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数学概念教学的有效性探究
夸美纽斯在《大教学论》中指出“如果先不教明概念，便是教得不好”。 学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能掌握各种法则、定理、公式，更不能正确地进行计算和论证。因此概念教学的有效性，对于提高数学教学质量具有重要意义。
要想让学生深刻理解概念，就应该让学生去探索、实践，亲身体验知识的发生和发展过程。但我们的课堂教学“一个定义，三个注意事项”式的概念教学比比皆是，概念教学忌“高起点、大容量、快推进”的教学模式，忽略了知识的发生、发展的过程，以腾出更多的时间对学生进行反复的训练，无形中增加学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。如何提高概念教学的有效性？笔者将试着从以下几个方面进行探究。
一、 合理引入新概念
数学概念的获得有两种主要方式：一种是学生由大量的同类事物的不同例证中，独立发现同类事物的关键特征，这种获得方式，在心理学上称为概念形成；另一种是直接向学生展示定义，利用原有认知结构中有关知识理解新概念，这种获得概念的方式，心理学中称为概念同化。
概念形成要求学生由具体事实概括出新概念，这就需要从大量具体例子出发，利用学生在实际经验中生动事例，以归纳的方式概括出一类事物的本质属性，初步形成一个新概念。例如，增函数和减函数概念的教学，可以引导学生，通过对若干熟悉的函数在不同的区间内自变量变化引起的函数值的变化的观察，使学生对“函数值随自变量的增大而增大”和“函数值随自变量的减小而减小”有直观、感性的认识，再引导学生通过分析，准确把握在“给定区间”“函数值随自变量的增大而增大”“函数值随自变量的减小而减小”的涵义，并能用符号语言表示，进一步概括得出增函数和减函数的定义。
概念同化要求学生利用旧知识导出新概念，即利用认知结构中的有关概念来学习。例如，任意角的三角函数概念的本质是什么呢？当角固定后，若以它的顶点为原点，以角的始边为轴，建立平面直角坐标系，则无论我们在角的终边上如何取一点，总有比值是三个定值，这三个定值不随点的变化而变化，这就是任意角的三角函数概念的本质。事实上，初中学习的锐角三角函数的本质也在于此：当锐角固定后，我们以角的两边为边可以构造出无数个直角三角形，但无论我们怎样构造直角三角形，总有比值为三个定值，这就是锐角三角函数概念的本质。因此，在本节课要设计好两个活动：一是回顾反思活动，即通过回顾锐角三角函数的概念，引导学生反思其本质，从而为新概念的学习作铺垫；二是概念的同化过程，即引导学生在平面直角坐标系中发现和揭示任意角中所隐含的“比值不变”规律（即概念的本质），从而为概念的形成创造“水到渠成”的条件。
二、 注重概念的内涵和外延
任何一个数学概念都有它自身的内涵和外延，内涵是指概念所包括的某对象的一切基本属性的总和，外延是指符合于某一概念的一切对象。给概念下定义要借助文字语言或者符号语言来表达。概念定义里有些词语是理解定义的关键，剖析概念就要抓住关键词语深入分析，准确把握，避免产生歧义，才能深刻理解概念。如，异面直线的定义“不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线”。其中，“任何”相当于“所有的”，教师在教学时应引导学生注意这一关键词语，不能理解为“不同在某一平面内的两条直线就是异面直线”，或者“在两个平面内的两条直线就是异面直线”。
概念定义里有些式子或符号也是理解定义的关键。例如，椭圆定义式，学生常常笼统地记为。为了帮助学生准确把握定义的内涵，教学时可以设计问题链，让学生讨论：
① 当时，点P的轨迹是什么?
② 当时，点P的轨迹是什么?
③ 当时，点P的轨迹是什么?
第一种轨迹不存在；第二种，轨迹是一条线段；第三种才是椭圆，这样就有效的加深了学生对椭圆概念中“”这一条件的理解。
三、 恰当安排正例和反例
“一个好例子胜过一千条说教”。让学生在对概念的正例、反例作判断的过程中，更准确地把握概念。恰当运用正面实例，让学生通过观察形成正确、鲜明的表象，通过分析把握概念的本质属性和非本质属性，从而剔除概念的非本质属性，抽象出本质性质，概括形成概念；同时，通过反例让学生从另一个角度理解数学概念的本质，弥补正面教学的不足，从而加深学生对概念的理解，进一步明晰概念的外延，更好甄别给定对象是否属于该概念。这里“恰当”既有质的考量，又有量的把握。首先，所选实例要有代表性，能够反映概念的属性（尤其是本质属性）；其次，数量要足够，但并非越多越好，太多反而冲淡了主题。如，教学偶函数时，可以通过反例让学生判别，以防止只考虑表达式而忽略定义域的错误。
四、 让学生在概念的系统中掌握概念
张奠宙先生在《数学教育学》中写到：“每一个数学概念从本质上说都是嵌进了一些数学概念的体系中。它从一些基础数学概念中得来，又为建立别的数学概念作基础。因此，它总是数学概念结构层次中的一个成分，与其他数学概念存在着包含、从属或并列关系 。一个数学概念体系，又有一种整体的性质。因此，对于数学概念的理解，从心理学上可解释为 要求能将它同化到一个适当的概念结构中去。即不仅需要懂得本身的规定，而且要从它与其他数学概念的关系中去理解。”因此在概念教学中，让学生理解数学概念间所具有的逻辑联系性也是提高概念教学的有效性的一个重要步骤。
例如在立体几何教学内容中，有关角的概念非常多，学生往往容易混淆，为此在讲完二面角后对角的概念进行整理和复习，使概念系统化。通过对平面角、异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、二面角的平面角这些概念的类比联系，使学生进一步认识到空间异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角都是在“平面角”概念的基础上发展和推广的，同时，这些空间中的角又都是转化为平面角来表示和计算的，进而揭示了从平面到空间，再由空间到平面的转化思想，使学生头脑中形成较系统的“角体系”，这样不但可使学生的知识概念网络化，而且也培养了学生思维的广阔性。
学生的学习总是从具体的孤立的概念开始到概念的整个体系。在学习具体的孤立的概念时，不会很深刻地认识到这些概念的本质，只有从整个知识体系中才有可能更深刻地理解它们，知道它们在整个体系中的地位和作用。
综上所述，数学概念的有效教学并非一蹴而就的，它是多个环节共同作用的结果。同时，在追求教学的有效性的过程中，始终都要注意学生的有效参与。