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实际问题与二次函数——利润最大（小）值问题
南宁市第十三中学 冼云彤
九年级上册课本52页第8题
某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？
一、题目分析
（1）题目背景1、题目涉及的知识点是二次函数的图像和性质，既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数，打下坚实的理论和思想方法基础。
（2）本题作为学习探究2（商品涨价降价，如何定价能使利润最大）的对应练习，
2、它有别于学习中的探索活动，更不是课堂上教师的直接讲授，需要学生尝试从实际问题中分析变量之间的关系，建立函数模型，并借助二次函数的图像和性质解决问题。
（3）新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析，确定二次函数的表达式；体会其意义；能根据图像的性质解决简单的实际问题。而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，通过本题的学习，希望学生能初步形成解决二次函数实际问题的解题模式。
（2）学情分析
学生已经掌握了二次函数的最值问题的解题方法，但本题信息量大，已知条件复杂，彼此交错影响，理不出头绪，容易生出畏难情绪。
在解题过程中将数学模型的思想逐步细化，体
3、会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法
（3）重点：从实际问题中抽象出二次函数
运用二次函数的性质解决最大（小）值的问题
难点：将实际问题转化为二次函数问题
（4）教法分析：
教学方法： 采用问题式教学法，结合以学生分组讨论的学习方法
突出重点方法：关注学生在解题活动中的参与程度和思维水平，及时引导和归纳，帮助学生积累研究函数实际问题的步骤和方法。
难点突破方法：将学生难以理解，难以理清的知识，进行拆分，由简及深的以问题启发学生。
二、解题过程
（1）审题：抓住题目中的关键词
（2）分析：设计三个问题
问
4、题一：题目研究的是哪两个变量的关系？
（利润随房价的变化而变化）
问题二：能根据题意列出等量关系吗？
（利润=房价×入住数量—支出）
问题三：等量关系中各数据关系是什么？
房价=180+涨价
入住数量=每涨10元空一间
支出=20入住数量
所有的变化，因房价的变化而来，那么房价是如何变化的呢？
引导学生使用表格，利用函数思想分析数据
涨价
10
20
30
……
10
空房数
1
2
3
……
入住数
49
48
47
…
5、…
50—
房价
180+10
180+20
180+30
……
180+10
（3）解题：
教师给出规范的解题过程，并说明解题思路。鼓励学生继续从图像角度去思考提出解法，突出数形结合求最大值的方法
（4）归纳
及时归纳得出解决二次函数最大值问题的步骤
三、总结提升
整个解题过程是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。
归纳抽象
二次函数
实际问题
性质
图象
目标
实际问题的答案
利用二次函数的图像和性质求解
—16
50
x
y
10
O
变式1 原条件不变
6、旅游局为了促进低碳环保，规定宾馆空房率不能超过20%，房价定为多少的时候，利润最大？
（设计意图：体现数形结合的思想，呼应前面解法中检验，达到盘旋上升的效果）
学生根据平时生活经验提出变式：
变式2 房价九折，则如何定价能达到最大值？
变式3 结账返回代金券20%，则如何定价能达到最大值？
变式4 “买十送一”每十人，免费一人，则如何定价能达到最大值？
学生分组讨论，提出自己的解答
四、自我评价
1、就像课程标准里说的：数学教育要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能。题目的解决体现了知识对日常生活的重大作用，学生对数学知识实用性的有更深一层认识
7、
2、题目的解决过程以一主线一支线展开
1实际问题
支线
定变量
主线
等量关系
2建立数学模型 列表
3、利用函数图像性质求解
4、实际问题的答案
主线用以突出重点（掌握解决实际问题的步骤），支线突破难点（从实际问题抽象出二次函数）
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