探究二次函数中的面积最值问题.doc

华章文化 《火线100天》word版
题型专项(九)　函数与几何图形综合(广西压轴题)
类型1　探究线段的数量关系及最值问题　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2014·玉林)给定直线l：y＝kx，抛物线C：y＝ax2＋bx＋1.
(1)当b＝1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；
(2)若把直线l向上平移k2＋1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．
①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y＝2交于点Q，O为原点．求证：OP＝PQ.
解：(1)∵l：y＝kx，C：y＝ax2＋bx＋1，当b＝1时有A，B两交点，
∴A，B两点的横坐标满足kx＝ax2＋x＋1，即ax2＋(1－k)x＋1＝0.∵B与A关于原点对称，
∴0＝xA＋xB＝，∴k＝1.
∵y＝ax2＋x＋1＝a(x＋)2＋1－，
∴顶点(－，1－)在y＝x上，
∴－＝1－，解得a＝－.
(2)①∵无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点，
∴k＝1时，k＝2时，直线r与抛物线C都只有一个交点．当k＝1时，r：y＝x＋2.
∴代入C：y＝ax2＋bx＋1中，有ax2＋(b－1)x－1＝0.
∵Δ＝(b－1)2＋4a＝0，∴(b－1)2＋4a＝0.
当k＝2时，r：y＝2x＋5，∴代入C：y＝ax2＋bx＋1中，有ax2＋(b－2)x－4＝0，
∵Δ＝(b－2)2＋16a＝0，∴(b－2)2＋16a＝0，
∴联立得关于a，b的方程组
解得或
∵r：y＝kx＋k2＋1代入C：y＝ax2＋bx＋1，得ax2＋(b－k)x－k2＝0，∴Δ＝(b－k)2＋4ak2.
当时，Δ＝(－k)2＋4·(－)k2＝k2－k2＝0，故无论k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．当时，Δ＝(－k)2＋4·(－)k2＝k2－k＋，显然随k值的变化，Δ不恒为0，∴不合题意，舍去．∴C：y＝－x2＋1.
②证明：根据题意，画出图象，如图．

由P在抛物线y＝－x2＋1上，设P坐标为(x，－x2＋1)，连接OP，过点P作PQ⊥直线y＝2于点Q，作PD⊥x轴于点D，
∵PD＝|－x2＋1|，OD＝|x|，
∴OP＝＝＝＝x2＋1，PQ＝2－yP＝2－(－x2＋1)＝x2＋1，
∴OP＝PQ.
2．(2016·淄博)已知点M是二次函数y＝ax2(a＞0)图象上的一点，点F的坐标为(0，)，直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为.
(1)求a的值；
(2)当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；
(3)当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF＝MN＋OF.

解：(1)∵圆心Q的纵坐标为，
∴设Q(m，)，F(0，)．
∵QO＝QF，
∴m2＋()2＝m2＋(－)2.∴a＝1.
(2)∵M在抛物线上，设M(t，t2)，Q(m，)，
∵O，Q，M在同一直线上，∴kOM＝kOQ.
∴＝.∴m＝.∵QO＝QM，
∴m2＋()2＝(m－t)2＋(－t2)2，
整理得－t2＋t4＋t2－2mt＝0.
∴4t4＋3t2－1＝0.∴(t2＋1)(4t2－1)＝0.
∴t1＝，t2＝－.
当t1＝时，m1＝；当t2＝－时，m2＝－.
∴M1(，)，Q1(，)；M2(－，)，Q2(－，)．
(3)设M(n，n2)(n＞0)，∴N(n，0)，F(0，)．
∴MF＝＝＝n2＋，MN＋OF＝n2＋.
∴MF＝MN＋OF.

类型2　探究与角度有关的问题　　　

3．(2016·贵港)如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；
(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠CAE，若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)将A(－5，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－5中，得

解得
∴y＝x2＋x－5.
(2)当x＝0时，y＝－5，∴C(0，－5)，OC＝5.
∵A(－5，0)，B(3，0)．∴AB＝8.
∴S△ABC＝AB·OC＝20.
设点E到AB的距离为h，则×8·h＝20，∴h＝5.
∵点E在x轴下方，∴E点纵坐标为－5.
当y＝－5时，x2＋x－5＝－5，
∴x1＝－2，x2＝0(与点C重合，舍)．
∴E(－2，－5)．
(3)存在点P，使∠EAC＝∠PAB.
设P(a，a2＋a－5)．
过点P作PH⊥x轴于点H，过点E作EQ⊥AC于点Q，连接AP.
∵A(－5，0)，C(0，－5)，E(－2，－5)，
∴AC＝5，AE＝，CE＝2.
∵S△AEC＝×CE·OC＝AC·EQ.
∴EQ＝.∴AQ＝4.
∵∠EAC＝∠PAH，∠EQA＝∠PHA＝90°，
∴△EAQ∽△PAH.
∴＝.∴＝.
∴PH＝.
①当P在x轴上方时，
a2＋a－5＝，∴a1＝－5(舍)，a2＝.
②当P在x轴下方时，a2＋a－5＝－，∴a1＝－5(舍)，a2＝.
∴当P点横坐标为或 时，∠BAP＝∠CAE.
4．(2016·河南)如图1，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
(3)如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．

