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交换的帕累托最优条件
本节先讨论交换的最优条件。
首先还是考虑两种既定数量的产品在两个单个消费者之间的分配问题，然后将所得的结论推广到一般情况。
假定两种产品分别为X和y，其既定数量为和。两个消费者分别为A和B.

图 交换的帕累托最优
下面用一种叫做埃奇渥斯盒状图的工具来分析这两种产品在两个消费者之间的分配。参见图 交换的帕累托最优。盒子的水平长度表示整个经济中第一种产品X的数量，盒子的垂直高度表示第二种产品y的数量.为第一个消费者A的原点，为第二个消费者B的原点。从水平向右测量消费者A对第一种商品X的消费量，垂直向上测量它对第二种商品Y的消费量；从水平向左测量消费者B对第一种商品X的消费量，垂直向下测量它对第二种商品Y的消费量。
现在考虑盒中的任意一点，如a。a对应于消费者A的消费量(，)和消费者B的消费量(，)。下式成立：
（1）
换句话说，盒中任意一点确定了—套数量，表示每一个消费者对每一种商品1的消费，且满足(1)式。因此，盒子(包括边界)确定了两种物品在两个消费者I之间的所有可能的分配情况。特别是．在盒子的垂直边上的任意一点，表明某个I消费者不消费X，在盒子的水平边上的任意—点，表明某个消费者不消费。
现在的问题是，在埃奇渥斯盒中的全部可能的产品分配状态之中，哪一些是帕累托最优状态呢?为了分析这一点，需要在埃奇渥斯盒状图中加入消费者偏好的信息，即加入每个消费者的无差异曲线。由于是消费者A的原点，故A的无差异曲线向右下方倾斜且向点凸出。图中、 和、是消费者A的三条代表性无差异曲线。其中，表较高的效用水平，而代表较低的效用水平。一般来说，从点向右移动，标志着消费者A的效用水平增加。另一方面，由于是消费者B的原点，故B的无差异曲线向右下方倾斜，且向点凸出。图中， 、 和是消费者B的三条代表性无差异曲线。其中值得注意的是代表较高的效用水平，而代表较低的效用。一般说来，从点向左移动，标志着消费者B的效用水平增加。
现在在埃奇渥斯盒状图中任选一点表示两种商品在两个消费者之间的一个原始分配。例如，选择一点a。由于假定效用函数是连续的，故点a必然处于消费者A的某条无差异曲线上，同时也处于消费者B的某条无差异曲线上，即消费者A和B分别有一条无差异曲线经过a点。因此，这两条无差异曲线或者在a点相交，或者在a点相切。假定两条无差异曲线在a点相交(如图 交换的帕累托最优所示点a是无差异曲线和的交点)。容易看出．a点不可能是帕累托最优状态。这是因为，通过改变该初始分配状态。例如从a点变动到b点，则消费者叫的效用水平从无差异曲线提高到，而消费者B的效用水平并未变化，然停留在无差异曲线上。因此，在点a仍然存在帕累托改进的余地。当然在点a，还存在其他形式的帕累托改进。例如,从a点变动到d点，则消费者A的效用水平不变，它仍然在无差异曲线上，但消费者B的效用水平却得到了提高：从无差异曲线提高到。而如果让a点变动到d点，则消费者A叫B的效用水平均会提高。由此得到结论：在交换的埃奇渥斯盒状图中。任意一点，如果它处在消费者A和B的两条无差异曲线的交点上，则它就不是帕累托最优状态，因为在这种情况下，总存在帕累托改进的余地，即总可以改变该状态，使至少有一个人的状况变好而没有人的状况变坏。
另一方面,如果假定初始的产品分配状态处于两条无差异曲线的切点．如点c上，则容易看出，此时不存在任何帕累托改进的余地．即它们均为帕累托最优状态。改变c点状态只有如下几种可能：向右上方移到消费者A较高的无差异曲线上，则A的效用水平提高了，但消费者B的效用水平却下降了：向左下方移到消费者B的较高的无差异曲线上，则B的效用水平提高了，但消费者A的效用水平却下降了；剩下来的惟一一种可能则是消费者A和B的效用水平都降低。例如，从c点移到g点或f点．此种情况。由此可得结论：在交换的埃奇渥斯盒状图中，任意一点，如果它处在消费者A和B的两条差异曲线的切点上，则它就是帕累托最优状态，并称之为交换的帕累托最优状态。在这种情况下，不存在有帕累托改进的余地，即任何改变都不能使至少一个人的状况变好而没有人的状况变坏。
无差异曲线的切点不只是点c一个。点b和点e以及其他许多未在图 交换的帕累托最优中画出的点也都是无差异曲线的切点，从而都代表帕累托最优状态。所有无差异曲线的切点的轨迹构成曲线VV′，叫做交换的契约曲线(或效率曲线)，它表示两种产品在两个消费者之间的所有最优分配(即帕累托最优态)的集合。
应当指出，在交换的帕累托最优集合。即在交换的契约曲线VV′上，两个消费者的福利分配具有不同的情况。当我们沿着VV′，曲线从e点移到c点时，消费者A通过牺牲消费者B的利益而好起来；反之亦然。根据帕累托标准，我们不能说VV′曲线上的任何点比曲线L的其他点要更好一些。例如，们不能说点c比点e代表更好的分配。根据帕累托标准，它们是不可比较的．因为从点e移到点c(或者相反)使一个人的状况变好，却使另一个人的状况变坏。我们所能够说的仅仅是，给定任何不在线VV上的点，总存在比它更好的点，而这些点在曲线VV′上。
如果社会具有明显的关于福利分配的偏好。例如，假设经济处于点e，而社会宁愿以牺牲消费者B的利益使消费者A更好一些，比如说，宁愿要点c而非点e，则根据这个分配偏好，社会将使经济沿着曲线VV′，从点e移到点c。这是从帕累托最优状态集合中，根据社会的分配偏好选择其中的某些状态。
从交换的帕累托最优状态可以得到交换的帕累托最优条件。我们知道，交换的帕累托最优状态无差异曲线的切点，而尤差异曲线的切点的条件是在该点上两条无差异曲线的斜率相等。本书第二第二节已经说明：无差异曲线的斜率的绝对值又叫做两种商品的边际替代率(更准确地说，是商品X代替商品Y的边际替代率)。因此，交换的帕累托最优状态的条件可以用边际替代率的术语来表时：要使两种商品X和Y在两个消费者A和B之间的分配达到帕累托最优状态，则对于这两个消费者来说，这两种商品的边际替代率必须相等。如设对于消费者A和B来说，X代替Y的边际替代率分别用．MIR和MR来表示．则交换的帕累托最优状态条件的公式就是：
(2)
为了说明上面的边际条件，可以举一个数字的例子来帮助加深理解。假定在初始的分配中，消费者A的边际替代率MRy等于3。消费者B的边际替代率MR等于5。这意味着A愿意放弃l单位的x来交换不少于3单位的Y。因此，A若能用1单位X交换到3单位以上的Y就增加了自己的福利；另一方面，B愿意放弃不多于5单位的Y来交换1单位的X。因此，B若能用5单位以下的Y交换到1单位的X就增进了自己的福利。由此可见，如果消费者A用l单位X交换4单位的Y，而费者B用4单位Y交换l单位X，则他们两个人的福利都得到了提高。只要两个消费者的边际替代率不相等，上述这种重新分配(使某些消费者好起来而不使其他消费者坏下去)就总是可能的，就总存在有帕累托改进的余地。换句话说，当边际替代率不相等时，产品的分配末达到帕累托最优。