二项式定理--习题.doc

一、 选择题：
1.的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A. B. C. D.
2.在的展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A.第n项 B. 第n+1项 C. 第n，n+1项 D第n+1，n+2项 .
3. 的展开式二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）
A.10 B. 20 C. 30 D.120
4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A.31 B. 11 C. 31 D. 11
5. 展开式中，除项的系数外其它系数之和为（ ）
A.1 B.0 C.1 D. 2
6.化简：等于（ ）
A. B. C. D.
7. 在的展开式中，含的正整数次幂的项有（ ）
A.2项 B. 3项 C. 4项 D.5项
8.在的展开式中常数项是（ ）
A.20 B.20 C.15 D.15
9. 的展开式中的系数是（ ）
A.4 B.4 C.2 D.2
10. 的展开式中的系数是（ ）
A. 101 B. 141 C.139 D.99
二、填空题：
14. 在的展开式中，含的项的系数是____________
15.若的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于__________
三、解答题：
17.在的展开式中，（1）求所有二项式系数之和及偶数项的二项式系数和；（2）求各项系数和；（3）求各项系数绝对值之和；
18.若

　　一、与通项有关的一些问题
1．在的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数，
2）第4项的系数， 3）求常数项
2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.
3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.
4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.

7．的展开式中系数最大的项为第_____项.
分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法.
　　设第r+1项的系数最大，
　　则 解得:，
　　∴r=7，且此时上式两个等号都不能取得，
　　因而第8项系数最大.
　　　例2、 已知 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，
试求：
　　（1）二项式系数最大的项；

　　（2）系数的绝对值最大的项；

　　（3）系数最大的项。

　　解：由题意得
　　∴n=10
　　∴二项展开式的通项公式为
　　（1）
　　∵n=10，
　　∴二项展开式共11项
　　∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大
　　又
　　∴所求二项式系数最大的项为

　　（2）设第r+1项系数的绝对值 最大，
　　则有

　　解之得 ，注意到 ，
　　故得r=3
　　∴ 第4项系数的绝对值最大
　　∴ 所求系数绝对值最大的项为

（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，
　　即在r取偶数的各项内
　　又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为
　　 ， ， ， ，，
　　即分别为1， ， ， ，
　　由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，
　　即
　　点评：
　　（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。
　　（2）这里 展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 展开式中系数最大的项，必要时可适时转化。
　　（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。

　　例7、 试求下列二项展开式中指定项的系数：
　　（1） 的展开式中 项的系数；
　　（2） 的展开式中 项的系数；
　　　　（4） 的展开式中x项的系数；
　　（5） 的展开式中 项的系数；
　　解：
　　（1）借助“配方转化”：原式
　　∴原展开式中 项的系数，即 展开式中 项的系数
　　又 展开式的通项公式为
　　令 得r=3
　　∴ 展开式中
　　∴ 所求原展开式中 项的系数为-960；

（2）注意到 的幂指数3较小，借助“局部展开”：
　　原式
　　∴ 展开式中 的系数为

　　=-590

　　（4）
　　解法一（两次利用二项式定理）：

　　设展开式中第r+1项为含有x的项，
　　又
　　∴ 要使x的幂指数为1，必须且只需r=1
　　即
　　而 展开式中的常数项为 ，故得
　　原展开式中x的系数为
　　解法二（利用求解组合应用题的思路）：
　　注意到
　　∴ 欲求 展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，其余四个因式都取常数2即可。
　　∴ 原展开式中x的一次项为
　　∴ 所求原展开式中x的系数为240；

　　（5）
　　解法一（两次利用二项展开式的通项公式）：
　　注意到
　　其展开式的通项 　　　　　　①
又 的展开式的通项 　　　　　　②
　　依题意 ，
　　由此解得 ， ，
　　∴ 由①、②得所求展开式中 项的系数为

　　解法二（利用因式分解转化）：

　　∴ 所求即为 展开式中 的系数，
　　于是利用“局部展开”可得其展开式中 的系数为

　　=-168

　　五、高考真题
　　（一）选择题
　　1.（2005·全国卷 III ）在 的展开式中 的系数是（　　 ）
　　A. –14　　　　　　 B. 14　　　　 C. –28　　　　　　 D. 28

　　分析：对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一， ，又 的展开式中 的系数为 ， 的系数为
　　∴ 原展开式中 的系数为 ，应选B。

　　2.（2005·江苏卷）设k=1，2，3，4，5，则 的展开式中 的系数不可能是（　　 ）
　　A. 10　　　　　　 B. 40　　　　　　 C. 50　　　　　　 D. 80

　　分析：立足于二项展开式的通项公式：
　　∴ 当k=1时，r=4， 的系数为 ；
　　当k=2时，r=3， 的系数为 ；
　　当k=3时，r=2， 的系数为 ；
　　当k=4时，r=1， 的系数为 。
　　∴ 综上可知应选C。

　　4.（2005·重庆）若 展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为-5，则n等于（　　 ）
　　A. 4　　　　 B. 6　　　　 C. 8　　　　 D. 10

　　分析：设第r+1项是含 的项，
　　又
　　∴ 这一项的系数为 ，且 　　　　　　　 ①

　　再设第s+1项是含 的项，则

　　∴ 这一项的系数为 ，且 　　　　　　 ②
　　∴ 由①、②得　　 ，故 　　　　　　　　　③
　　又由①、②得
　　∴
　　化简得　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④
　　于是由③、④解得 n=6，r=4，故选B。

　　5.（2005·山东卷）如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（　　 ）
　　A. 7　　　　　　 B. –7　　　　　　 C. 21　　　　　　 D. –21
　　分析：设 ，
　　则
　　∴ 由已知得 ，解得n=7
　　∴

　　令 得r=6.
　　∴ ，故所求系数为 ，应选C。

　　（二）填空题
　　1.（2005·福建卷） 展开式中的常数项是　　　　　　 （用数字作答）
　　分析：
　　当 　　得 r=2.
　　∴ ，即所求常数项为240。

　　2.（2004·重庆卷）若在 展开式中 系数为-80，则a=　　　　　　 。

　　解：
　　∴ 当r=3时有
　　∴ 由题设得
　　∴ a=-2，即应填-2。

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