七年级上册期末专练——一元一次方程答案版.docx

期末专题 一元一次方程

第一部分：选择题（共 22 道）

第 18 页（共 18 页）

1. 下列等式变形正确的是( ) A．如果 m = n ，那么m - 2 = n - 2 C．如果ax = ay ，那么 x = y

B．如果- 1 x = 10 ，那么 x = -5
2
D．如果 m = n ，那么m = n

【考点】等式的性质；绝对值
【分析】根据等式的性质和绝对值的性质解答即可．
【解答】解： A 、如果m = n ，那么m - 2 = n - 2 ，原变形正确，故此选项符合题意；
B 、如果- 1 x = 10 ，那么 x = -20 原变形错误，故此选项不符合题意；
2
C 、如果ax = ay ， a ¹ 0 ，那么 x = y ，原变形错误，故此选项不符合题意； D 、如果 m = n ，那么m = n 或m = -n ，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选： A ．

2. 下列结论错误的是( )

A. 若 a = b ，则a - c = b - c B．若 x = 2 ，则 x2 = 2x

C．若a = b ，则
a =
c2 +1
b c2 +1
D．若ax = bx ，则a = b

【考点】等式的性质
【分析】根据等式的基本性质可判断出选项正确与否．
【解答】解： A 、根据等式性质 1，等式两边都减c ，即可得到a - c = b - c ，原变形正确，故此选项不符合题意；
B 、根据等式性质 2，等式两边都乘 x ，即可得到 x2 = 2x ，原变形正确，故此选项不符合题意；

C 、根据等式性质 2，等式两边都除以不等于 0 的数(c2 +1) ，即可得到

变形正确，故此选项不符合题意；
a =
c2 +1
b ，原
c2 +1

D 、根据等式性质 2，两边都除以 x 时，需 x ¹ 0 才可得到a = b ，原变形错误，故此选项符合题意；
故选： D ．

3. x 、 y 、c 是有理数，则下列判断错误的是( )

A. 若 x = y ，则 x + 2c = y + 2c
C．若 x = y ，则 x = y
c c
【考点】等式的性质
【分析】根据等式的性质一一判断即可．
B. 若 x = y ，则a - cx = a - cy
D．若 x = y ，则 x = y
c c

【解答】解： A 、根据等式的性质 1 可得出，若 x = y ，则 x + 2c = y + 2c ，原变形正确，故此选项不符合题意；
B 、根据等式的性质 1 和 2 得出，若 x = y ，
C 、由 x = y 得出 x = y 必须c ¹ 0 ，当c = 0 时不成立，故本选项符合题意；
c c
D 、根据等式的性质 2 可得出，若 x = y ，则 x = y ，原变形正确，故此选项不符合题意；
c c
故选： C ．

4．下列各式中：① x = 0 ；② 2x > 3 ；③ x2 + x - 2 = 0 ；④ y + 2 = 0 ；⑤ 3x - 2 ；⑥ x = x -1 ；⑦ x - y = 0 ；
x

⑧ xy = 4 ，是方程的有( )

A.3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
【考点】方程的定义
【分析】方程就是含有未知数的等式，据次定义可得出正确答案．
【解答】解：（1根据方程的定义可得①③④⑦⑧是方程；
（2） ② 2x > 3 是不等式，不是方程；
（3） ⑤ 3x - 2 不是等式，就不是方程．
（4）⑥ x = x -1 ，是方程， 故有 6 个式子是方程．
故选： D ．

5．对| x -1| +4 = 5 ，下列说法正确的是( )

A．不是方程 B．是方程，其解为 0
C．是方程，其解为 4 D．是方程，其解为 0、2
【考点】方程的定义；方程的解
【分析】根据方程的定义，可得答案．

【解答】解：对| x -1| +4 = 5 是方程，其解为 0、2， 故选： D ．

6．若方程2x - kx + 1 = 5x - 2 的解为-1，则k 的值为( )

A．10 B． -4
【考点】方程的解
C． -6
D． -8

【分析】把 x = -1 代入已知方程，列出关于k 的新方程，通过解新方程来求k 的值．
【解答】解：依题意，得

2 ´ (-1) - (-1)k + 1 = 5 ´ (-1) - 2 ，即-1 + k = -7 ， 解得， k = -6 ．
故选： C ．

7．下列方程：① y = x - 7 ；② 2x2 - x = 6 ；③ 2 m - 5 = m ；④ 2 = 1 ；⑤ x - 3 = 1，其中是一元一次方程

3 x -1 2
的有( )

