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连续小波变换的对数模拟滤波器实现 · 55 ·
连续小波变换的对数模拟滤波器实现
摘 要: 提出了基于对数技术的连续小波变换的模拟滤波器实现方法, 通过迭代和函数逼近理论可获得无显式表达式的小波函数的冲激响应。小波变换的滤波器实现电路由冲激响应为小波函数的滤波器组构成, Padé逼近是一种有效的有理逼近, 小波函数经Padé逼近后可得到其有理分式逼近, 有助于滤波器设计。通过优化滤波器组的状态空间模型确保了电路具有大的动态范围, 有利于低压低功耗运用。仿真结果证实了其可行性。
关键词: 小波变换；Padé逼近；状态空间；对数滤波器
Realization of log analog filter of continuous wavelet transform
Abstract: A new method is presented using analog filters to implement the wavelet transform based on log circuits. First, the impulse response of wavelet without explicit expression can be gotten by iterative technique and function approximation theory. Next the Padé approximation is used to calculate the transfer function of the filter, whose impulse response is the required wavelet. The Padé approximation can decompose the transform function into rational form so as to be conveniently implemented by filter synthesis. For low-power low-voltage applications, the state-space mode of the filter is optimized for dynamic range requirements. The simulations demonstrate that the method implements the required wavelet transfer in an excellent way.
Keywords: Wavelet Transform; Padé approximation; state-space; log filter

