初中数学分类方程和不等式.doc

方程与不等式
一、一元一次方程（七年级上册第五章）
1. 你今年几岁了？
①通过多种现实问题分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义；②通过观察，归纳一元一次方程的概念；③理解等式的基本性质，并能用它来解方程。
方程：含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。
一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。
等式的基本性质：①等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得的结果仍然是等式；②等式的两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
2. 解方程
①熟悉利用等式的性质解一元一次方程的过程；②通过实例，归纳移项法则；③掌握解一元一次方程的基本方法，能熟练求解一元一次方程，能判断解的合理性。
解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成的形式。
3. 日历中的方程
初步认识运用方程解决实际问题的关键是等量关系。
4. 我变胖了
通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系。认识方程模型的重要性。
圆柱体锻压后虽然“胖”了，但体积不变。所以有等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积，从而建立方程解决实际问题。
5. 打折销售
进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决实际问题的一般过程。
利润=售价—成本。
利润率=
6. “希望工程”义演
借助表格分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解，发展分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用。
较为复杂的实际问题，可以列出表格帮助我们分析各个量之间的相互关系。
7. 能追上小明吗
借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系。
在路程问题中，可以画出线段图，明确等量关系。
8. 教育储蓄
①通过分析教育储蓄中的数量关系，经历运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型；②能运用计算器处理实际问题中的复杂数据。

这类问题中有以下等量关系：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×期数。
二、二元一次方程组（八年级上册第七章）
1. 谁的包裹多
①通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；②了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
二元一次方程与二元一次方程组
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
注意：二元一次方程组中的两个方程的未知数的含义相同，即，两个方程中的未知数x表示同一个量，两个方程中的y也表示同一个量。
二元一次方程的解与二元一次方程组的解。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程的解有无数个。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
2. 解二元一次方程组
会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；了解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想。
解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变成“一元”。
代入消元法：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程的方法称为代入消元法，简称代入法。
加减消元法：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
3. 鸡兔同笼
让学生经历和体验列方程解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效模型，培养学生的数学应用能力。
4. 增收节支
让学生进一步经历和体验到方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效模型，培养学生的数学应用能力。
本节例题、习题借助列表分析问题中所蕴含的数量关系，意在突出解题过程，加强学生列方程组的技能训练。
5. 里程碑上的数
①让学生进一步体会和体验到方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效模型；②初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤。
教材中“里程碑上的数”既是一个数字问题，又和行程有关，因此有一定的难度。注意将问题分解，找出等量关系。
6. 二元一次方程与一次函数
使学生初步理解二元一次方程组与一次函数的关系；能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解；能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上。
画出方程组对应的两个一次函数的图象，找出它们的交点，这个交点的坐标就是二元一次方程组的解，这种解方程组的方法叫做二元一次方程组的图象解法。
三、一元二次方程（九年级上册第二章）
1. 花边有多宽
①经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型；②经历方程解的过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
只含有一个未知数，并且可以化为（为常数，）的形式的整式方程叫做一元二次方程。
我们把（为常数，）称为一元二次方程的一般形式，其中分别称为二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数。
2. 配方法
①会用开平方法解形如的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，增强学生的数学应用意识和能力。②体会转化等数学思想；能根据具体问题实际意义检验结果的合理性。
解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程。
配方法的步骤是：①将方程化为左边是二次项和一次项，右边是常数项的形式；②两边同除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，右边为一常数；④运用开平方的方法解一元二次方程。
用上述方法解一元二次方程的方法叫做配方法。
要注意根据问题的实际意义检验方程根的合理性。
3. 公式法
①通过推导公式，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；②会用公式法解决简单的数字系数的一元二次方程。
一般地，对于一元二次方程，当时，它的值是
.
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
4. 分解因式法
①能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；②会用分解因式解某些简单的数字系数的一元二次方程。
分解因式法解一元二次方程的依据是：如果，那么或。
注意，“或”中间用“或”而不能用“和”或者用“且”。
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，方程可以化为两个因式分别等于零的一元一次方程，解这两个一元一次方程可以得到方程的两个解。这种解一元二次方程的方法叫做分解因式法。
5. 为什么是0.618
①经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结动用方程解决实际问题的一般步骤；②通过列方程解应用题，进一步提高学生的分析问题、解决问题的意识和能力。
本节是一元二次方程的实际应用。用方程解决实际问题的的关键是寻找实际问题中的等量关系。
四、一元一次不等式和一元一次不等式组（八年级上册第一章）
1. 不等关系
①感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义，初步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要模型之一；②了解不等式的意义，会用不等号表示简单的不等关系，能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义。
一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥连接的式子叫做不等式。
注意：用“≠”连接的式子也是不等式。
2. 不等式的基本性质
①探索并掌握不等式的基本性质；②理解不等式与等式性质的联系与区别。
不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
注意：不等号“＞”与“＜”称为互为相反方向的符号，所谓不等号方向的改变，就是指原来的不等号方向改变成其相反的方向。
3. 不等式的解集
①理解不等式的解与解集的意义；②了解不等式解集的数轴表示。
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
不等式的解集在数轴上表示时，要确定边界和方向，有等号的是实心点，无等号的是空心点；方向是，大向右，小向左。
4. 一元一次不等式
①经历一元一次不等式概念的形成过程；②会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；③初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；④初步感知实际问题对不等式解集的影响，积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式，可以类比一元一次方程的解法，移项变形对于解不等式同样适用。
5. 一元一次不等式与一次函数
①通过观察函数图像，求解方程的解和不等式的解集，从中体会一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系；②通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系；③感知不等式、方程、函数的不同作用与内在联系。
直线轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。
使一次函数的函数值大于0的自变量的取值范围，就是一元一次不等式的解集，同样使一次函数的函数值小于0的自变量的取值范围，就是一元一次不等式的解集。
6. 一元一次不等式组
①经历通过具体问题抽象出不等式组的过程；②理解一元一次不等式组及其解集的意义，初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法；③体会运用不等式组解决简单实际问题的过程，再次感受不等式是解决现实问题的有效的数学模型。
一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。