1、 高三数学综合四
—、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应的位置上.
1. 已知，若实数，则a的取值范围是________
2. 若复数是纯虚数，则实数a的值是_______
3. 如果数据的平均数是10，则数据的平均数为___ _
4. 盒中装有形状、大小完全相同的3个球，其中红色球2个,黄色球1个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______
5. 右图是某程序的流程图，则其输出结果为___
2、 ___
6. 已知，则____ ___
7. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为____ ___.
8. 巳知二次函数的值域是[0，），则的最小值是
9. 用一张长8cm、宽6 cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为_______cm3.(用含的式子表示）
10. 设函数，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围为____ __.
11. 在中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是_____ __
12. 将所有的奇数排列如右
3、表，其中第行第个数表示为，例如.若，则 =___ ____
13. 若实数成等差数列，点在动直线上的射影为M,已知点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是____ ___.
14. 下图展示了一个由区间为一正实数)到实数集上的映射过程：区间中的实数对应线段上的点，如图1;将线段围成一个离心率为的椭圆，使两端点、恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在轴上，已知此时点的坐标为（0，1)，如图3，在图形变化过程中，图1中线段的长度对应于图3中的椭圆弧的长度.图3中直线与直线交于点，则与实数对应的实数
4、就是，记作。
现给出下列命题：①.；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④.的图象关于点(，0)对称；⑤时，过椭圆右焦点.
其中所有的真命题是____ __ (写出所有真命题的序号）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分）已知ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,且
(1) 求角B的大小；
(2) 设向量，求当m • n取最大值时，tanC的值.
16. (本小题满分14分）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是
5、直角梯形，
(1) 求证：；
(2) 在A1B1上是否存在一点P，使得DP既与平面BCB1平行，又与平面ACB1平行？并证明你的结论.
17. (本小题满分14分)某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前个月顾客对A品牌的商品的需求总量件与月份的近似关系是：
(1) 写出第月的需求量的表达式；
(2) 若第月的销售量（单位：件），每件利润元与月份的近似关系为：，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？
18. (本小题满分16分)如图，已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆T过点M(2,1)，离心率为；抛
6、物线顶点在原点，对称轴为轴且过点.
(1) 当直线l0经过椭圆T的左焦点且平行于时，求直线l0的方程；
(2) 若斜率为的直线不过点，与抛物线交于、两个不同的点，求证：直线与轴总围成等腰三角形.
19. (本小题满分16分）已知函数，其中常数.
(1) 求的单调区间；
(2) 如果函数在公共定义域D上，满足，那么就称为与的“和谐函数”.设为常数,且），求证：当时，在区间上，是函数与的“和谐函数”.
20. (本小题满分16分)巳知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和，
(1) 若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；
(2) 对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是至全体正整数组成的集合.
(i)求的值;(ii)求数列的通项公式.
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