高三数学-复习函数与导数素材-苏教版.doc

专题一 函数与导数第一课时 函数的图象与性质
（一）课前预习案
【考纲目标指导】
内容
教学要求
A　（了解）
B　（理解）　
C　（掌握）　
函数的有关概念　

√

函数的基本性质　

√　　

【应试指导】
[考情分析]
1．从内容上看，函数的图象和性质一直是高考对函数部分考查的重点．考查的方式主要有：一是将求定义域与集合，解析式与求函数值，值域与最值结合；二是将函数的单调性、奇偶性、周期性结合起来综合考查，有时会涉及一些抽象函数的考查；三是函数的图象、函数与方程、不等式等综合考查．
2．从题型上看，既有填空题、又有解答题，高考每年都有函数试题，涉及的知识点比较全面，而且常考常新．其中通过中等难度、设计新颖的试题综合考查函数的图象和性质，以组合形式、一题多角度来考查函数的性质预计成为新的热点．
3．能力方面主要考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题的能力，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想．
[备考策略]
1．在研究函数问题，必须树立“定义域优先”的意识．如，判别函数的奇偶性时、讨论函数的单调性时，必须在定义域内讨论；
2．函数奇偶性和单调性往往结合起来考查。奇偶性和单调性的判断要紧扣定义，同时要熟悉有关变形，奇函数在上有相同的单调性，偶函数在上有相反的单调性；
3．要善用函数图象的直观性来了解函数的性质，掌握好画图、识图、用图三个环节．
【回归教材】
1．（必修1P93复习5）设一个函数的解析式为，它的值域为，则此函数的定义域为 .
2．（必修1P93习题3）已知函数，则= .
3．（必修1P44习题9改编）若函数是偶函数，则的单调递增区间为 .
4．（必修1P55习题10改编）如果函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称，则的表达式为 .
5．（必修1P33习题13改编）若集合，若是到的函数，则满足条件的集合有 个.

【能力摸底】

思考
（核心问题）
1．求函数的单调区间应注意的问题是什么？
2．函数的单调性的证明方法有哪些？
3．如何识图、作图和用图？
质疑
(我的问题)
1、
2、
（一） 课堂导学案
【分类解析】
目标1 、单调性、奇偶性、周期性的应用
例1已知函数.
（1）若，且函数在区间（2,+∞）上是减函数，求的值；
（2）若，且函数在上的最小值为7，求的取值范围。
解析：（1） ，
由于函数在（2,+∞）上单调递减，所以即。
又，所以或者。
注：也可以用定义法证明。
（2）令，

当，即时，，
当且仅当，即时取等号.
，解得.
当时，可证得在上为增函数.
所以在上无最小值.
综上，.
变式1：已知集合，
（1）证明：；
（2）某同学注意到是周期函数，也是偶函数，于是他着手探究：中的元素是否都是周期函数？是否都是偶函数？对这两个问题，给出并证明你的结论.
解析：（1）∵

∴.
（2）①是周期是6的周期函数，猜测也是周期为6的周期函数.
由得，
两式相加可得
即是周期为6的周期函数，故中的元素是否都是周期函数.
② 令，同上可证得，
∴ ，但是奇函数不是偶函数，
∴ 中的元素不都是偶函数.
目标2、函数的图象及应用
例2（2010年广州市高三调研）已知，函数．
（1）若函数在区间内是减函数，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）对（2）中的，若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．
解析：（1）∵，∴.
∵函数在区间内是减函数，∴在上恒成立
即在上恒成立，，∴．
故实数的取值范围为．
（2）∵，令得。
①若，则当时，，所以在区间上是增函数，
所以．
②若，即，则当时，，所以在区间 上是增函数，所以．
③若，即，则当时，；当时，．所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以．
④若，即，则当时，，所以在区间上是减函数．所以．
O
a

