Newton法在解非线性方程组.doc

本科学生毕业论文

Newton法在解非线性方程组
中的应用

黑 龙 江 工 程 学 院
二○一二年六月

The Graduation Design for Bachelor's Degree

Newton iterative method for system of nonlinear equations

Heilongjiang Institute of Technology
2012-06·Harbin

I

黑龙江工程学院本科生毕业论文

摘 要

非线性方程组的数值解法在实际中有广泛的应用，特别是在各种非线性问题的科学计算中更显出它的重要性。而且，随着计算机的广泛应用，有更多的领域涉及到非线性方程组的求解问题，例如，动力系统，非线性有限元问题，非线性力学问题，还有非线性最优化与非线性规划问题等．因此，研究非线性方程组的解法就具有重要的实际意义。由于非线性方程组的复杂性，在解法上除了极特殊的非线性方程组外，直接法几乎是不能使用的，这需借助于迭代法来求解，牛顿法是求解非线性方程组的一个经典方法，由于它收敛快，直到现在还是重要的方法，很多新的算法都是基于牛顿法的基础上而得到的，因此不仅在实际计算中有重要作用，在理论上也是很有意义的。
本文研究的是用牛顿迭代法及其几种变型迭代算法来求解非线性方程组。分别给出了几种迭代法解非线性方程组的收敛性、收敛速度、计算量,比较了这些方法的优缺点。最后通过三个具体算例验证了本文的结论。

关键字：非线性方程组；迭代法；牛顿迭代法；简化牛顿法；牛顿下山法；计算量.

Abstract

The system of nonlinear equations of the numerical method is widely used in practice, especially in the variety of nonlinear problems in scientific computing. And, with the wide application of the computer, there are more related to the field of nonlinear equations to solve the problem, for example, dynamic system, nonlinear finite element, nonlinear mechanical problem, and nonlinear optimization and nonlinear programming problem and so on. Therefore, there is an important practical significance of studying on the solutions of nonlinear equations. Because of the complexity of solving nonlinear equations, except for very special nonlinear equations, the direct method is hardly used, so we need to resort to iterative method, Newton iterative method is a classical method for solving nonlinear equations, because of its fast convergence, until now it is very important, a lot of new algorithms are based on Newton method, thus, it not only plays an important role in actual calculation, but also is of great significance in theory.
This paper studys that how to use Newton iterative method and its several variants of iterative algorithm to solve the nonlinear equations. Provide several iterative methods for solving systems of nonlinear equations convergence, convergence speed, amount of calculation, comparisons of the advantages and disadvantages of these methods. Finally through three examples verify the conclusions of this paper.

Keywords: systems of nonlinear equations; iteration method; Newton iteration method; Simplified Newton iteration method; Newton downhill iterative method;
amount of calculation.

I

黑龙江工程学院本科生毕业论文

目 录

摘 要 I
ABSTRACT II
第1章 绪 论 3
1.1 背景介绍 3
1.1.1 牛顿迭代法简介 3
1.1.2 非线性方程简介 3
1.1.3非线性方程组简介 4
1.2 研究内容 4
第2章 牛顿迭代法及其变形求解非线性方程组 5
2.1牛顿迭代法 5
2.1.1牛顿法解非线性方程组的基本思想 5
2.1.2牛顿法的几何意义 5
2.1.3 牛顿迭代法解非线性方程组 6
2.2简化牛顿法 9
2.2.1简化牛顿法解非线性方程 9
2.2.2简化牛顿法的几何意义： 9
2.2.3非线性方程组的简化牛顿法 9
2.3牛顿下山法 10
2.3.1牛顿下山法概述 10
2.3.2牛顿下山法在解非线性方程组中的应用 10
第3章 牛顿迭代法求解非线性方程组的收敛性收敛速及计算量 12
3.1牛顿法的收敛性及计算量 12
3.1.1牛顿法对解非线性方程组的收敛性 12
3.1.2牛顿法解非线性方程组的收敛性 13
3.1.3牛顿迭代法解非线性方程组的计算量 13
3.2简化牛顿法的收敛性及计算量 14
3.2.1简化牛顿法对非线性方程的收敛性 14
3.2.2简化牛顿法对非线性方程组的收敛性 15
3.2.3简化牛顿法解非线性方程组的计算量 15
3.3牛顿下山法的收敛性及计算量 16
3.3.1牛顿下山法在解非线性方程的收敛性 16
3.3.2牛顿下山法在解非线性方程组中的收敛性 17
3.3.3牛顿下山法的计算量 17
第4章 牛顿法非在解线性方程组的应用实例 19
结 论 28
参考文献 30
致 谢 31
附 录 32

