1、3.4 极值与凹凸性极值与凹凸性3.4.1 函数的极值函数的极值定义定义3.1 的一个极大值的一个极大值(或极小值或极小值),如果在如果在 x0的的 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数使函数取得极值的点取得极值的点x0称为称为极值点极值点.设设 在在 x0 附近有定义附近有定义,某个空心邻域内某个空心邻域内,恒有恒有注意注意:极值的概念是一个局部性的概念极值的概念是一个局部性的概念,它仅涉它仅涉及函数在一点附近的性质及函数在一点附近的性质.定理定理3.4 (极值的极值的必要条件必要条件)注意注意:可导函数的极值点必定是驻点可导函数的极值点必定是驻点,例如例如,
2、但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点.则必有则必有设设 在点在点 处可导处可导,且在且在 处取得极值处取得极值,的的驻点驻点.另外另外:连续函数的不可导点连续函数的不可导点,也可能是极值点也可能是极值点.例如例如,设函数设函数 在在 x0 处连续处连续,定理定理3.5 (极值的第一充分条件极值的第一充分条件)在在 x0的某个空心的某个空心邻域内可导邻域内可导,则则(1)如果如果 有有而而有有则则 在在 处取得极大值处取得极大值;(2)如果如果 有有而而有有则则 在在 处取得极小值处取得极小值;(3)如果当如果当 及及 时时,符号相同符号相同,则则 在在 处无极值处无极值.是极值点情形是极值
3、点情形不是极值点情形不是极值点情形求函数极值的基本步骤求函数极值的基本步骤:(3)求出各极值点处的函数值求出各极值点处的函数值,得到相应的极值得到相应的极值.(1)求出求出 的所有可能的极值点的所有可能的极值点,即的不可导即的不可导的点和的点和 的点的点;(2)对对(1)中求得的每个点中求得的每个点,根据根据 在其左、在其左、右是否变号右是否变号,确定该点是否为极值点确定该点是否为极值点.如果是极值点如果是极值点,进一步确定是极大值点还是进一步确定是极大值点还是极小值点极小值点;例例1 求函数求函数 的极值的极值.解解极极大大值值极极小小值值函数在其函数在其定义域定义域 内连续内连续.导数不存
4、在导数不存在;不不存存在在无无极极值值不不存存在在定理定理3.6(极值的第二充分条件极值的第二充分条件)注意注意:则则设设 在在 处具有二阶导数处具有二阶导数,且且(1)当当 时时,函数函数 在在 处取得极大值处取得极大值;(2)当当 时时,函数函数 在在 处取得极小值处取得极小值.此时仍需用此时仍需用定理定理3.5.极大值极大值极小值极小值解解定义域为定义域为例例2 求函数求函数 的极值的极值.图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方3.4.2 曲线的凹凸性及拐点曲线的凹凸性及拐点问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张
5、弦的下方位于所张弦的下方恒有恒有设设 在区间在区间I 上连续上连续,定义定义 3.2 如果如果 恒有恒有如果如果 定理定理3.7 解解定义定义3.3 连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线的的拐点拐点.例例3 判断判断曲线曲线 的凹凸性的凹凸性.定理定理3.8 (拐点的第一充分条件拐点的第一充分条件)设函数设函数 在在 x0的某邻域的某邻域 内连续，内连续，在空心邻域在空心邻域 内内 存在存在,(1)(2)定理定理3.9 (拐点的第二充分条件拐点的第二充分条件)曲线曲线 的拐点的拐点.解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点不是不是拐点拐点例例4 求曲线求曲线 的
6、拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间.函数在其函数在其定义域定义域 内连续内连续.不不存存在在例例5 证明证明证证所以曲线在所以曲线在 上是严格向下凸的上是严格向下凸的.有有即即性质性质有有则则其中其中证证例例6 证明当证明当设设则则即即1.铅直渐近线铅直渐近线(垂直于垂直于x 轴的渐近线轴的渐近线)3.4.3 函数图形的描绘函数图形的描绘一条一条渐近线渐近线.移向无穷点时移向无穷点时,如果点如果点P到某定直线到某定直线L 的距离的距离趋向于零趋向于零,如果如果例如例如有两条铅直渐近线有两条铅直渐近线:2.水平渐近线水平渐近线(平行于平行于x 轴的渐近线轴的渐近线)例如例如有两条水平渐近线有两条水平
7、渐近线:如果如果3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法如果如果或或若若且且注意注意:解解如果如果定义域为定义域为例例7 求求 的的渐近线渐近线.不存在不存在;不存在不存在;可以断定可以断定 不存在斜渐近线不存在斜渐近线.所以所以,是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线.所以所以,是曲线的一条是曲线的一条斜渐近线斜渐近线.(1)确定函数的定义域、间断点确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性奇偶性和周期性.和拐点和拐点.(2)确定曲线的渐近线确定曲线的渐近线,把握函数的变化趋势把握函数的变化趋势.确定确定曲线的凹凸性曲线的凹凸性(4)适当计算曲线上一些点的坐标适当计算曲线上一些点的坐标,如极
8、值如极值,拐点拐点的坐标的坐标,注意曲线是否与坐标轴是否有交点注意曲线是否与坐标轴是否有交点.函数作图的具体步骤可归纳如下函数作图的具体步骤可归纳如下:(3)求出函数的单调性和极值求出函数的单调性和极值,例例8 描绘函数描绘函数 的图形的图形.解解函数非奇非偶函数非奇非偶.定义域为定义域为水平渐近线水平渐近线:不存在不存在拐点拐点极小值极小值间间断断点点无斜渐近线无斜渐近线.列表确定函数单调区间列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:铅直渐近线铅直渐近线作图作图拐点拐点极小值极小值补充点补充点不存在不存在拐点拐点极小值极小值间间断断点点水平渐近线水平渐近线:垂直渐近线垂直渐近线:
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