常微分方程期末综合练习参考解答.doc

常微分方程”课程综合练习参考解答

一、填空题
1．满足的条形区域
2．全平面
3． ，（或不含x 轴的上半平面）
4．
5．充分
6．
7．
8．，
9．
10．2
11．必要
12．
13．
14．
15．
16．恒等于零
17．线性无关
18．稳定焦点
19．不稳定结点
20．
21．，
22．齐次
23．
24．
25．不能
26．相切
27．满足的平面区域
28．任何一点不为零
29．n+1
30．
31．线性无关

二、单项选择题
1．C 2．D 3． B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．A 9．C 10．C 11．B 12．C 13．D 14．C 15．A 16．A 17．B 18．D 19．C 20．A 21．D 22．B 23．C 24．C 25．C 26．A 27．D 28．D 29．A 30．B 31．B 32．B

三、计算题(求下列方程的通解或通积分)
1．解 齐次方程的通解为：
设原方程的通解为：
代入原方程，得
所以，原方程的通解为：
2．解 将方程改写为
令，则代入上式得
……
分离变量积分得
原方程的通积分为： …
3．解 分离变量积分，得

4．解 ，

因此，原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为

或
即
5．解 因为，所以原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为

即
6．解 因为，所以原方程是全微分方程．
取，原方程的通积分为

即
7． 解 令，则，原方程的参数形式为

由，有
积分有：
得原方程参数形式通解

8．解 方程改写成
即
有
积分，得通积分：
9．解 积分因子为
原方程的通积分为：
即
10．解 原方程是恰当导数方程，可写成
即
分离变量解此方程，通积分为

11．解 特征方程

特征根
对应的特征向量为
对应的特征向量为
原方程的通解为：
12．解 特征方程

特征根为 。
和对应的特征向量分别是和
原方程组的通解是：
13．解 特征方程为

特征根
对应的特征向量为
对应的特征向量为
原方程组的通解为：
14．解 特征方程为

特征根
对应的特征向量分别为和
原方程组的通解为：
15．解 对应齐次方程的特征方程是

特征根为，齐次方程的通解为

因为是一重特征根．故非齐次方程有形如

的特解，代入原方程，得 ，
故原方程的通解为
16．解 对应齐次方程的特征方程为

特征根为 ，故齐次方程的通解为

由于是一重特征根，故原方程有形如为

的特解，代入原方程，得 ，
所以，原方程的通解为

17．解 先求出齐次方程的通解为：
令非齐次方程的特解为：
满足方程组

解出 ，
，
原方程的通解为：
18．解 对应齐次方程的特征方程为，
特征根为，，
齐次方程的通解为
因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

代入原方程，比较系数确定出
，，
原方程的通解为：
19．解：将原方程整理为 ，
分离变量，得
等号两边积分

通积分为
20．解：将原方程分离变量，得

等号两边积分
通积分为
21．解：将方程整理为齐次方程
令 ，则，代入原方程有：
分离变量，得
积分得：，
原方程的通积分为：
22．解：令，则

当时
等号两边积分

23．解：
令 ，则
代入方程得

所以
24．解：令，则
代入方程得
即
再令，则得

所以
25．解：因为
所以原方程为全微分方程．取，，于是通积分为

即
26．解：积分因子， 则

为全微分方程．取，，于是通积分为

即
27．解：因为 ，取，，于是通积分为

即

28．解：原方程是克莱洛方程，通解是

29．解：原方程对应的齐次方程的特征方程为
特征根为 ，故齐次通解是

由于 是特征根，故原方程有形如

的特解．代入原方程，确定出
，
所求通解为

30．解：原方程对应的齐次方程的特征方程为 ，
特征根为 ，故齐次方程的通解为

设原方程的一个特解为，代入原方程得

比较系数得，解得，，．
由此得原方程的通解为

31．解： 特征方程为

即
特征根为 ，
对应特征向量应满足

可确定出

同样可算出对应的特征向量为

所以，原方程组的通解为

32．解：特征方程为
特征根为

满足

解得
取 ，则 ．
于是

四、证明题
1．证明 由已知条件满足方程

这里 。 而该方程过的任一解为

于是

2．证明 方程在全平面上满足解的存在惟一性定理的条件，又是方程的常数解．
对平面上任取的，若则对应的是常数解其存在区间显然是，若)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在区间必是．
3．证明 因为，，由已知条件，方程在全平面上满足解的存在惟一性定理的条件．
又显然，是方程的一个常值解，且满足初值条件．
因此，由解的惟一性，若函数是该方程满足的解，那么．
4．证明 先求出原方程的通解表达式为

再取 ，此广义积分由在区间上连续有界而保证收敛．下面往证取此常数的解在上有界．
不妨设，．取的解为

于是
即 ，．
5．证明 由已知条件知方程存在零解．
该方程满足解的存在惟一性定理条件．
设是方程的一个非零解，假如它满足
，，
由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，这与是非零解矛盾．
6．证明 先证必要性
若是周期解，则有在上成立，令有必要性得证。
再证充分性
设，在恒等式

中令，并由有

可知也是方程的解，并且有

于是，由解的唯一性有成立．
7．证明 原方程的特征方程为

特征根为

显然，当时，特征根只有3种：
（1）两个相异实根且
（2）二重实根，且；
（3）一对共轨复根，，．
此时，通解分别为

于是 ．
8．证明 令是非零解，
由已知条件在存在．

因为为非零解，因此不能同时为零，又,于是．为上严格单调递增函数．
9．证明 先求出齐次方程的特征根为，故齐次方程的通解为

令非齐次方程特解为：
满足

解出 ，
，
原方程的通解为
-+
或写成
+
当，分子中的广义积分时，由洛比达法则，有
+
= =0
当，分子中的广义积分为有界时，显然有：
10．证明 先求齐次方程通解为：
令非齐次方程特解为：
满足

解出 ，
，
原方程的通解为
+
若 ，，则由洛比达法则，有
+-
= 0
若 ，，则显然有

11．证：如果和是二阶线性齐次方程

的解，那么由刘维尔公式有
现在，故有
12．证：已知，在点取局部极值，即
==0
若，是基本解组，则当且仅当
，
而
因此，，不能构成基本解组．
13．证：假设方程过有两个相异解，，且当时，．
令，则有
， （2）
但

这表明在上单调不增，而从（2）式可知，这一矛盾说明假设错误，命题的结论是正确的。
14．证：方程在全平面上满足解的存在惟一及延展定理条件．
都是解，且都是在上有定义的常数解．
对任意的平面，其中
，
当时，由解的惟一性和延展定理知，对应初值解在上有定义，又，故它是单调递减函数．
同理，当时，对应初值解在上有定义，且它是单调递增函数．

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