初中数学--变量和函数.docx

14.1 变量与函数
重要知识点讲解
1、常量与变量
在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，始终不变的量叫做_________。
2、函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么我们就说__________是自变量，是的__________。
3、在一个函数关系式中，如果当时，，那么叫做当自变量的值为时的____________。
4、自变量的取值范围
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意_______使实际问题有意义。
5、函数的图像
（1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_____与________，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的_______。
（2）描点法画函数图像的一般步骤是：①___________；②_____________；③__________；
（3）当函数图像从左向右上升时，函数值随自变量的变大而_________；当图像从左向右下降时，函数值随自变量的变大而_________。
（4）函数的表示方法：共有_______种，分别是______法、______法、和______法。
答案：1、变量，常量；2、唯一，，函数；3、函数值；4、自变量的取值；5、（1）横坐标，纵坐标，图像；（2）列表，描点，连线；（3）变大，变小；（4）3，图像，列表，解析式。
重要知识点讲解
知识点一：变量和常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
详解：如在行程问题中，当速度保持不变时，行走的路程的长短随时间的变化而变化，那么在这一过程中，是常量，而和是变量。当路程是个定值时，行走的时间随速度的变化而变化，那么在这一过程中，是常量，而和是变量。
注意：（1）变量和常量往往是相对的，对于不同的研究过程而言，其中的变量和常量是不相同的，变量和常量的身份是可以相互转换的，如：三者之间；
（2）区分常量与变量，就是看某个变化过程中，该量的值是否可以改变（即是否会取不同的数值）；
（3）在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义，如：长度，天数，身高不能为负数，人数必须是非负整数等。
例1 写出下列各问题中所满足的关系式，并支出各关系式中，哪些是常量，哪些是变量。
（1）购买单价是0.4元的铅笔，总金额（元）与购买的铅笔之间的关系；
（2）运动员在一周的跑道上训练，他跑一圈所用的时间与跑步速度的关系。
答案：（1）与之间的关系为：，其中，常量为0.4，变量为和。
（2）与之间的关系式为，其中，常量为400，变量为与。
知识点二：函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说为自变量，是的函数。
详解：例如，一列货车以的速度匀速行驶，如果行驶了，那么路程（）。这时的速度是不变的量，而和是变化着的量，可以在非负实数范围内取任意值，对于的每一个确定的值，必可以求出唯一的一个确定的路程与之相对应，因此路程是时间的函数。
注意：对函数概念的理解，主要应该抓住以下五点：
（1）在某一个变化过程中必须有两个变量与。如等。
（2）对于自变量的取值，必须使代数式有意义。如：中的自变量可以在实数范围内取值；如中的被开放书要满足。另外，在实际问题中，自变量的取值必须使实际问题有意义。如多边形的内角和是变数的函数，即，如果只是从代数式有意义的角度来考虑，是可以取任意实数的，但我们知道多边形的边数必须是大于2的正整数。
（3）函数的实质揭示了两个变量之间的对应关系：每取一个值，都有唯一的值与之相对应，否则就不是的函数。
（4）判断两个函数是不是同一个函数，应该从自变量的取值范围，函数的取值范围、函数解析式是否一致来判断。如：①和②，其中①中的可以取任意实数，②中的取不等于0的实数，所以和不是同一个函数。
（5）含有一个变量的代数式可以看作是这两个变量的函数。如，我们可以将和看作两个变量，随的变化而变化，在实数范围内每取一个值，就有唯一的值与之对应，所以是的函数。
例2 判断下面变量之间的关系是不是函数关系：
（1）已知圆的半径则圆的面积；
（2）长方形的宽一定时，其长与周长；
（3）王明的年龄和他的身高。
答案：（1）和（3）不是函数关系，（2）是函数关系。
知识点三：自变量的取值范围
函数关系式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义。
（1）当函数解析式是整式时，自变量的取值范围可取全体实数；
（2）当函数解析式是分式（分母中含有字母）时，自变量的取值范围要使分母不等于零。
（3）当解析式是偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数；
（4）对于实际问题中的函数，除使解析式有意义外，还要使实际问题有意义；
（5）自变量的取值范围可以是有限的或无限的，也可以是几个数或单独的一个数。例如：中，自变量的取值范围是；中，自变量的取值范围是。
（6）在一个函数关系式中，当自变量同时含在分式和二次根式中时，函数自变量的取值范围是使它们分别有意义的取值的公共部分。
例3 求下列函数中自变量的取值范围：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
例4 已知：等腰三角形的周长为，设底边长为，腰长为，试写出关于的函数关系式，并确定的取值范围。若底边长为，求腰长是多少？
答案：由题意，得，所以。由解析式本身有意义，得为全体实数。又由使实际问题有意义，则要考虑边长为正数，且要满足三角形三边关系定理。所以有：
即，解得。
当时，，解得。所以腰长是。
知识点四：函数值
对于一个函数，当自变量时，我们可以求出与它对应的的值，我们就说这个值是时的函数值。
详解：（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值，求相应的自变量的值就是解方程。
（2）对于一个函数，可能有若干个函数值。取不同的值，函数值可能不相等。因此我们应该说明自变量取什么值时的函数值，如：函数，当时的函数值是-3，时的函数值就是0.而不能简单地说函数的函数值是-3。
例5 已知：函数，当时，。（1）求的值；（2）当时，求的值。
答案：（1）；；
知识点五：函数的表示方法
函数的表示方法，一般有三种：解析式法、列表法和图像法，其中解析式法应用较多。有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示。
详解：解析式（函数关系式）：用来表示的函数关系式的数学式子叫做函数解析式或函数关系式，例如以前我们学过的代数式都是解析式。
（1）解析式法：用解析式来表示函数关系的方法叫做解析式法。解析式法能揭示变量之间的内在联系，便于我们研究、分析变化趋势，但较抽象，且并不是所有的函数都能列出解析式。如：人的体重和时间之间的函数关系，就很难用解析式法来表示。
（2）列表法：用表格来表示函数关系的方法，这种方法比较具体，但有时很难找出两个变量之间的内在联系。
（3图像法：用图像来表示函数关系的方法，这种方法直观，通过图像可以直观地发现两个变量之间的对应关系及变化发展趋势，但不精确。
三种方法各有优缺点，在学习应用中，应视具体情况，选择适当的表示法，或将三种方法结合适用。
例6 下列图形不能体现是的函数关系的是（ ）

