；
应改为:(-a-1)2＝(-a)2-2•(-a)•1+12.
3.(提升练习)填空：
(1)若x2+8x+k是一个完全平方式，则k= . （16）
(2)若x2+2kx+9是一个完全平方式，则k= . （±3）
(六)小结
1.通过本节课学习，你有什么收获?
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
引申：第1个公式中用-b代替b，可得第2个公式：
(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2•a•(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.
这与有理数加减法混合运算里“加减法统一成加法”有“异曲同工”之处，但理解有难度，本节课不宜过度解释.
2.在解题过程中，运用完全平方公式进行多项式乘法的关键：
(1)要准确确定a和b，对照公式原形的两边,做到不丢项、不弄错符号；
(2)中间项±2ab时，不要漏乘2；
(3)当a或b表示乘积（单项式或多项式）的形式，被平方时要注意添括号.
(七)作业
1.教材P.71习题8.3：第1，7，8，9（1）题；
2.《同步练习》P.46基础练习8.3（一）：第1-8题.
(八)板书设计
课题：完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
例1.(1)(2x+y)2

学生练习
(1)(3x+1)2；

“班班通”电脑屏幕

(PPT课件展示)

复习
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

例1. (2)(3a-2b)2

学生练习
(2)(a-3b)2

- 5 -