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利用层次分析法解决买手机方案的选择
摘要
在人们的日常生活中有着形形色色的决策问题。如在选择购买手机时，也会因为各种因素，而产生许多困惑。本文通过对购买手机模型进行合理假设简化，将购买手机时主要考虑因素集中在功能，价格，电池，售后，外观，利用层次分析法，构造对比矩阵，分析其一致性，利用matlab软件求解，最终得出最佳选择方案。

关键词：层次分析法 matlab 对比矩阵
一、 问题重述
有人欲买一部手机，现在有如下几款进入其选择范围：HTC desire ，KIA 6300，星D608， iPHONE5。为了选择出一个最佳方案，请利用层次分析法进行综合分析，做出最终的抉择。

二、 问题的分析
对于这类问题，普遍可以利用层次分析法（AHP）对所有方案进行优先排序。本问题首先分析内在因素间的联系与结构，并把这种结构划分为三层即可，即目标层，准则层，方案层。把各层间诸要素的联系用线表示出来，接着是同层因素之间对上层因素重要性进行评价，并利用“两两比较法”建立比较矩阵，求的权系数，再进行一致性检验，如通过，则求得的权重系数可以被接受，否则，应重新评判。再进行单层权重评判的基础上，再进行层次间重要性组合权重系数的计算。
最后求出各个方案所占的权重，即可确定手机的优先顺序。
三、 模型假设
1、 所有手机价格都是恒定在一个价位；
2、 不考虑除功能、价格、电池、售后、外观外的其他因素，即仅以此五个准则来确定方案；
3、评价指标：由购买者评价功能、价格、电池、售后、外观等五个指标对于购买决定的影响大小，采用1-9级相对重要性作为尺度的方法。

相同重要
稍微重要
明显重要
强烈重要
绝对重要
介于两级之间

1
3
5
7
9
2,4,6,8

四、 模型的建立和求解
1.模型的建立
（1） 建立层次结构模型
本文题意很明确，各层次的要素也很明确。将有关各因素按照不同的属性从上到下分为三个层次：最上层为目标层：最终要选的手机型号；中间层为准则层：价位、配置、质量、外观、售后；最下层为方案层：HTC desire、NOKIA 63000、三星D608、IPHONE 5。根据分析可画出如下的层次结构图：

手 机
功 能
价 格
电 池
售 后
外 观
HTC desire
NOKIA 6300

三星D608
IPHONE 5

2.构造对比矩阵
根据对以上四种产品的五种评价指标的实际情况的调查，首先对五种指标之间的相对重要性进行比较，然后针对于每种具体的指标，根据四种手机在该指标上的优劣进行，比较得出以下的比较矩阵：
五种评价指标相对重要性（准则层）的比较矩阵：其中Cij表示第i项指标与第j项指标的重要性之比，1-5项分别为功能、价格、电池、售后、外观：

用matlab求解特征值及其所对应的特征向量分别为5.340

特征向量

一致性检验：

随机一致性指标
n
1
2
3
4
5
6
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
由上表可知当时
一致性比率
因此可认为比较矩阵的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。
3、 组合权向量
通过搜索互联网上有关手机功能、价格等网民投票分析，得出方案层中4种手机在各评价指标中的优势比例，用同样的方法构造出方案层对准则层每一个准则的成对比较矩阵。设他们分别为B1、B2、B3、B4，则：

这里矩阵中的元素是方案（手机的款式）与对于准则（功能、价格等）得优越性的比较尺度
由比较矩阵计算出权向量，最大特征根和一致性指标，结果列入下表

1
2
3
4
5

0.1688
0.8819
0.1903
0.2809
0.7601
0.4846
0.3537
0.5065
0.5301
0.5384
0.3058
0.2760
0.7518
0.7813
0.2618
0.8019
0.1449
0.3768
0.1722
0.2528

4.20
4.28
4.3573
4.0968
4.1031

0.0667
0.0933
0.1191
0.0322
0.0343
由于时随即一致性指标，通过计算上表的均通过一致性检验。
综上可得，方案1在目标中的组合权重应为方案1在各准则中的权重与相应准则对于目标的权重的两两乘积之和，即：
同理可以算出方案2、方案3、方案4在目标中的组合权重分别为
0.8018
1.2268
1.2268
于是组合权向量

结果表明方案3所占的权重远远大于其他方案，故应选方案3即“三星D608”

作为最优方案。
五．模型的推广
层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策。把定量和定性的方法结合起来，能处理许多传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。具有中等文化程度以上的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便。但也有它的局限性，可以用粗略、主观等词来概括，第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较判断直到结果都是粗糙的；第三，人主观因素的作用很大，当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径。
六．参考文献
[1] 吴建国，汪名杰．数学建模案例精编．北京：中国水利水电出版社，2005。
[2] 姜启源，叶俊．数学模型．北京：高等教育出版社，2008。
[3] 杨启帆，李哲宁，王聚丰．数学建模案例集．北京：高等教育出版社，2006。
[4] Frank R.Giordano,Maurice D.Weir．A first Course in Mathematical Modeling(Third Edition)．北京：机械工业出版社，2005。
[5] 邬学军，周凯宋军全．数学建模竞赛辅导教程．杭州：浙江大学出版社。
[6] 韩中庚．数学建模方法及其应用．北京：高等教育出版社，2005。
[7] 袁新生，邵大宏，郁时炼．LINGO和Excel在数学建模中的应用．北京：科学出版社，2007。

