相似、三角函数模型在综合题中的体现.docx

相似、三角函数在综合题中的体现
一， 自我回顾、模型梳理：（限时10分钟）
二， 模型自检：（限时30分钟）
1、 （m+n）: n =5:2,则m:n=______________;
2、将两块长a米，宽b米的长方形红布，加工成一个长c米，宽d米的长方形，有人就a,b,c,d的关系写出了如下四个等式，其中只有一个是错误的，请把错误的那个找出来（ ）；
3、已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为____________
4、要做两个形状相同的三角形框架，其中一个的三边为4、5、6，另一个三角形框架的最小边为2，则其余两边的长为____________
5、已知三个边长为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为_________

第5题 第6题 第7题
6、如图，在△ABC中，CE:EB=1:2，且△ABC的面积为18，则△ADE的面积为________
7、在矩形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，G,H在DC边上，且GH在DC边上，且GH=12DC，若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为_________________
8、如图菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°E是AB的中点，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值为___________

第8题 第9题 第10题
9、如图，☉O是△ABC的外接圆，AD是☉O的直径，若☉O的半径是52，AC=3，则∠B的正弦值为_______
10、如图，已知AB,CD是半圆O的直径和弦，AD,BC相较于点E，若∠AEC=α则S△CDE:S△ABE=( )
A,sin2α B,cos2α C, tan2α D,不确定

11、上坡的坡比为1:3，某人沿斜坡向上走了100米，则这人升高了_______米
12、如图三角形纸片的两直角边的长分别为6、8，现将△ABC沿如图那样对折，使点A与点B重合，折痕为DE，则∠CBE的正切值为____________

13、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AM为∠BAC的平分线，若点M到AC的距离为2，则△AMC的面积为
14、如图1，AD是Rt△ABC斜边上的高，AB=AC过A,D两点的圆与AB,AC分别交于E,F,弦EF,与AD交于点E,F.弦EF与AD交于点G，则图中与△GDE相似的三角形个数为（ ）
A, 5 B, 4 C, 3 D, 2

15、如图，AB=3AC, BD=3AE ,又BD∥AC点B,A,E在同一条直线上，
1），求证：△ABD∽△CAE;
2)，如果AC=BD，AD = 22 BD，设BD=a，求BC的长

16、如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°AB = AC=23, D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD= 22．将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′（如图②，点D′、E′分别与点D、E对应），点E′在AB上，D′E′与AC相交于点M．
（1）求∠ACE′的度数；
（2）判断ABCD/是怎样的四边形
（3）求△AD′M的面积．

三、典例分析、变式训练（限时40分钟）
1、如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．
（1）△ABE与△DBC相似吗？请说明理由；
（2）若BC=5，CD= 5，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的条件下求弦AB的长．

变式训练1如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点．
（1）如果BD∥CF，求证：AE=5DE；
（2）在（1）的条件下，若BC= 25，求线段CD的长度．

2、如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图（2）
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有________________
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．

变式训练2：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C．
（1）如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于D．证明：△A1CD是等边三角形；
（2）如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1:S2=1：3；
（3）如图3，设AC中点为E，A1B1中点为P，AC=a，连接EP，当θ=_____时，EP长度最大，最大值为

3、如图，开口向下的抛物线y=ax2-8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，
（1）求OC的长及 BCAC的值；
（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．

变式3：如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD= 14OA= 2，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）将△AEF沿一条边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形能否成为菱形？若能，请直接写出符合条件的x值．若不能，请说明理由．

四、发散提升
1、如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°，
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）求AF•BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM•ON的值；
（4）求线段EF长的最小值．（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时， x+y=(x-y)2+2xy或 x+1x=(x-1x)2+2）

2、如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为 5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α-β）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．