非晶态Mn-Ce-O催化芒香醇选择氧化 57
1 引 言
小波变换因其在时、频两域都有表征信号局部特征的能力, 得到了广泛的运用[1-2,10-11]。传统的小波变换是用数字计算方法(即离散小波变换DWT)来实现的, 其实时处理性差; 近年来人们开始致力于用模拟电路实现连续小波变换的研究。尽管利用开关电容技术[3]可实现连续小波变换, 但其动态范围受低压低功耗以及工艺限制; 本文提出的用对数模拟滤波器网络实现连续小波变换的方案可以克服上述缺点。
对数域滤波基于瞬时缩展理论[5], 能在低电源电压下, 保持高频、可调、扩展的动态范围, 可理想地实现线性电流传递函数, 而其内部的电压信号则是非线性, 完全适合混合型Soc设计。Padé逼近是有理函数逼近的一种[6], 滤波器网络冲激响应经过Padé变换可以得到其有理分式逼近, 十分利于对数滤波器组的设计。
本文结合瞬时缩展电路理论与Padé逼近技术来实现小波变换的模拟对数电路实现, 该方法对于小波变换的硬件实现具有一定的理论价值; 而采用CMOS对数电路技术, 可以有助于优化电路的低压、低功耗设计, 这将在小波变换实时处理中有很好的应用前景。
2 原 理
小波函数的定义为: 设y (t)是具有紧支集的平方可积函数, 即, 若其傅里叶变换 满足条件:
(1)
则称y (t)为一个基本小波或母小波函数, 称(1)式为小波函数的容许条件, 容许条件的满足保证了小波变换的反变换存在。设x(t)是平方可积函数, 则有
(2)
则式(2)称为x(t)的小波变换。式中: a是尺度因子且 a>0; t 反映位移, 其值可正可负; 上标“*”表示取共轭。若式(2)中不但t是连续变量, 而且a和t 也是连续变量, 因此被称为连续小波变换(continuous wavelet transform,简记为CWT)。若X(w)为x(t)的傅氏变换, 则(2)式对应的频域表示式如式(3):
(3)
从式(3)可看出: 小波变换在频域的作用相当于用基本频率特性为Y (w)且品质因素恒定的带通滤波器在不同尺度a下对信号作滤波处理。当a连续变化时, 对信号作小波变换相当于用无限多个不同中心频率与带宽的恒Q带通滤波器对信号作滤波再将滤波结果求积分, 品质因素Q为中心频率与带宽之比。同时, 从一维连续小波变换定义中有关内积与卷积的比较来看, 输入信号与小波函数的卷积可以认为是小波变换(在函数满足关于t=0对称的条件下, 则该结论与从内积的角度考虑而得的结论完全相同; 如非对称, 在计算方法上也没有本质的区别)。
根据信号处理理论, 信号与某个函数的卷积就是信号通过以该函数特性为冲激响应的系统后的输出, 因此只要构造冲激响应为小波函数的滤波器组, 则信号通过该滤波器组后的输出就是信号的小波变换。这样一来, 小波变换的实现问题转化为构造冲激响应为不同尺度与位移的小波函数的滤波器组的问题。需要注意的是, 在构造不同尺度与位移的小波函数滤波器组时, 要保证品质因数与a值无关这个条件。在实际应用中, 考虑到小波变换的冗余性以及实际实现的可能性, 只要将a, t 离散化, 一般取a=2 (也称二进小波变换)并根据实际问题取为合适值即可满足要求。该方法为实时处理提供了可能, 尤其是对二维信号(如图像)求其二维小波变换的情形。因其数据量巨大, 用传统的离散小波变换方法不能达到实时处理, 当输入信号是光学信号(如遥感、气象卫星的图片)时, 若能构造一个冲激响应具有二维小波函数形式的光学滤波器, 即可立即得到相应的二维小波变换的输出, 实现实时压缩、传输。下面将论述一维小滤波器的构造。
3 滤波器的构造
3.1 滤波器网络冲激响应的确定
在实际构造滤波器组时, 首先是确定母小波函数。要完全满足其时域表达式y (t)或频域表达式Y(w)是不可能的, 只能进行一定程度的近似。这种近似既可以从时域考虑, 即近似y (t), 也可以从频域近似, 即近似Y(w)。不失一般性, 此处只讨论h(t)为y (t)时的构造方法, 至于h(t)为、等的构造方法完全类似。
设u(t)表示阶跃函数, 则由电网络理论可知, 若h(t)为指数和形式, 即
(4)
式中: pj是实部为负的复数, Kj为复数, 为保证系统稳定, 则一定可以找到一个N阶线性的模拟滤波网络, 其冲激响应等于h(t)。因此需要解决的问题是确定式(4)中的2N个未知参数Kj及pj. 假设T为某一固定的间隔, 由于一般小波函数y (t)都不具有指数和的形式, 甚至大多数小波函数连显式表达式都没有, 只有通过迭代得到的其离散点的值y (nT), (n∈Z ),因此只能根据函数逼近理论由这些已知的样点值构造出h(t), 使h(t)尽量接近y (t), 这里, 具体的计算略。下面讨论获取小波函数的显式表达式后, 如何设计所需的滤波器, 本文选择高斯函数作为小波函数(也称为母小波), 这是因为高斯函数在它的函数支架内具有带通的性质, 且带宽还可以由参数a来控制, 另一个重要的性质是它的频域形式仍然保持高斯形式。一般通用的高斯函数族形式为:
(5)
3.2 Padé逼近
Padé逼近是有理函数逼近的一种, 任何函数经过Padé变换可以得到其有理分式逼近。在小波变换的滤波器电路实现中, 构造冲激响应为小波函数的恒Q带通滤波器组至关重要。滤波器的传输函数通常都表示为有理分式, 因此将小波函数转化成有理分式形式的传输函数在小波滤波器的设计实现中显得非常重要。
对小波函数进行Padé逼近后, 可以获得其频域的有理分式逼近, 然后再根据滤波器设计理论, 就可以实现小波滤波器的设计, 图1为模拟小波滤波器的设计流程图。在Padé逼近中, 有理分式逼近系数的计算由母小波函数y(t)的拉普拉斯变换(Laplace transform)的泰勒级数(Taylor)展开获得。
一般的, 设F(s)在s = 0处的Taylor级数为
(6)
式中: c0, c1,, ck称为Taylor展开系数. 由于F(s)的Taylor展开式中只有零点,并不是滤波器传输函数的理想表达式,故需将其变换成有理分式形式。

图1 模拟小波滤波器设计流程图
Fig. 1 Flowchart of wavelet filter design

函数F(s)的Padé逼近表达式为[5]:
(7)
式中: Q(s), P(s)的系数分别为:
8)

(当k < 0时, ck=0) (9)
如果逼近后的有理式函数分子为n次多项式, 分母为m次多项式, 则原函数可被逼近至(m+n)次多项式。Padé逼近的主要优点是计算简便, 具有通用性; 因此也可将Padé逼近运用于其他的指定了脉冲响应的滤波器设计, 例如, 小波滤波器的其他母小波的设计, 如Morlet小波等。
结合小波的时频局部性特性, 采用[3/6] Padé逼近, 其对应的高斯函数的Padé逼近表达式为:

(10)
4 电路实现与仿真分析
本节通过采用对数滤波器网络来实现高斯小波变换, 整个滤波器组由6个6阶带通滤波器组成, 其传递函数表达式如式10)所示。6组滤波器的中心频率分别为:
0.156 kHz, 0.312 kHz, 0.625 kHz, 1.25 kHz, 2.5 kHz和5 kHz。每个6阶带通滤波器分别由3个二阶滤波器并联而成。为了节省硬件成本, 这里采用了共享邻近的滤波器技术, 也就是说, 整个6通道的滤波器组只需13个二阶滤波器便可构成, 如图2所示。

图2 共享型6通道滤波器组
Fig. 2 Communion 6-cannel filterbank

二阶滤波器采用对数技术来实现。对数域滤波技术[4,6-7]可在同一瞬时, 对信号先进行压缩, 待处理后再进行扩展, 从而实现在低压下提供高频、可调、扩展的动态范围等优点。它直接利用晶体管的指数特性实现线性电流传递函数, 而其内部的电压信号则是非线性, 避免由于将非线性器件线性化所引起的功耗增加和工作速度的降低。
一般可以根据滤波器的传递函数来设计滤波器电路。但由于受大范围内变化的偏置电流和电容的限制, 不可能直接通过滤波器的传递函数来设计状态空间模型(state-space mode)从而得到相应的滤波器实现电路。为了在优化电路大小的同时又能保证好的电路性能, 在进行状态空间转换时采用了如下3种方法: 1) 为了压缩电路面积, 共享偏置电路, 需平衡所有的滤波器系数, 从而保证偏置电流相等或至少处于同一个范围之内; 2) 增加亚输入单元, 从而使得内部的各个状态变量拥有同样的工作点[8]; 3) 电流IBIAS和电流IF彼此独立, 通过调节IBIAS与IF来分别设置信号范围和截止频率, 从而保证输入信号、电流以及电容等处在一定的范围内, 而频率调节却不受影响。相应的状态空间模型实现如图3所示, 式(11)为其对应的状态方程。
; (11)

图3 状态空间模型实现框图
Fig. 3 Block diagram of state-space model realization

为了降低总体电路功耗, 这里采用CMOS电路, 所有电路单元采用工作在亚阈值态的MOS管实现, 一般的, 当晶体管工作在亚阈值状态时, 有[9]:
(12)
从式(12)可以很明显的看出ID 与VGB以及ID 与VSB呈指数关系。
图4为采用[3/6] Padé逼近后的高斯函数的脉冲响应与理想的高斯函数的波形对照图, 可以看出, 高斯小波函数逼近效果非常理想, 在实际运用中, 我们可以调节滤波器组中的偏置电流与电容可以获得不同尺度的高斯小波函数。

图4 运用Padé逼近后的脉冲响应
Fig. 4 Impulse response using Padé approximation

图5(a)为原始的视频编码信号, 经过滤波器组重构后的信号如图5(b)所示。从图5可以看出, 除了在A处存在轻微瑕疵外, 重构信号基本上与原始信号吻合。这是因为, 仿真时, 滤波器组(即通道数目)数目不多, 导致精度有所下降; 仿真时, 只选用了0.25 mm CMOS工艺; 对电路设计而言, 在进行状态空间转化时, 在优化电路大小与保证好的电路性能两方面, 考虑有所欠缺; 以及在整体设计上, 对系统的最大信号频率与幅值等进行的考虑不足, 对系统做的一些分析裕度的保留不够。

(a)

(b)

图5 (a)原始信号 (b)重构信号
Fig. 5 (a) Initial signal; (b) Reconstruction signal
5 结 论
本文提出了基于对数技术的连续小波实现, 首先分析了滤波器网络冲激响应的计算, 然后通过Padé逼近方法, 得到所需小波函数的有理分式逼近, 小波变换的滤波器实现电路由冲激响应为小波函数的滤波器组构成,最后, 通过优化滤波器组的状态空间模型确保了电路大的动态范围, 十分利于低压低功耗运用。以高斯小波变换为例, 仿真结果证实了其可行性; 而任意小波函数均能通过Padé逼近得到其有理分式逼近, 从而使本文方法具有普遍意义。仿真中出现的误差分析及电路性能优化有待进一步研究。
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