附录
Matlab调用函数：
[V,D]=eig(A) A是矩阵

正互反矩阵
A =

[ 1, 1/2, 5, 4, 3]
[ 2, 1, 7, 6, 5]
[ 1/5, 1/7, 1, 2, 3]
[ 1/4, 1/6, 1/2, 1, 2]
[ 1/3, 1/5, 1/3, 1/2, 1]

特征向量 =

0.5005 0.5346 + 0.2592i 0.5346 - 0.2592i 0.4948 -0.5824
0.8292 0.7431 0.7431 -0.8684 0.7548
0.1836 -0.1599 + 0.1836i -0.1599 - 0.1836i -0.0268 0.1795
0.1306 -0.1148 - 0.0122i -0.1148 + 0.0122i 0.0025 -0.2261
0.1058 -0.0170 - 0.1480i -0.0170 + 0.1480i 0.0160 0.0884

特征值 =

5.3404 0 0 0 0
0 -0.1087 + 1.3328i 0 0 0
0 0 -0.1087 - 1.3328i 0 0
0 0 0 -0.0321 0
0 0 0 0 -0.0909

一
a =

[ 1, 1/4, 1/2, 1/3]
[ 4, 1, 2, 1/3]
[ 2, 1/2, 1, 1/2]
[ 3, 3, 2, 1]

特征向量 =

0.1688 0.3980 -0.0678 - 0.1185i -0.0678 + 0.1185i
0.4846 0.1990 -0.1691 + 0.4404i -0.1691 - 0.4404i
0.3058 -0.8955 -0.1186 - 0.0845i -0.1186 + 0.0845i
0.8019 0.0000 0.8588 0.8588

特征值 =

4.2072 0 0 0
0 0.0000 0 0
0 0 -0.1036 + 0.9278i 0
0 0 0 -0.1036 - 0.9278i

二
a =

[ 1, 5, 2, 4]
[ 1/5, 1, 2, 3]
[ 1/2, 1/2, 1, 2]
[ 1/4, 1/3, 1/2, 1]

特征向量 =

-0.8819 -0.9166 -0.9166 -0.5923
-0.3537 0.1236 - 0.3149i 0.1236 + 0.3149i -0.0000
-0.2760 0.1322 + 0.1471i 01322 - 0.1471i -0.6516
-0.1449 0.0415 + 0.0674i 0.0415 - 0.0674i 0.4739

特征值 =

4.2882 0 0 0
0 -0.1441 + 1.1024i 0 0
0 0 -0.1441 - 1.1024i 0
0 0 0 0.0000

三
a =

[ 1, 1/3, 1/2, 1/4]
[ 3, 1, 1/2, 2]
[ 2, 2, 1, 3]
[ 4, 1/2, 1/3, 1]

特征向量 =

0.1903 0.0723 + 0.2268i 0.0723 - 0.2268i -0.0482
0.5065 -0.1701 - 0.2873i -0.1701 + 0.2873i -0.8012
0.7518 -0.7882 -0.7882 0.4379
0.3768 0.3612 - 0.2830i 0.3612 + 0.2830i 0.4050

特征值 =

4.3573 0 0 0
0 -0.1266 + 1.2307i 0 0
0 0 -0.1266 - 1.2307i 0
0 0 0 -0.1041

四
a =

[ 1, 1/2, 1/3, 2]
[ 2, 1, 1/2, 4]
[ 3, 2, 1, 3]
[ 1/2, 1/4, 1/3, 1]

特征向量 =

0.2809 -0.6350 -0.1041 + 0.0903i -0.1041 - 0.0903i
0.5301 0.7620 -0.1907 + 0.4076i -0.1907 - 0.4076i
0.7813 0.0000 0.8606 0.8606
0.1722 0.1270 -0.0695 - 0.1819i -0.0695 + 0.1819i

特征值 =

4.0968 0 0 0
0 0.0000 0 0
0 0 -0.0484 + 0.6279i 0
0 0 0 -0.0484 - 0.6279i

五
a =

[ 1, 2, 2, 3]
[ 1/2, 1, 3, 2]
[ 1/2, 1/3, 1, 1]
[ 1/3, 1/2, 1, 1]

特征向量 =

0.7601 0.7784 0.7784 -0.6149
0.5384 -0.3027 + 0.4733i -0.3027 - 0.4733i -0.4684
0.2618 -0.1341 - 0.2451i -0.1341 + 0.2451i -0.1563
0.2528 0.0143 + 0.0166i 0.0143 - 0.0166i 0.6149

特征值 =

4.1031 0 0 0
0 -0.0674 + 0.6503i 0 0
0 0 -0.0674 - 0.6503i 0
0 0 0 0.0317