黑龙江工程学院本科生毕业论文

第1章 绪 论

1.1 背景介绍
1.1.1 牛顿迭代法简介
牛顿迭代法(Newton's method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中[10]。
1.1.2 非线性方程简介
非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方关系对数关系、指数关系、三角函数关系等等。求解此类方程往往很难得到精确解，经常需要求近似解问题[2]。
非线性方程可以分为两类：
一类是多项式方程，这类方程可以定义为：
,
另一类是非多项式方程，没有固定的形式。求解第一类多项式方程现在已经有了比较成熟的理论和方法。现在比较常用的一种数值方法是迭代法能通过迭代次数的增加从而越来越接近方程的解，求解第二类非多项式方程，是现在数学领域中的一个重点研究方向。一般来说，求解此类方程是采用随机搜索的办法[3]
1.1.3非线性方程组简介
非线性方程组的求解在天气预报、石油地质勘探、计算力学、控制等工程领域中均有较强的应用背景。但对其求解仍是一个难题，牛顿迭代法及其改进形式是目前应用广泛的方法，此类算法的收敛性在很大程度上依赖于初值，不适的初
值将导致算法失效；而初值的选择并非易事。为此，有必要探索高效可靠的算法[5]。
1.2 研究内容
在理论研究和实践应用中，几乎绝大多数的问题都最终转化成方程或方程组。在非线性问题中尤以非线性方程和非线性方程组的求解最为重要。经典算法无论从算法的选择还是算法本身的构造都与所要解决的问题的特性有很大关系。牛顿法及其改进形式是目前应用最广泛的非线性方程组求解的方法，该类算法具有较快、与迭代初值有关的局部收敛性，但是此类算法的收敛性在很大程度上依赖于初始点的选择，而选择一个好的初始点往往又是非常困难；且由于收敛局部性，对于一些高阶非线性方程，传统数值解法容易导致求解失败，有效性较低[7]。
本文研究了牛顿迭代法求解非线性方程组的算法，分析和归纳了牛顿迭代法和牛顿法的若干变形求解非线性方程组的收敛性，收敛速度，计算量等，比较了这些方法的优劣。

第2章 牛顿迭代法及其变形求解非线性方程组

2.1牛顿迭代法
2.1.1牛顿法解非线性方程组的基本思想
对于方程，如果是线性方程，它的求根是容易的，牛顿法实质上是一种线性方法，其基本思想是将非线性方程归结为某种线性方程来求解。
由已知方程有近似根(假定)将函数在点处Taylor展开
舍去其中的高阶项，有

于是，方程可近似的表示为，

这是个线性方程，记其根为，则的计算公式为：
，
这就是牛顿法的基本思想[8]。
2.1.2牛顿法的几何意义
牛顿迭代法也称为牛顿切线法，方程的近似根可以解释为与轴交点的横坐标，设是的某个近似值，过曲线的横坐标为的点引切线，并将该切线与轴的交点的横坐标作为作为的新的近似值，如图所示，这就是牛顿切线法的几何解释[4]。

图2.1 牛顿迭代法的几何意义
2.1.3 牛顿迭代法解非线性方程组
基本思想是是将非线性方程组转化为线性方程组来求解。
设已知方程组
(2.1)
此处是实变量，是未知量的非线性实函数，同时，假定对的二阶偏导存在且连续，并在解的邻近行列式满足下式：
(2.2)
设方程(2.1)有一组初始值，在此近似值邻近将非线性函数用如下的线性函数来近似
(2.3)
其中是对的一阶偏导数在的取值，其他类似符号的意义也相仿。
于是得一阶线性方程组
(2.4)
式中