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．以上答案都不对
【考点】一元一次方程的定义
【分析】根据一元一次方程的定义，依次分析①②③④⑤，选出符合一元一次方程的定义的序号，即可得到答案．
【解答】解：①不符合一元一次方程的定义，①不是一元一次方程，
②属于一元二次方程，不符合一元一次方程的定义，②不是一元一次方程，
③符合一元一次方程的定义，③是一元一次方程，
④属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，④不是一元一次方程，
⑤符合一元一次方程的定义，⑤是一元一次方程，

即是一元一次方程的是③⑤，共 2 个， 故选： A ．

8. 已知关于 x 的方程(m - 2)x|m-1| = 0 是一元一次方程，则m 的值是( )

A．2 B．0 C．1 D．0 或 2
【考点】绝对值；一元一次方程的定义
【分析】根据一元一次方程的定义，得到关于 m - 1 的绝对值的方程，利用绝对值的定义，解之，把m
的值代入m - 2 ，根据是否为 0，即可得到答案．
【解答】解：根据题意得： | m - 1|= 1，

整理得： m - 1 = 1 或m -1 = -1， 解得： m = 2 或 0，
把m = 2 代入m - 2 得： 2 - 2 = 0 （不合题意，舍去），把m 0 代入m - 2 得： 0 - 2 = -2 （符合题意），
即m 的值是 0， 故选： B ．

9. 关于 x 的方程3 - 3a - x = 0 与方程2x - 5 = 1 的解相同，则常数a 是( )
2

A．2 B． -2
【考点】同解方程
C．3 D． -3

【分析】求出第二个方程的解，代入第一个方程计算即可求出a 的值．
【解答】解：方程2x - 5 = 1 ，
移项得： 2x = 1 + 5 ， 合并得： 2x = 6 ， 解得： x = 3 ，
把 x = 3 代入得： 3 - 3a - 3 = 0 ，
2
去分母得 6 - 3a + 3 = 0 ， 解得： a = 3 ．
故选： C ．

10. 阅读：关于 x 方程ax = b 在不同的条件下解的情况如下：（1）当a ¹ 0 时，有唯一解 x = b ；（2）
a
a = 0 ，b = 0 时有无数解；（3）当a = 0 ，b ¹ 0 时无解．请你根据以上知识作答：已知关于 x 的方
程 x × a = x - 1 (x - 6) 无解，则a 的值是( )
3 2 6

A．1 B． -1
【考点】一元一次方程的解
C． ±1
D． a ¹ 1

【分析】要把原方程变形化简后再讨论没有解时a 的值应该是什么．
【解答】解：去分母得： 2ax = 3x - (x - 6) ，
去括号得： 2ax = 2x + 6

移项，合并得， x =
因为无解；
3 ，
a -1

所以a -1 = 0 ，即a =1． 故选： A ．

11. 若关于 x 的方程a- | x |= 0 有两个解， b- | x |= 0 只有一个解， c- | x |= 0 无解，则a 、b 、c 的关系是( )

A. a < b < c
B. a < c < b
C． b < c < a
D． c < b < a

【考点】含绝对值符号的一元一次方程
【分析】根据绝对值的意义即可得a 、b 、c 的关系．
【解答】解： 关于 x 的方程a- | x |= 0 有两个解，\ a > 0 ，

b- | x |=
0 只有一个解，\b = 0 ，

c- | x |=
0 无解，\c < 0 ，

则a 、b 、c 的关系是c < b < a ． 故选： D ．

12．若| 2x - 3 | -3 + 2x = 0 ，则代数式2x - 5 的绝对值等于( )

A. 2x - 5
B. 5 - 2x
C. -2
D. -5

【考点】含绝对值符号的一元一次方程

【分析】根据已知得出| 2x - 3 |= 3 - 2x ，求出2x - 3 0 ，求出 x 的范围，根据 x 的范围确定2x - 5 < 0 ， 根据负数的绝对值等于它的相反数求出即可．
【解答】解： | 2x - 3 | -3 + 2x = 0 ，\| 2x - 3 |= 3 - 2x ，

即一个数的绝对值等于它的相反数，\ 2x - 3 0 ，
即 x 3 ，\ 2x - 5 3 - 5 = -2 < 0 ，\| 2x - 5 |= -(2x - 5) = 5 - 2x ．
2
故选： B ．