解：(1)由直线y＝－x＋n过点C(0，4)，得n＝4，
∴y＝－x＋4.
当y＝0时，0＝－x＋4，解得x＝3，∴A(3，0)．
∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，－2)．
∴∴
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.
(2)∵点P的横坐标为m，
∴P(m，m2－m－2)，D(m，－2)．
若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD.
①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m.
(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m<0，BD＝－m.
∴m2－m＝－m，
∴m1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．
(ⅱ)若点P在y轴右侧，则m>0，BD＝m.
∴m2－m＝m.∴m3＝0(舍去)，m4＝.
②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－m2＋m.
∴－m2＋m＝m.∴m5＝0(舍去)，m6＝.
综上，m＝或.
即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.
(3)P1(－，)，P2(，)，P3(，)．
【提示】∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，
∴AC＝5.∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝.
①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.

如图1，ND′－MD′＝2，即(m2－m)－(－m)＝2.
如图2，ND′＋MD′＝2，即(m2－m)＋m＝2.
∴P1(－，)，P2(，)；
②当点P′落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.
∵P′N＝BM，即(m2－m)＝m.
∴P3(，)．
类型3　探究与图形面积有关的问题　　　　　　　　　　　　　

5．(2015·河池)如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋3，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，直线l过点C，交x轴于点E(4，0)．
(1)写出点D的坐标和直线l的解析式；
(2)P(x，y)是线段BD上的动点(不与点B，D重合)，PF⊥x轴于点F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过点Q作y轴的平行线，交直线l于点M，交抛物线于点N，连接CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′，在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

解：(1)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴D(1，4)．
当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C(0，3)．
设直线l的解析式为y＝kx＋b.
把C(0，3)，E(4，0)分别代入上式得
解得
∴直线l的解析式为y＝－x＋3.
(2)如图1，当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，则B(3，0)．
设直线BD的解析式为y＝mx＋n，
把B(3，0)，D(1，4)分别代入得
解得
∴直线BD的解析式为y＝－2x＋6.
则P(x，－2x＋6)．
∴S＝×(－2x＋6＋3)x＝－x2＋x(1设Q(t，0)(t>0)，则M(t，－t＋3)，N(t，－t2＋2t＋3)．
∴MN＝＝，CM＝＝t.
∵△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′，M′落在y轴上，而QN∥y轴，
∴MN∥CM′，NM＝NM′，CM′＝CM，∠CNM＝∠CNM′.∴∠M′CN＝∠CNM.∴∠M′CN＝∠CNM′.∴CM′＝NM′.∴NM＝CM.
∴＝t.
当t2－t＝t，解得t1＝0(舍去)，t2＝4.
此时点Q坐标为(4，0)；
当t2－t＝－t，解得t1＝0(舍去)，t2＝.
此时点Q坐标为(，0)．
综上所述，点Q的坐标为(，0)或(4，0)．
6．(2016·玉林模拟)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA，OC的长(OA＜OC)是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求此抛物线的解析式；
(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A，B不重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵OA，OC的长是x2－5x＋4＝0的根，OA＜OC，
∴OA＝1，OC＝4.
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，
∴A(－1，0)，C(0，－4)．
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1，
∴由对称性可得B点坐标为(3，0)．
∴A，B，C三点坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－4)．
(2)∵点C(0，－4)在抛物线y＝ax2＋bx＋c图象上，
∴c＝－4.
将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－4，
得解得
∴所求抛物线解析式为y＝x2－x－4.
(3)根据题意，BD＝m，则AD＝4－m.
在Rt△OBC中，BC＝＝5.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝.
∴DE＝＝＝.
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF＝sin∠CBA＝＝.∴＝.
∴EF＝DE＝×＝4－m.
∴S△CDE＝S△ADC－S△ADE＝(4－m)×4－(4－m)(4－m)＝－m2＋2m(0＜m＜4)．
∵S＝－(m－2)2＋2，a＝－＜0，
∴当m＝2时，S有最大值2.
∴点D的坐标为(1，0)．
7．(2016·桂林)如图，已知开口向下的抛物线y1＝ax2－2ax＋1过点A(m，1)，与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E.
(1)直接写出点A，C，D的坐标；
(2)当四边形ABDE是矩形时求a的值及抛物线y2的解析式；
(3)在(2)的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．