式(2.4)又可以表示为

由前面的假定，行列式

在解的邻近不为零，所以只要近似解充分靠近于解，那么方程组(2.4)的系数行列式是不为零的，于是

可以从(2.4)中解出.
方程组(2.4)的根为，则的计算公式为

即：

得出解非线性方程组的牛顿迭代法：
.
2.2简化牛顿法
2.2.1简化牛顿法解非线性方程
牛顿法的一个缺点是每步迭代要计算及，计算量较大且有时计算较困难，为了克服这个缺点通常可以用简化牛顿法：
简化牛顿法也叫平行弦法，其迭代公式为：

若称为简化牛顿法[1]。
简化牛顿法的迭代函数，若，即取，在根附近成立，则上述迭代法局部收敛[7]。
2.2.2简化牛顿法的几何意义：
是用斜率为的平行弦与轴的交点作为近似，如图2.2所示

图2.2 简化牛顿法的几何意义
2.2.3非线性方程组的简化牛顿法
类似牛顿法解非线性方程组(2.1)，得出解非线性方程组的简化牛顿法的迭代公式

其中当为雅可比矩阵的逆阵

时，称为非线性方程组的简化牛顿法。
2.3牛顿下山法
2.3.1牛顿下山法概述
牛顿法的另一个缺点是初始近似只在根附近才能保证收敛为了克服这个缺点通常可用牛顿下山法[1]。
由牛顿法的收敛性定理知，牛顿法对初始值的选取要求是很高的。一般地说，牛顿法只有局部收敛性。当初始值取得离根太远时，迭代将不收敛，而一旦初始值进入收敛域内，牛顿法就有平方收敛的速度，为了扬长避短，扩大初始值选取的范围，下面介绍牛顿法的一种改进——牛顿下山法[12]。
将牛顿的迭代公式修改为：，其中，是一个参数，的选取应使成立，当，就停止迭代且取.
其中为事先给定的根的误差限，否则减半，继续迭代。按上述迭代过程计算，实际上得到了一个以零为下界的严格单调下降的函数值序列，这个方法就称为牛顿下山法。称为下山因子，且，一般从开始，逐步分半减小，即可选取且使.
2.3.2牛顿下山法在解非线性方程组中的应用
将牛顿下山法推广到非线性方程组：
将牛顿迭代法解非线性方程组的计算结果

与前一步的近似值做适当的加权平均作为新的改进值

其中称为下山因子，上式即为
，
选择从一开始然后逐次减半进行计算直到迭代法满足
.
牛顿下山法的步骤可归纳如下：
(1) 选取初始近似值;
(2) 取下山因子;
(3) 计算，，;
(4) 计算,比较与的大小。
(5) 若，则继续迭代，重复步骤(2)-(5)，直到(为给定精度);若，则逐次减半，直到，继续迭代得，重复步骤(2)-(5)，直到.
(6) 迭代停止。

第3章 牛顿迭代法求解非线性方程组的收敛性收敛速及计算量

3.1牛顿法的收敛性及计算量
3.1.1牛顿法对解非线性方程组的收敛性
定理3.1[1] 对于迭代过程及正整数，如果在所求根的邻近连续，并且

则称迭代过程在点邻近是阶收敛的。
牛顿法的收敛性，直接由定理3.1得到，对式子（2.1）其迭代函数为

由于

假定是一个单根，即则由上式知，于是依据定理可以断定，牛顿法在根的邻近是平方收敛的。
又因
，
故可得
.
3.1.2牛顿法解非线性方程组的收敛性
对于牛顿法有下面的收敛性定理：
定理3.2[1] 设的定义域为满足,在的开邻域上存在且连续，非奇异，则牛顿法生成的序列超线性收敛于，若还存在常数，使

则至少平方收敛。
3.1.3牛顿迭代法解非线性方程组的计算量
牛顿迭代法每步要计算个分量函数值，及每个的偏导数，并求一次矩阵的逆。
若以计算的一个分量值的计算量为，则计算的计算量为，求的一个分量对偏导数的计算量的值为，则求雅可比矩阵的逆的总计算量为.
求雅可比矩阵的逆，分两步说明，一是求雅可比矩阵的的行列式，其计算量为，二是计算雅克比矩阵的伴随矩阵，其计算量为
当为奇数时，

当为偶数，

所以求雅可比矩阵的逆的计算量为，所以阶非线性行方程组的牛顿迭代法每迭代一步所需要的计算量为

，当为偶;
，当为奇数。
其中，为计算的一个分量值的计算量，求的一个分量对偏导数的计算量。
所以阶非线性方程组迭代步的需要的计算量为
,为偶数;
,为奇数.
可见，非线性方程组的阶数越高，牛顿迭代法的计算量越大。
3.2简化牛顿法的收敛性及计算量
3.2.1简化牛顿法对非线性方程的收敛性
简化牛顿法的一般形式为：