13. 已知关于 x 方程 x - 4 - ax = x + a -1 的解是非正整数，则符合条件的所有整数a 的和是( )
6 3

A. -4
【考点】一元一次方程的解
B. -3
C．2 D．3

【分析】先用含 a 的式子表示出原方程的解，再根据解为非正整数，可求得 a 的值，则符合条件的所有整数a 的和可求．
【解答】解： x - 4 - ax = x + a -1 ，
6 3
6x - (4 - ax) = 2(x + a) - 6 6x - 4 + ax = 2x + 2a - 6 6x + ax - 2x = 2a - 6 + 4 (a + 4)x = 2a - 2
x = 2a - 2 ，
a + 4
方程的解是非正整数，\ 2a - 2 0 ，解得： -4 < a 1，
a + 4
当a = -3 时， x = -8 ；当a = -2 时， x = -3 ；当a = -1 时， x =- 4 （舍去）；
3
当a = 0 时， x =- 1 （舍去）；当a = 1时， x = 0 ；
2
则符合条件的所有整数a 的和是-3 - 2 + 1 = -4 ． 故选： A ．

b
ì2a - b, a
í
14. 现定义运算“* ”，对于任意有理数a ， b 满足a * b = ï
î
ïa - 2b, a < b
1 *1 = 1 - 2 ´1 = - 3 ，若 x * 3 = 5 ，则有理数 x 的值为( )
2 2 2

．如5 * 3 = 2 ´ 5 - 3 = 7 ，

A．4 B．11 C．4 或 11 D．1 或 11
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算

【分析】分 x 3 与 x < 3 两种情况求解．

【解答】解：当 x 3 ，则 x * 3 = 2x - 3 = 5 ， x = 4 ；

当 x < 3 ，则 x * 3 = x - 2 ´ 3 = 5 ， x = 11，
但11 > 3 ，这与 x < 3 矛盾，所以此种情况舍去． 即：若 x * 3 = 5 ，则有理数 x 的值为 4，
故选： A ．

15. 学校组织同学们春游，如果每辆汽车坐 45 人，则有 28 人没有座位，如果每辆坐 50 人，只有一辆车空 12 个座位无人坐，其余车辆全部坐满，设有 x 辆汽车，则可列方程( )

A． 45x + 28 = 50x -12
C． 45x - 28 = 50x -12
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
B． 45x - 28 = 50x + 12
D． 45x + 28 = 50x + 12

【分析】等量关系为： 45 ´ 汽车辆数+28 = 50 ´ 汽车辆数-12 ．依此列出方程即可求解．
【解答】解：设有 x 辆汽车，根据题意得：
45x + 28 = 50x -12 ． 故选： A ．

16. 某车间有 30 名工人，生产某种由一个螺栓两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母 16 个或螺栓
22 个，若分配 x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程正确的是( )
A． 22x = 16(30 - x) B．16x = 22(30 - x)

C． 2 ´16x = 22(30 - x) D． 2 ´ 22x = 16(30 - x)

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程

【分析】设分配 x 名工人生产螺栓，则(30 - x) 人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺母的数量= 螺栓的数量´2 ，然后再列出方程即可．
【解答】解：设分配 x 名工人生产螺栓，则(30 - x) 人生产螺母，由题意得：

2 ´ 22x = 16(30 - x) ， 故选： D ．

17. 某理财产品的年收益率为5.21% ，若张老师购买 x 万元该种理财产品，定期 2 年，则 2 年后连同本金共有 10 万元，则根据题意列方程正确的是( )
A． (1 + 5.21)x = 10 B． (1+ 5.21)2 x =10

C． (1 + 5.21%)x = 10 D． (1+ 5.21%)2 x =10

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】根据 2 年后连同本金共有 10 万元列出方程解答即可．
【解答】解：设张老师购买 x 万元该种理财产品， 可得： (1+ 5.21%)2 x =10 ，
故选： D ．

18. 船在静水中的速度为 36 千米/ 时，水流速度为 4 千米/ 时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了 9 小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为 x 千米，则下面所列方程正确的是( )
A． (36 + 4)x + (36 - 4)(9 - x) = 1 B． (36 + 4)x = 9

C． x + x = 9

D． x + x = 9

36 4
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
36 + 4 36 - 4

【分析】直接利用从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了 9 小时，进而得出等式即可．
【解答】解：设甲、乙两码头的距离为 x 千米，根据题意可得： x + x = 9 ．

36 + 4 36 - 4
故选： D ．

19．2020 年初新冠疫情肆虐，社会经济受到严重影响．地摊经济是就业岗位的重要来源．小李把一件标价 60 元的T 恤衫，按照 8 折销售仍可获利 10 元，设这件T 恤的成本为 x 元，根据题意，下面所
列的方程正确的是( )