解：(1)由题意得：将A(m，1)代入y1＝ax2－2ax＋1得am2－2am＋1＝1，
解得m1＝2，m2＝0(舍)，
∴A(2，1)，C(0，1)，D(－2，1)．
(2)由(1)知：B(1，1－a)，过点B作BM⊥y轴．
若四边形ABDE为矩形，则BC＝CD.
∴BM2＋CM2＝BC2＝CD2.
∴12＋(－a)2＝22.
∴a＝±.
∵y1抛物线开口向下，
∴a＝－.
∵y2由y1绕点C旋转180°得到，
则顶点E(－1，1－)．
∴设y2＝a(x＋1)2＋1－，则a＝.
∴y2＝x2＋2x＋1.
(3)当0≤t≤1时，则DP＝t，过点B作BQ⊥DC，交其延长线于点Q，得BQ＝，DQ＝3，则BD＝2，
∴∠BDQ＝30°.
∴PH＝t，PG＝t.
∴S＝(PH＋PG)·DP＝t2.
如图，过点E作EI∥y轴，交BD于点I，

当1＜t≤2时，EG＝E′G＝(t－1)，E′F＝2(t－1)，
S不重合＝(t－1)2，
S＝S1＋S2－S不重合＝＋(t－1)－(t－1)2(其中S1＝S△EDI，S2＝S▱EGHI)
＝－t2＋t－.
综上所述：S＝t2(0≤t≤1)或S＝－t2＋t－(1＜t≤2)．
类型4　探究三角形相似问题　　　　　　　　　　　　　　　

9．(2016·河池模拟)如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
(3)连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋1，∵抛物线过原点，∴a(0－2)2＋1＝0，a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋1＝－x2＋x.
(2)△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB＝3S△AOB，
∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是－3.
∴－3＝－x2＋x，即x2－4x－12＝0.
解得x1＝6，x2＝－2.
∴满足条件的点有两个：M1(6，－3)，M2(－2，－3)．
(3)不存在．
由抛物线的对称性，知AO＝AB，∠AOB＝∠ABO.
若△OBN与△OAB相似，必有∠BON＝∠BOA＝∠BNO，即OB平分∠AON.
设ON交抛物线的对称轴于点A′则A，A′关于x轴对称．
∴A′(2，－1)．∴直线ON的解析式为y＝－x.
由－x＝－x2＋x，得x1＝0，x2＝6.∴N(6，－3)．
过点N作NE⊥x轴，垂足为点E.连接BN.
在Rt△BEN中，BE＝2，NE＝3，
∴NB＝＝.又∵OB＝4，
∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．
∴在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．
10．(2016·潍坊)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)把A(0，1)，B(－9，10)分别代入y＝x2＋bx＋c，得解得
∴抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋1.
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0.∴C(－6，1)．
设直线AB的解析式是y＝kx＋b(k≠0)，
将A(0，1)B(－9，10)分别代入解析式，得
解得
则直线AB的解析式是y＝－x＋1.
设点P的坐标为(m，m2＋2m＋1)，则点E的坐标为(m，－m＋1)．
则EP＝－m＋1－(m2＋2m＋1)＝－m2－3m，
∵AC⊥EP，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC·EF＋AC·PF＝AC·(EF＋PF)＝AC·EP＝×6×(－m2－3m)＝－m2－9m＝－(m＋)2＋.
又∵－6＜m＜0，
∴当m＝－时，四边形AECP的面积最大，最大面积为，此时点P的坐标是(－，－)．
(3)由y＝x2＋2x＋1＝(x＋3)2－2，得顶点P的坐标是(－3，－2)．
此时PF＝yF－yP＝3，CF＝xF－xC＝3.
则在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45°.
同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF.
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
存在△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC.
由题意可求AB＝9，AC＝6，CP＝3.
①当△CPQ1∽△ABC时，设Q1(t1，1)．
由＝，得＝，解得t1＝－4.
②当△CQ2P∽△ABC时，设Q2(t2，1)．
由＝，得＝，解得t2＝3.
综上，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1(－4，1)，Q2(3，1)．
类型5　探究特殊三角形的存在性问题

