余弦函数的图像与性质-教学设计.docx

余弦函数的图像与性质
【教学目标】
1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.
2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.
3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.
4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.
【知识梳理】
问题1:余弦函数的图像的作法
(1)平移法:
余弦函数y=cos x的图像可以通过将正弦曲线y=sin x的图像向 平移 个单位长度得到(如图). 

(2)五点法:
余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为 . 
问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间
(1)定义域为 ;(2)值域为 ;(3)单调增区间为 ,减区间为 .
问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心
(1)周期T= ;(2)偶函数;(3)对称轴为
(4)对称中心为 . 
问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中心和单调区间
(1)当ωx+φ=+kπ时,即 为对称中心;
(2)当ωx+φ=kπ时,即 为对称轴;
(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为 区间;当ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x属于的区间为 区间.(注:以上k∈Z)
【典型例题】
要点一余弦函数的图像及应用
例1画出y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出：
(1)y≥时x的集合；
(2)－≤y≤时x的集合．
解：用“五点法”作出y＝cos x的简图

(1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于，点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为.
当x∈R时，若y≥，
则x的集合为
(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，k∈Z，，k∈Z点和，k∈Z，)，k∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－≤y≤时x的集合为：
.
规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性．
跟踪演练1　求函数f(x)＝lg cos x＋的定义域．
解　由题意，x满足不等式组，即，作出y＝cos x的图像．
结合图像可得：
x∈∪∪.
要点二：余弦函数单调性的应用
例2求函数y＝log (cos 2x)的增区间．
解：由题意得cos 2x>0且y＝cos 2x递减．
∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ139°>136°>0°，
∴cos 139°cos 221°.
(2)cos＝cosπ＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ＝cos＝cos.
∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上递减，
∴cosπ
∴函数y＝的值域为.
规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
①sin x，cos x的有界性；②sin x，cos x的单调性；③化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)
利用|f(y)|≤1来确定；④通过换元转化为二次函数．
跟踪演练3求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．(提示：sin2α＋cos2α＝1)
解：y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1时，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.

所以ymax＝4，此时x的取值集合是
；
ymin＝－4，此时x的取值集合是.
一、选择题
1．函数y＝cosx(0≤x≤)的值域是(　　)
A．[－1,1]　 B．[，1]
C．[0，]　 D．[－1,0]
[答案]　B
[解析]　∵函数y＝cosx在[0，]上是减函数，
∴函数的值域为[cos，cos0]，即[，1]．
2．函数y＝cos2x－3cosx＋2的最小值为(　　)
A．2　 B．0
C．－　 D．6
[答案]　B
[解析]　y＝2－，当cosx＝1时，y最小＝0.
3．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图像为(　　)

[答案]　D
[解析]　y＝cosx＋|cosx|
＝，故选D.
4．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内(　　)
A．没有根　 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根　 D．有无穷多个根
[答案]　C
[解析]　在同一坐标系中作函数y＝|x|及函数y＝cosx的图像，如图所示．

发现有2个交点，所以方程|x|＝cosx有2个根．
5．已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列命题正确的是(　　)
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
[答案]　B
[解析]　由f(x＋2)＝f(x)可知T＝2，
再f(x)＝sin(πx－)－1＝－cosπx－1，
∴f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cosπx－1＝f(x)．
6．函数y＝的定义域是(　　)
A．R　
B．{x|x≠2kπ，k∈Z}
C．{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}　
D．{x|x≠，k∈Z}
[答案]　A
[解析]　要使函数有意义，则需3＋cosx>0，
又因为－1≤cosx≤1，显然3＋cosx>0，所以x∈R.
二、填空题
7．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
[答案]　(－π，0]
[解析]　∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π
[解析]　cos＝cos＝－cosπ，cos＝cos＝－cos，由y＝cosx在[0，π]上是单调递减的，所以cosπcos.
三、解答题
9．若函数f(x)＝a－bsinx的最大值为，最小值为－，求函数y＝1－acosbx的最值和周期．
[解析]　(1)当b>0时，若sinx＝－1，f(x)max＝；
若sinx＝1，f(x)min＝－，
即解得
此时b＝1>0符合题意，所以y＝1－cosx.
(2)当b＝0时，f(x)＝a，这与f(x)有最大值，最小值－矛盾，故b＝0不成立．
(3)当b<0时，显然有
解得符合题意．
所以y＝1－cos(－x)＝1－cosx.
综上可知，函数y＝1－cosx的最大值为，最小值为，周期为2π.

一、选择题
1．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是(　　)
A．cos0cos>cos1>cos30°>cosπ
D．cos0>cos>cos30°>cos1>cosπ
[答案]　D
[解析]　在[0，]上，0<<<1，又余弦函数在[0，]上是减少的，所以cos0>cos>cos>cos1>0.
又cosπ<0，所以cos0>cos>cos>cos1>cosπ.
2．函数f(x)＝－xcosx的部分图像是(　　)

[答案]　D
[解析]　由f(x)＝－xcosx是奇函数，可排除A，C.令x＝，则f()＝－cos＝－<0.故答案选D.
二、填空题
3．若cosx＝，且x∈R，则m的取值范围是________．
[答案]　(－∞，－3]∪
[解析]　∵＝|cosx|≤1，
∴|2m－1|≤|3m＋2
∴(2m－1)2≤(3m＋2)2.∴m≤－3，或m≥－.
∴m∈(－∞，－3]∪.
4．设f(x)的定义域为R，最小正周期为.若f(x)＝则f＝________.
[答案]　
[解析]　∵T＝，∴kT＝k·(k∈Z)都是y＝f(x)的周期，
∴f＝f＝f
＝sin＝sin＝.
三、解答题
5．利用余弦函数的单调性，比较cos(－)与cos(－)的大小．
[分析]　利用诱导公式化为[0，π]上的余弦值，再比较大小．
[解析]　cos(－)＝cos＝cos，
cos(－)＝cos＝cos.
因为0<<<π，且函数y＝cosx，x∈[0，π]是减函数，所以cos>cos，
即cos(－)0，
∴x∈R.
∴y＝的定义域为R.
(2)要使函数有意义，只要
即
由下图可得

cosx≤的解集为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．sinx>的解集为{x|＋2kπ