A． 60 ´ 0.8 - x = 10
B． 60 ´ 8 - x = 10
C． 60 ´ 0.8 = x -10
D． 60 ´ 8 = x -10

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】根据售价- 成本价= 利润 10 元列方程即可．
【解答】解：设这件T 恤的成本为 x 元，根据题意，可得： 60 ´ 0.8 - x = 10 ． 故选： A ．

20. 疫情无情人有情，爱心捐款传真情．某校三个年级为疫情重灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 2 ，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款
5
1964 元，求其他两个年级的捐款数．若设七年级捐款数为 x 元，则可列方程为( )

A． x + 5 x + 1964 = 5 x
6 2
C． 2 x + 1 x +1964 = x
5 3
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
B． x + 6 x + 1964 = 5 x
5 2
D． x + 2 x +1964 = 3x
5

【分析】根据七年级的捐款为 x 元和七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 2 ，可以求得三个年级
5
的总的捐款数，然后即可得到八年级的捐款数，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
解答】解：由题意可得，七年级捐款数为 x 元，则三个年级的总的捐款数为： x ¸ 2 = 5 x ，
5 2
5 x
故八年级的捐款为： 2 = 5 x ，
3 6
则 x + 5 x + 1964 = 5 x ，
6 2
故选： A ．

21. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百二十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走 220 里，跑得慢的马每天走 140 里．慢马先走 12 天，快马几天可追上慢马？若设快马 x 天可追上慢马，则由题意，可列方程为( )

A． 220 - 140 = 12
x x
C． 220x = 140x + 140 ´12
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
B． 220 = 140 ´12
x
D．140 + 12x = 220

【分析】根据慢马和快马走的路程相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得， 220x = 140x + 140 ´12 ， 故选： C ．

22. 一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10cm2 ，请你根据图中标明的数

据，计算瓶子的容积是( )cm3 ．

A．80 B．70 C．60 D．50
【考点】一元一次方程的应用
【分析】根据瓶子及瓶子内水的容量固定可得到，瓶子的容积- 图 2 中除水外空余的容积= 图 1 中水的容积，列式即可得解．
【解答】解：设体积为v ，则v - 10 ´ 2 = 10 ´ 4 ，解得v = 60 ． 故选： C ．

第二部分：填空题（共 5 道）
23．在① 2x - 1 ；② 2x + 1 = 3x ；③| p - 3 |= p - 3 ；④ t + 1 = 3 中，等式有 ，方程

有 ．（填入式子的序号）
【考点】方程的定义
【分析】方程是含有未知数的等式，因而方程是等式，等式不一定是方程，只是含有未知数的等式是方程．
【解答】解：等式有②③④，方程有②④．故答案为：②③④，②④．

24. 小马虎在解关于 x 的方程2a - 5x = 21时，误将“ -5x ”看成了“ +5x ”，得方程的解为 x = 3 ，则原方程的解为 ．
【考点】方程的解
【分析】把 x = 3 代入2a + 5x = 21得出方程2a + 15 = 21 ，求出a = 3 ，得出原方程为6 - 5x = 21 ，求出方程的解即可．
【解答】解： 小马虎在解关于 x 的方程2 - 5x = 21 时，误将“ -5x ”看成了“ +5x ”，得方程的解为 x = 3 ，
\把 x = 3 代入2a + 5x = 21得出方程2a + 15 = 21 ，解得： a = 3 ， 即原方程为6 - 5x = 21 ，解得 x = -3 ．
故答案为： x = -3 ．

25. 若方程6x + 3 = 0 与关于 y 的方程3y + m = 15 的解互为相反数，则m = ．

【考点】一元一次方程的解
【分析】求出第一个方程的解得到 x 的值，求出相反数后代入第二个方程求出m 的值即可．
【解答】解：方程6x + 3 = 0 ，解得： x =- 1 ，
2
把 y = 1 代入3y + m = 15 得： 3 + m = 15 ，
2 2
解得： m = 27 ，
2
故答案为： 27
2

26. 一系列方程，第 1 个方程是 x + x = 3 ，解为 x = 2 ；第 2 个方程是 x + x = 5 ，解为 x = 6 ；第 3 个方程
2 2 3
是 x + x = 7 ，解为 x = 12 ； 根据规律第 10 个方程是 ，解为 ．
3 4
【考点】一元一次方程的解

【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n 个方程为 x +
n
x

(n + 1)
= 2n + 1 ，解为n(n + 1) ．然后将 10 代入

即可得到答案．
【解答】解：第 1 个方程是 x + x = 3 ，解为 x = 2 ´1 = 2 ；
2
第 2 个方程是 x + x = 5 ，解为 x = 2 ´ 3 = 6 ；
2 3
第 3 个方程是 x + x = 7 ，解为 x = 3´ 4 = 12 ；
3 4