其迭代函数为：

由于

假定是的一个单根，则
，
而

所以简化牛顿只有线性收敛。
3.2.2简化牛顿法对非线性方程组的收敛性
推论3.3 简化的牛顿法是线性收敛的。
证： 设

得函数

则

所以

那么存在一个邻域S，对任意，简化牛顿迭代法产生的序列收敛于
而且有

可见,所以简化牛顿法为线性收敛。
3.2.3简化牛顿法解非线性方程组的计算量
简化牛顿法每步计算个分量函数值，但与牛顿法不同的是，只需要计算及它的逆代替进行迭代。
对于简化牛顿法迭代法，先计算，计算量为，在计算它的逆，其计算量为
当为偶数时，
，
当为奇数时，
.
以计算的一个分量值的计算量为，则计算的计算量为.
则简化牛顿法迭代次的计算量为
，当为偶数时;
,当为奇数时.
可见简化牛顿法的计算量随着迭代次数的增多，比牛顿迭代法的计算量减少的越来越多。
3.3牛顿下山法的收敛性及计算量
3.3.1牛顿下山法在解非线性方程的收敛性
牛顿下山法不但放宽了初值的选取，且有时对某一初值虽然用牛顿法不收敛，但用牛顿下山法却有可能收敛。一般来说，牛顿下山法不再有平方收敛速度，它的优点在于可能将原来收敛域以外的初始值，经过几次迭代后拉入收敛域内。
例如，已知方程的一个根为，若取初值，用牛顿法计算得到的第一次近似值反而比更偏离根。若改用牛顿下山法，当取下山因子时，可得，修正后的迭代序列收敛。
3.3.2牛顿下山法在解非线性方程组中的收敛性
设在球上有定义且 则，所以在球内，对任意牛顿下山法产生的序列收敛收敛于.
3.3.3牛顿下山法的计算量
对于牛顿下山法，第一步迭代，先要计算，设计算的计算量为则计算的计算量为，求的计算量为然后求由牛顿迭代法的计算量得逆的计算量为
当为偶数时,
,
当为奇数时,
.
取，按照迭代公式得到并计算，计算的计算量也为，取直到，进行下一步迭代。这个过程中每取一次都得出一个新的，并计算，假设取了次，则计算量为，牛顿下山法的第一步迭代的计算量为
，当为偶数时;
，当为奇数时
第二步迭代计算，计算量还是

取，根据第一步迭代得到的，继续迭代得到并计算，计算量为，取直到，进行下一步迭代。这个过程中每取一次都得出一个新的，并计算，假设取了次，则计算量为，牛顿下山法的第二步迭代的计算量为
，当为偶数时;
，当为奇数时。
则牛顿下山法迭代次的计算量为
，当为偶数;
，当为奇数。
可见，牛顿下山法的计算量，不仅与非线性方程组的阶数有关，还与的取值是多少使得有关。

第4章 牛顿法非在解线性方程组的应用实例

例1：分别用牛顿迭代法，简化牛顿法和牛顿下山法解非线性方程组

取初值，计算到停止，并指出其计算量
解：
，
选，
牛顿法：
解线性方程组，即
，
解得，根据牛顿迭代法

得，，依次往下可得下表
表4.1 牛顿迭代法对例1的计算结果

0
0.80
0.99187
0.99998
1.00000

0
0.88
0.99171
0.99997

1.00000
得到 ，迭代停止，总共迭代了四次

计算的计算量

计算的计算量为

又该非线性方程组是2阶的，所以雅可比矩阵的逆的计算量为

迭代次数，所以总的计算量为次。

牛顿简化法：

得

解线性方程组即

得，运用简化牛顿迭代法可得下表
表4.2 简化牛顿法对例1的计算结果

0
0.80808
0.94569
0.98176
0.99360
0.99712
0.9907
0.99967
0.99988
0.99997

0
0.88888
0.95898
0.98537
0.99477
0.99812
0.99925
0.99973
0.99990
0.99997
，迭代停止，总共迭代了9次。
计算的计算量

