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复习课：相似的中考应用
胡林中学 肖勇
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与三角形、四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，有利于培养学生的综合素质。
本节复习的目标是：
1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长 或两线段的比。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题。
5.相似三角形与三角形、四边形、圆的综合运用。
6.会寻找相似形，会作辅助线构造相似三角形，利用比例线段的转换求线段的长度及比值或最值。
本节的重点内容是——相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是——利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
（二）重要知识点介绍：
1. 相似三角形的判定：
①两角对应相等，两个三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似。
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
2. 相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角相等
②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
3. 平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
教学过程：
一、 回顾旧知：
【复习提问】 1. 相似三角形的定义与性质。 2. 相似三角形的判定。3. 平行线分线段成比例定理。
【课前训练】
1.如图8在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F, 若EC=2BE,则的值是（ ） A. B. C. D.
2.如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．12
3.如图正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= _____cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_____  cm2．

二、典型例题讲解：
（一）相似与三角形、四边形
例1.（2014年武汉中考题）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ
(1) 若△BPQ与△ABC相似，求t的值
(2) 连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值
(3) 试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上

例2. (中考四月模拟)如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在边AB延长线上，点G在边AD上， FG分别交ED，BC于点M, N.
（1）如图1，AE=BF，连接CF.
①求证：△DGM∽△CNF；

②若BE=2AE=2GD，求的值.

⑵如图2，若，求∠EMF的度数．

【变式训练】
1、在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB= ∠C，
BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．

（1）当AB=AC时，（如图1），
①∠EBF=______________
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当AB=kAC时（如图2），直接写出 的值_______________（用含k的式子表示）．　　　　　　　　

2.（本题10分）如图，四边形ABCD中，E是BC边上一点，连AE、DE，F在线段AE上，连CF、DF，已知AD=DE，∠BAE=∠EDF。
（1） 如图1，四边形ABCD为矩形时，求证：AE平分∠BED，‚CF=DF；
（2） 如图2，四边形ABCD为平行四边时，求证：AE平分∠BED，‚CF=DF；
（3） 如图3，四边形ABCD为菱形，CE=3EB，DE交AB于G点，直接写出= .

（二）相似与圆
例3、（本题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5，.
（1） 如图（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；
（2） 如图（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若，求PC的长.

例4．如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。
（1）求证：PM=PN；
（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

三、巩固练习、布置作业：
1.如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD=DB．
（1） 求证：DB为⊙O的切线．
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长．

2．四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，E是AB的中点，DP⊥CE于点P．
（1）如图1，若∠ADC=90°，求证：CP·CE=2AE2；
（2）如图2，在（1）的条件下，若AB=BC，连接AP并延长交BC于点G，求的值．
（3）如图3，AB=BC，若D、P、B在同一直线上，AP的延长线交BC于点G，请你直接写出 的值为 ．

3.(本题满分10分)如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，连接DE交AC于点F.
⑴如图①，求证：AF＝2CF；
⑵如图②，作DG⊥AC于G，试探究：当AB与AD满足什么关系时，使得AG＝CF成立？并证明你的结论；
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
N
M
A
B
C
D
E
F
G
图③
图②
图①
⑶如图③，以DE为斜边在矩形ABCD内部作等腰Rt△DEM交对角线BD于N，连接AM，若AB＝AD，请直接写出的值.

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