11．(2016·河池)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)请直接写出点A，C，D的坐标；
(2)如图1，在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
(3)如图2，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．
当y＝0时，－x2－2x＋3＝0，∴x1＝1，x2＝－3.
又A在B的左边，∴A(－3，0)，B(1，0)．
∵y＝－x2－2x＋3.
∴y＝－(x＋1)2＋4.
∴D(－1，4)．
(2)作C(0，3)关于x轴的对称点C′(0，－3)，连接DC′，与x轴的交点即为所求点E，此时△DCE周长最小．
设DC′的解析式为y＝kx＋b.
将D(－1，4)，C′(0，3)代入y＝kx＋b中，得解得∴y＝－7x－3.
令y＝0，则－7x－3＝0，∴x＝－.∴E(－，0)．
(3)∵A(－3.0)，C(0，3)，
∴∠CAO＝45°.
①以A为等腰直角三角形的顶点，则过A作AP⊥AC交抛物线于点P，过P作PF⊥x轴交直线AC于点F，则△APF为等腰直角三角形，可求得P(2，－5)．
②若以F为直角顶点，则∠FAP＝45°.
又∵∠FAO＝45°，∴P在抛物线与x轴交点处．
∴P可取(1，0)．
③若以P为直角顶点，则∠FAP＝45°.
又∵∠FAO＝45°，∴P在抛物线与x轴交点处．
∴P可取(1，0)．
∴P(1，0)或(2，－5)．

12．(2016·漳州)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
(3)在(2)的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)点B(3，0)，C(0，3)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.
(2)令x2－4x＋3＝0，则x1＝1，x2＝3.∴A(1，0)．
设直线BC的解析式为y＝kx＋b.
∵点B(3，0)，C(0，3)在直线BC上，
∴解得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
设N(x，－x＋3)，则M(x，x2－4x＋3)(1)，P3(2，)，
P4(2，－)，P5(2，)．
类型6　探究特殊四边形的存在性问题

13．(2015·百色)抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，2)，B(3，2)两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴，y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．
(1)求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)问几秒钟时，点B，D，E在同一条直线上？

解：(1)依题意有
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2
令y＝0，则x2－3x＋2＝0.
解得x1＝1，x2＝2.
∴抛物线与x轴的交点坐标是(1，0)，(2，0)．
(2)存在，由已知条件得AB∥x轴，
∴AB∥CD.
∴当AB＝CD时，
以A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形，
设D(m，0)，
当C为(1，0)时，则CD＝m－1.
∴m－1＝3.∴m＝4.
当C为(2，0)时，则CD＝m－2.
∴m－2＝3，∴m＝5.∴D(5，0)．
综上所述：当D的坐标为(4，0)或(5，0)时，A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形．
(3)设t秒钟时，点B，D，E在同一条直线上，则OE＝t，OD＝2t，
∴E0，t)，D(2t，0)，
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
∴
解得k＝－或k＝(不合题意舍去)或t＝0.
∴当k＝－，t＝.
∴点D，E运动0秒或秒钟时，点B，D，E在同一条直线上．

14．(2016·泰安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以点A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．

解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x－2)2＋9，
∵抛物线与y轴交于点A(0，5)，
∴4a＋9＝5，∴a＝－1.
∴y＝－(x－2)2＋9＝－x2＋4x＋5.
(2)当y＝0时，－x2＋4x＋5＝0.∴x1＝－1，x2＝5，
∴E(－1，0)，B(5，0)．
设直线AB的解析式为y＝mx＋n，
∵A(0，5)，B(5，0)，∴m＝－1，n＝5.
∴直线AB的解析式为y＝－x＋5.
设P(x，－x2＋4x＋5)．∴D(x，－x＋5)．
∴PD＝－x2＋4x＋5＋x－5＝－x2＋5x.
∵AC＝4，∴S四边形APCD＝×AC·PD＝2(－x2＋5x)＝－2x2＋10x，
∴当x＝－＝时，S四边形APCD最大＝.
(3)过点M作MH垂直于对称轴，垂足为H，
∵MN∥AE，MN＝AE，∴△HMN≌△OEA.
∴HM＝OE＝1，∴点M的横坐标为x＝3或x＝1，
当x＝1时，点M纵坐标为8；
当x＝3时，点M纵坐标为8.
∴点M的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)．
∵A(0，5)，E(－1，0)，
∴直线AE解析式为y＝5x＋5.
∵MN∥AE，∴MN的解析式为y＝5x＋b.
∵点N在抛物线对称轴x＝2上，∴N(2，10＋b)．
∵AE2＝OA2＋OE2＝26，
∵MN＝AE，∴MN2＝AE2.
∴MN2＝12＋[8－(10＋b)]2＝1＋(b＋2)2.
∵点M的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)，
∴点M1，M2关于抛物线的对称轴x＝2对称．
∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N＝M2N，
∴1＋(b＋2)2＝26.∴b＝3或b＝－7.
∴10＋b＝13或10＋b＝3.
∴当点M的坐标为(1，8)时，点N的坐标为(2，13)；
当点M的坐标为(3，8)时，点N的坐标为(2，3)．

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