计算的计算量为

的计算量为

迭代次数，所以牛顿简化法总的计算量为次。
牛顿下山法：
取，得，
则
，又，
即
，继续迭代
由计算时，，都能使条件

成立。
所以牛顿下山法的计算结果与牛顿法的计算结果一致，为：
表3 牛顿下山法对解例题1的计算结果

0
0.80
0.99187
0.99998
1.00000

0
0.88
0.99171
0.99997
1.00000
计算量和牛顿法一样都为104次，但是牛顿下山法每一步迭代都要比较
和，所以在效率上不如牛顿迭代法。

例2 解非线性方程组，分别取初值和并指出其计算量。
解：
，
(1)初值为时,采用牛顿迭代法：，即

得，得，依次往下可得下表
表4.4 牛顿迭代法对例2的计算结果

1.4
1.334290
1.313955
1.321506
1.326056
1.325508
1.324625
1.324565
1.324708
1.324743
1.324724
1.324715

-1.2
-1.117623
-1.135409
-1.153882
-1.154126
-1.151000
-1.150424
-1.150864
-1.151040
-1.150994
-1.150956
-1.150957
迭代停止，迭代了11次。
计算的计算量
次
计算的计算量为

又该非线性方程组是2阶的，所以雅可比矩阵的逆的计算量为

迭代次数，所以总的计算量为次。

(2)初值为时，计算得到的结果比更加偏离了所求的根，所以我们使用牛顿下山法。
显然
则
取，得
，
取，得
,
取，得
,
取，得
,
取，得

所以得
，
取，根据牛顿下山法的公式得，

所以得，
取，继续迭代得
,
得，
取，继续迭代得
,
而且，总共迭代了四次。
第1步迭代，

第2，3，4步迭代，都等于0，所以用牛顿下山法的计算量为

次。
例3：分别用牛顿迭代法，简化牛顿法和牛顿下山法解非线性方程组

计算到，并指出其计算量
解：
，
牛顿迭代法，取初值，则
解线性方程组
得到方程的近似解，如下表

表4.5 牛顿迭代法对例3的计算结果

0
0.50000
0.50002
0.50000
0.50000

0
-0.01689
0.00172
0.00002
0.00000

0
-0.52360
-0.52355
-0.52360
-0.52360
，迭代停止，共迭代了4次。
计算的计算量
次
计算的计算量为

次
又该非线性方程组是3阶的，所以雅可比矩阵的逆的计算量为

迭代次数，所以总的计算量为次。
简化牛顿法：
取初值
,
则

则根据简化牛顿法的迭代公式，可得下表

表4.6 简化牛顿法对例3的结果

0
0.50000
0.49999
0.50000
0.50000
0.50000
0.50000
0.50000

0
0.01693
-0.00387
-0.00129
-0.00029
-0.00011
-0.00001
0.00000

0
-0.52360
-52354
-0.52378
-0.52205
-0.52360
-0.52360
-0.52360
，迭代停止，共迭代了7步。
计算的计算量
次
计算的计算量为

次
又该非线性方程组是3阶的，所以雅可比矩阵的逆的计算量为

迭代次数，所以总的计算量为次。

牛顿下山法

取，得
取，得

取，得

取，得

，迭代停止，共迭代了4次。
因为都等于0，所以计算量与牛顿迭代法一样都是432次。
可以看出，牛顿下山法虽然也是和牛顿法计算量一样 但是每一次要取比较和，所以在牛顿法可以实现近似解收敛于的情况下，牛顿下山法的效率不如牛顿法。

