一个数的原码-反码-补码？？.doc

基本概念
在计算机内部表示二进制数的方法称为数值编码，把一个数及其符号在机器中的表示加以数值化，称为机器数。机器数所代表的数称为数的真值。 表示一个机器数，应考虑以下三个因素：
1．机器数的范围
字长为8位，无符号整数的最大值是（11111111）B=（255）D，此时机器数的范围是0~255。
字长为16位，无符号整数的最大值是
（1111111111111111）B=（FFFF）H=（65535）D 此时机器数的范围是0~65535。
2．机器数的符号
在算术运算中，数据是有正有负的，将这类数据称为带符号数。
为了在计算机中正确地表示带符号数，通常规定每个字长的最高位为符号位，并用0表示正数，用1表示负数。
3．机器数中小数点的位置
在机器中，小数点的位置通常有两种约定：
一种规定小数点的位置固定不变，这时的机器数称为“定点数”。
另一种规定小数点的位置可以浮动，这时的机器数称为“浮点数”。
4．原码
正数的符号位为0，负数的符号位为1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的就是数的原码。
【例1】当机器字长为8位二进制数时：
X＝＋1011011 [X]原码＝01011011
Y＝—1011011 [Y]原码＝11011011
[＋1]原码＝00000001 [－1]原码＝10000001
[＋127]原码＝01111111 [－127]原码＝11111111
原码表示的整数范围是：
－（2n-1－1）~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。
则：8位二进制原码表示的整数范围是－127~＋127
16位二进制原码表示的整数范围是－32767~＋32767
5．反码
对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。【例2.14】当机器字长为8位二进制数时：
X＝＋1011011 [X]原码＝01011011 [X]反码＝01011011
Y＝－1011011 [Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100
[＋1]反码＝00000001 [－1]反码＝11111110
[＋127]反码＝01111111 [－127]反码＝10000000
负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。 反码表示的整数范围与原码相同。
6．补码
正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。

【例2】（1）X＝＋1011011 （2） Y＝－1011011
（1）根据定义有： [X]原码＝01011011 [X]补码＝01011011
（2） 根据定义有： [Y]原码＝11011011 [Y]反码＝10100100
[Y]补码＝10100101
补码表示的整数范围是－2n-1~＋（2n-1－1），其中n为机器字长。
则：8位二进制补码表示的整数范围是－128~＋127
16位二进制补码表示的整数范围是－32768~＋32767
当运算结果超出这个范围时，就不能正确表示数了，此时称为溢出。
7．补码与真值之间的转换
正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将负数补码按位求反，末位加1，即可得到该负数补码对应的真值的绝对值。

【例3】[X]补码＝01011001B，[X]补码＝11011001B，分别求其真值X。
（1）[X]补码代表的数是正数，其真值：
X＝＋1011001B
＝＋（1×26＋1×24＋1×23＋1×20）
＝＋（64＋16＋8＋1）
＝＋（89）D
（2）[X]补码代表的数是负数，则真值：
X＝－（[1011001]求反＋1）B
＝－（0100110＋1）B
＝－（0100111）B
＝－（1×25＋1×22＋1×21＋1×20）
＝－（32＋4＋2＋1）
＝－（39）D

数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚."(摘自<<数学发展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制(2 4)和八进制(23).下面进入正题.

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为

(-127~-0 +0~127)共256个.

有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算:

( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10

(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题.

( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正确

问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大).

于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:

(-128~0~127)共256个.

注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下:

( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10

(00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = ( 0 ) 正确

( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

(00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111)补 = ( -1 ) 正确

所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.

⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。

原码就是这个数本身的二进制形式。
例如
0000001 就是+1
1000001 就是-1

正数的反码和补码都是和原码相同。

负数的反码是将其原码除符号位之外的各位求反
[-3]反=[10000011]反=11111100
负数的补码是将其原码除符号位之外的各位求反之后在末位再加1。
[-3]补=[10000011]补=11111101
一个数和它的补码是可逆的。

为什么要设立补码呢？

第一是为了能让计算机执行减法：
[a-b]补=a补+（-b）补

第二个原因是为了统一正0和负0
正零：00000000
负零：10000000
这两个数其实都是0，但他们的原码却有不同的表示。
但是他们的补码是一样的，都是00000000
特别注意，如果+1之后有进位的，要一直往前进位，包括符号位！（这和反码是不同的！）
[10000000]补
=[10000000]反+1
=11111111+1
=(1)00000000
=00000000(最高位溢出了，符号位变成了0）

有人会问
10000000这个补码表示的哪个数的补码呢？
其实这是一个规定，这个数表示的是-128
所以n位补码能表示的范围是
-2^(n-1)到2^(n-1)-1
比n位原码能表示的数多一个

又例：
1011
原码：01011
反码：01011 //正数时，反码＝原码
补码：01011 //正数时，补码＝原码

-1011
原码：11011
反码：10100 //负数时，反码为原码取反
补码：10101 //负数时，补码为原码取反＋1

0．1101
原码：0.1101
反码：0.1101 //正数时，反码＝原码
补码：0.1101 //正数时，补码＝原码

-0．1101
原码：1.1101
反码：1.0010 //负数时，反码为原码取反
补码：1.0011 //负数时，补码为原码取反＋1

总结：
在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码

所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。

反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。

补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。

1、原码、反码和补码的表示方法

（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。

例如： 符号位 数值位

[+7]原= 0 0000111 B

[-7]原= 1 0000111 B

注意：a. 数0的原码有两种形式：

[+0]原=00000000B [-0]原=10000000B

b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127

2）反码：

正数：正数的反码与原码相同。

负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。

例如： 符号位 数值位

[+7]反= 0 0000111 B

[-7]反= 1 1111000 B

注意：a. 数0的反码也有两种形式，即

[+0]反=00000000B

[- 0]反=11111111B

b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127

3）补码的表示方法

1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-1012=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。

同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”

2）补码的表示： 正数：正数的补码和原码相同。

负数：负数的补码则是符号位为“1”，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。

例如： 符号位 数值位

[+7]补= 0 0000111 B

[-7]补= 1 1111001 B

补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：

a.采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。

b.与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。

c.若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。