平行四边形——矩形.doc

矩形的性质与判定
课程导入：前面我们学习了平行四边形，我们知道平行四边形具有不稳定性。大家想想，如果把一平行四边形拉正之后它会变成什么图形呢？大家看看，是不是变成了矩形啊？所以我们就得出了矩形的定义。。。。。。

必讲知识点：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 所以我们应该知道矩形也是特殊的平行四边形，它跟菱形一样也具有平行四边形的所以性质.
矩形的性质：
１：矩形的四个角都是直角．
2：矩形的对角线相等．
3. 对称性：中心对称和轴对图形。

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD。
因此可以得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

必讲例题
例1 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．
解：∵　四边形ABCD是矩形，
∴　AC与BD相等且互相平分．
∴　OA=OB．
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．

例2已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

例3 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．

A
B
C

E
F

上课必练
1．选择题：
（1）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（ ）．
A．12cm B．10cm C．7.5cm D．5cm
（2）下列说法错误的是（ ）．
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（3）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
2．填空（1）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．
（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．
（3）直角三角形中一条直角边为5，且斜边上的中线长为6.5，则这个三角形的面积为 。
3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．

4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求∠CBE的度数．

5．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．

课程导入
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？
边：对边平行且相等
角：四个角都为直角
对角线：相等且互相平分
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
4．除定义外还有什么方法判定矩形
那我们就来看看具备哪些条件的平行四边形是矩形.?
必讲知识点：
定义判定 ：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形判定1：对角线相等的平行四边形是矩形．
矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形．
由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法分为两类：
①从四边形出发增加三个特定的独立条件（判定1）
②从平行四边形出发增加一个特定的独立条件（判定2及定义）
（要证矩形一般先证平行四边形）

比讲例题：
例1.下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么
（1） 有一个角是直角的四边形是矩形（2）有四个角是直角的四边形是矩形 （3）四个角都相等的四边形是矩形（4）对角线相等的四边形是矩形 （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形
例2 （补充）已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=AC，BO=BD．
∵AO=BO，
∴AC=BD．
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴ BC=cm．
∴S□ABCD=AB·BC=4×=16cm2
例3 （补充） 已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAB＋∠ABC=180°．
又∵AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，
∴∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．
∴∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．

上课必练
1、下列四边形中不是矩形的是（ ）
A、有三个角是直角的四边形是矩形 B、四个角都相等的四边形
C、一组对边平行且对角相等的四边形 D、对角线相等且互相平分的四边形
2、如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A、一组对边平行而另一组对边不平行 B、对角线相等
C、对角线互相垂直 D、对角线相等互相平分
3、满足下列条件（ ）的四边形是矩形
A．有三个角相等 B．有一个角是直角 C．对角线相等且互相垂直 D．对角线相等且互相平分

4．已知：在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，
求证：四边形ACBE为矩形．

A
B
C
D
E
5．已知：如图，在ABCD中，E为CD中点，AM=BM，
求证：ABCD是矩形。

6．如图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，求此矩形的面积。
A
B
C
D
M

7、已知：如图，平行四边形 ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．

8、已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm．
（1）平行四边形是矩形吗？说明你的理由．（2）求这个平行四边形的面积．