答案：C
知识点六：图像的概念
一般地，对于一个函数，如果你把自变量和函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点所组成的图形，就是这个函数的图像。
详解：如：对于函数，在坐标平面内描出的横坐标和纵坐标相等的点。由几何知识（到一个角两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线）知，这样的点组成的图形是一条直线（第一、三象限角平分线），这条直线就是函数的图像，如下图所示。

函数图像上的点的坐标与其解析式之间的关系：由函数图像的定义可知图像上任意一点中，是解析式方程的一个解。反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图像上。
通常判定点是否在函数图像上的方法：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图像上；如果不满足函数解析式，这个点就不在函数的图像上。
说明：两个函数图像的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解。
由于实际问题的制约，自变量的取值范围，应符合以下条件：①使函数表达式有意义；②符合题意与实际情况。
例7 小明晚饭后出去散步，从家里出发走20分钟到一个离家900米的报亭看报10分钟后，用15分钟返回家，下列图中表示小明离家的距离（米）与离家的时间（分）之间的函数关系式是（ ）

答案：D
知识点七：由函数解析式画图像的一般步骤
（1）列表：列出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出对应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
注意：用描点法画函数图像应注意以下几点：（1）列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图像能反映出函数的全貌。（2）描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图像越准确。（3）连线时要用光滑的曲线把所描的点顺次连接起来。函数的图像可以是直线或者是射线或线段或曲线，它形象直观地反映两个变量之间的对应关系，在确定函数图像时要注意自变量的取值范围。
例8 画出函数的图像。
经典例题讲解
例1 底边上的高是，当三角形的顶点沿底边向点运动时，三角形的面积发生了变化，如图所示，
（1） 如果三角形的底边长为cm，那么三角形的面积可以表示为______________;
（2） 在这个变化过程中，常量是___________，变量是___________;
（3） 当底边长从变化到时，三角形的面积从___变化到______.
例2 下列式子中的的函数吗？为什么？

答案：（1）（2）（4）是，（3）（5）（6）不是。
例3 一水库的水位在最近6天内持续上涨，记录数据如下表所示：
（天）
0
1
2
3
4
5
6

12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
（1）由记录表推出这6天中水位随时间（天）变化的函数解析式，并画出函数图像；
（2）估计这种上涨的势头还会持续2天，试预测再过2天水位将达到多少米。
例4 如下图，在长方形中，是边上与点不重合的动点，过点的直线交的延长线与点，交于点（与不重合），且，设，梯形的面积为，求当时，和之间的函数关系式。

例5 下图是古代一种计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，若用表示时间，表示壶底水面的高度，下列的图像适合表示一小段时间内与的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）

答案：B
例6 如图，在矩形中， ，，点从起点出发，沿方向向终点匀速运动。设点走过的路程为，则线段与举行围成的图形的面积为，下列图像中能大致反映和函数关系的是（ ）

答案：A
基础闯关全练
一、 选择题
1、下列关于圆的面积与半径之间的函数关系中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）
A、，是变量，是常量
B、，是变量，2是常量
C、，是变量，是常量
D、，是变量，和2是常量
2、 下表是一项试验的统计数据，表示皮球从高处d处落下时，弹跳高度b的关系
d
50
80
100
150
b
25
40
50
75
下落高度d与弹跳高度b变化的关系式是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、 函数的自变量的取值范围是（ ）
A、 B、且
C、 D、且
4、 如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系用图象描述大致是（ ）

5、 如图，小亮在操场上完，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似画出小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（ ）

6、向最大容量为60升的热水器

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