结 论

1、牛顿迭代法
根据以上各个章节可以看出，牛顿迭代法对于解非线性方程组的收敛速度很快，在跟的邻域内，至少平方阶收敛。
对于阶非线性方程组牛顿法迭代次的计算量为 ,为偶数，
,为奇数.
但是牛顿法每步迭代要计算及期雅可比矩阵,计算量大，而且有时不好求，而且初始近似只在跟附近才能保证收敛，如给的不合适可能不收敛。
2、简化牛顿法
简化牛顿法对解线性方程组在解附近的邻域内是收敛的，收敛速度是线性的，简化牛顿法的思想是用代替从而每步迭代只须要计算计算量为大大减少，迭代次的计算量为
，当为偶数时，
,当为奇数时.
简化牛顿法的缺点是收敛的速度比较慢，迭代次数因此增加，和牛顿迭代法一样近似根的收敛性依赖于初值，初值选取不合适的话，迭代可能发散。
3、牛顿下山法
在选取的不适合的时候，牛顿法可能会发散，这时可以用牛顿下山法来进行迭代，迭代因子从1开始逐次减半，知道，牛顿下山法具有收敛的性质，一般来说不是平方收敛的，牛顿下山法的计算量不仅与和有关系，还与的减半次数有关，没多减半一次，就比牛顿迭代法的计算量多次，其迭代次的计算量为
，当为奇数，
，当为偶数.
牛顿下山法的优点是扩大了初值的选取范围，缺点是如果本身选取的初值能使迭代法收敛，每一次选取进行比较的话，会增加计算量。
4、总结
根据各个迭代法的优缺点，对于阶数少而且容易求的非线性方程组，用牛顿迭代法最合适。
对于不容易求，阶数大，精度要求不是很高的非线性方程组可以用简化牛顿法。
对于初值发散的非线性方程组可以用牛顿下山法。

参考文献

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致 谢

光阴似箭、日月如梭，四年的本科学习很快就要过去了，在论文即将完成之际，我衷心的感谢所有指导、关心和帮助我的老师、同学和朋友。
本论文是在导师袁海燕的悉心指导下完成的。导师扎实的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！
还要感谢我的室友，他们在毕业设计的过程中给了我很多启发和帮助。在我的学习和生活中给与了我很大的帮助和支持。对他们也表示我衷心的感谢！
最后，我要感谢所有在我论文完成过程中给予了帮助和关心的朋友。

附 录
附A 程序[16]
(1)牛顿法
function x=newton(x0,eps,N);
con=0;
%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛
for i=1:N;
f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});
df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});
x=x0-f/df;
for j=1:length(x0);
il(i,j)=x(j);
end
if norm(x-x0)n]=mulSimNewton(F,x0,eps)
% 用简化牛顿法求非线性方程组的一组解
% 非线性方程组：F
% 初始解：x0
% 解的精度：eps
% 求得的一组解：r
% 迭代步数：n
% 初始迭代一组解：x0=[x1:xn]
if nargin==2
eps=1。0e-6;
end

x0 = transpose(x0);
Fx = subs(F,findsym(F),x0);
dF = Jacobian(F);
c = subs(dF,findsym(dF),x0);
r=x0-inv(c)*Fx;
n=1;
tol=1;
while tol>eps
x0=r;
Fx = subs(F,findsym(F),x0);
r=x0-inv(c)*Fx; %核心迭代公式
tol=norm(r-x0);
n=n+1;
if(n>100000) %迭代步数控制
disp('迭代步数太多，可能不收敛！');
return;
end
end

(3) 牛顿下山法程序
function [r,m]=mulDNewton(F,x0,eps)
%非线性方程组：F
%初始解：x0
%解的精度：eps
%求得的一组解：r
%迭代步数：n
if nargin==2
eps=1.0e-4;
end
x0 = transpose(x0);
dF = jacobian(F);
m=1;
tol=1;
while tol>eps
ttol=1;
w=1;
Fx = subs(F,findsym(F),x0);
dFx = subs(dF,findsym(dF),x0);
F1=norm(Fx);
while ttol>=0 %下面的循环是选取下山因子w的过程
r=x0-w*inv(dFx)*Fx %核心的迭代公式
Fr = subs(F,findsym(F),r);
ttol=norm(Fr)-F1;
w=w/2
end
tol=norm(r-x0);
m=m+1;
x0=r;
if(m>100000) %迭代步数控制
disp('迭代步数太多，可能不收敛！');
return;
end
end

附B
A method based on the Newton method for solution of nonlinear equations of the numerical algorithm
Michael

Key words: system of linear equations, iteration.

1. Theoritical background
We consider the linear equation first, a solution of linear equations is notrare. Compared with linear equations, nonlinear equations’ problem either theoretically or formula, is much more complicated. For general nonlinear equations The calculation equation of the root has neither definite articles can be found nor direct method. For example, solving high equation, finds the solution of exponential and sinusoidal function of the transcendental equation zero. The solution of nonlinear equation or equations and calculation method of a subject. In the so