O

综上所述，函数在区间的最小值
（3）由题意有两个不相等的实数解，
即（2）中函数的图像与直线有两个
不同的交点．而直线恒过定点，
由右图知实数的取值范围是．
变式2：设是定义在上的偶函数,与的图象关于直线对称,且当时(为常数).
(1)求的解析式;
(2)若在上是增函数,求实数的取值范围;
(3)若,问能否使的最大值为4？
解析:(1)∵与的图象关于直线对称,∴=.
当时有,∴,
又∵是偶函数,∴时,,
∴
(2),∵是上的增函数,∴,∴在上恒成立. ∵时,∴,即的取值范围是.
(3)只考虑在上的情况,由,得,
由得,此时
∴当时,的最大值不可能是4.
目标3、函数的定义域、值域的应用
例3（2010年启东中学调研测试）设函数，函数，其中为常数，且，令函数.
（1）求函数的表达式，并求其定义域；
（2）当时，求函数的值域；
（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，请说明理由.
解析：（1）.
（2）由得函数的定义域为，
令，则，.
，又当时，单调递减，
故在区间上单调递增 .
所以，即函数的值域为.
（3）假设存在自然数满足条件，令，
则.
由得，.
当且仅当，即时等号成立，此时为最大值.
由，则 所以.所以.
又在上是增函数，在上是减函数，，
所以.所以 .
综上得，即.

变式3：(1)已知：，求函数的单调区间和值域；
(2)，函数，判断函数的单调性并予以证明；
(3)当时，上述(1)、(2)小题中的函数，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
解析：解:(1)，设
则
任取，，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
由得的值域为.
(2)，由，所以
所以在上单调递减.
(3)由的值域为：
所以满足题设仅需：
解得.

【案例研究】
【例】（1）已知函数，若恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知函数，若有解，求实数的取值范围.
错解：（1）若恒成立，所以，即
（2）若有解，所以，即
错因：“有解”要求某范围内存在使不等式成立即可，故有解，有解；“恒成立”要求对某范围内任意，不等式都成立，故恒成立，恒成立.
正解：（1）若恒成立，则的图象全部在直线的上方，即，易知，。
（2）若有解，则的图象上有点在直线的上方即可，即，易知，。
（二） 课后达标案
1．（2010年金陵中学高三调研）函数的定义域是 .
2．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则从小到大排列是 .
3．设，则对任意实数，“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）
4．（2010年南通市高三调研）若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则k= ．
5．函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，，且对任意实数都有则的值是 .
6．已知函数，则 ，则的图象的交点个数为 　 　 ．
7． 若f(x) 是R上的减函数，f(x)的图象过点A(0,3),B,则当不等式的解集为时，t的值为 .
8． 四位同学在研究函数 f (x) = (x∈R) 时，分别给出下面四个结论：① 函数 f (x) 的值域为 (－1,1)；② 若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；③函数 f (x) 的图像关于原点对称；④对任意 n∈N* 恒成立.其中正确的命题序号是 .
9．已知定义在R上的函数，对于任意实数x，y都满足，且当试判断函数的奇偶性与单调性，证明你的结论.

Ⅱ
Ⅰ
C
B
A
10． 如图,中,,一个边长的正方形由位置Ⅰ沿AB边平行移动到位置Ⅱ,若移动的距离为,正方形和三角形的公共部分的面积为.
(1)求的解析式；
(2)在坐标系中画出函数的草图；
1
3
2
5
y
x
O
6
4
1
(3)根据图象,指出函数的单调区间和最大值.

11． 定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，．
（1）试求的值；
（2）判断的单调性，并证明你的结论；
（3）设，若，试确定的取值范围；
（4试举出一个满足上述条件的函数．

第一课时函数的图象与性质答案
（一）课前预习案
【回归教材】
1．；
2．；
3．；
4．；
5．8．
（三）课后达标案
1．；
2．；
3．∵，x∈R，∴为奇函数；又在R上为增函数，
所以当a≥-b时，f(a)≥f(-b)= - f(b)，即f(a)+f(b)≥0，充分性成立，
当f(a)+f(b)≥0时，f(a)≥- f(b) =f(-b)，f(a)≥f(-b)，从而a≥-b，即a+b≥0，必要性成立.
故填充要条件.
4．。
解析：考虑恒成立.
5． 0。.
6． 4。
7．1.
8． ①②③④；
9．证明定义在R上，定义域关于原点对称.
令
令
即 为奇函数.
在R上任取
， 即，
在R上为增函数.
10.解:(1)由题设,当时,;当时,×2×2-×-××=;
当时,=×.
∴
(2)函数的图象如右;
(3)由图象观察知,函数单调增区间为,单调减区间为,
当时, 函数取最大值为3.

11.（1）在中，令．得：．
因为，所以，．
（2）函数在R上单调递减．
证明：任取，且设．取，
则已知条件可化为：．
由于，所以．
在中，令，，则得．
∵ 时，，∴ 当时，．
又，所以，可知，对于任意，均有．
∴ ．∴ 函数在R上单调递减．
（3）由函数的单调性可得，
，即
由，所以直线与圆无公共点．
所以．解得：．
（4）如．