可以发现，第n 个方程为 x +
n
x

(n + 1)
= 2n + 1 解为n(n + 1) ．

\第 10 个方程是 x + x = 21，解为： x = 10 ´11 = 110 ．
10 11
故答案为： x + x = 21； x = 110 ．
10 11

27. 已知a ， b 为定值，关于 x 的方程 kx + a = 1 - 2x + bk ，无论k 为何值它的解总是 1，则
3 6
a + b = ．

【考点】一元一次方程的解
【分析】把 x = 1 代入方程 kx + a = 1 - 2x + bk ，得： k + a = 1 - 2 + bk ，整理可得(2 + b)k + 2a - 4 = 0 ，再根据
3 6 3 6
题意可得2 + b = 0 ， 2a - 4 = 0 ，进而可得a 、b 的值，从而可得答案．
【解答】解：把 x = 1 代入方程 kx + a = 1 - 2x + bk ，得： k + a = 1 - 2 + bk ，
3 6 3 6
2(k + a) = 6 - (2 + bk ) ，

2k + 2a = 6 - 2 - bk ，
2k + bk + 2a - 4 = 0 ，

(2 + b)k + 2a - 4 = 0 ，

无论k 为何值，它的解总是 1，\ 2 + b = 0 ， 2a - 4 = 0 ， 解得： b = -2 ， a = 2 ．则a + b = 0 ．故答案为：0．

第三部分：解答题（共 9 道）
28. 已知(| m | -1)x2 - (m -1)x + 8 = 0 是关于 x 的一元一次方程，求m 的值．

【考点】一元一次方程的定义
【分析】根据一元一次方程的定义，令二次项系数等于 0，一次项系数不等于 0 列式求解即可．
【解答】解：根据题意得， | m | -1 = 0 且m - 1 ¹ 0 ，

解得m = 1或m = -1且m ¹ 1 ，\ m = -1 ． 故答案为： m = -1．

29. 解方程：
（1） 4x - 3(20 - x) + 4 = 0
（2） x - 3 - 4x +1 = 1
2 5
（3） 3x + 2 -1 = 7x - 3 + 2(x - 2) 3 5 15
（4） x + 4 - x - 3 = -1．
0.2 0.5
【考点】解一元一次方程
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解；
（2） 方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解；
（3） 方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解；
（4） 方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得： 4x - 60 + 3x + 4 = 0 ，
移项合并得： 7x = 56 ， 解得： x = 8 ；
（2）去分母得： 5x -15 - 8x - 2 = 10 ， 移项合并得： -3x = 27 ，
解得： x = -9 ；
（3）去分母得：15x + 10 -15 = 21x - 9 + 2x - 4 ， 移项合并得： -8x = -8 ，

解得： x = 1 ；

（4）方程整理得： 5x + 20 - 2x + 6 = -1 ， 移项合并得： 3x = -27 ，
解得： x = -9 ．

30. 小玉在解方程 2x -1 = x + a -1 去分母时，方程右边的“ -1 ”项没有乘 6，因而求得的解是 x = 10 ，
3 2
试求a 的值．
【考点】一元一次方程的解
【分析】把 x = 10 代入看错的方程4x - 2 = 3x + 3a -1 得40 - 2 = 30 + 3a -1 ，解关于a 的方程即可求出a 的值．
【解答】解：把 x = 10 代入4x - 2 = 3x + 3a -1 得40 - 2 = 30 + 3a -1 ，
3a = 9 ， a = 3 ． 故a 的值是 3．

31. 阅读下列材料： 关于 x 的方程
x3 + x = 13 + 1的解是 x = 1 ；
x3 + x = 23 + 2 的解是 x = 2 ；

x3 + x = (-2)3 + (-2) 的解是 x = -2 ；

以上材料，解答下列问题：
（1） 观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于 x 的方程 x3 + x = 43 + 4 的解为 ．
（2） 比较关于 x 的方程 x3 + x = a3 + a 与上面各式的关系，猜想它的解是 ．
（3） 请验证第（2）问猜想的结论．
（4） 利用第（2）问的结论，求解关于 x 的方程(x -1)3 + x = (a +1)3 + a + 2 的解．

【考点】方程的解
【分析】（1）根据已知方程的特点与解的关系即可写出方程的解；
（2） 结合（1）即可写出方程的解；
（3） 将 x = a 代入方程左边，即可进行验证；

（4） 原方程可以变形为： (x -1)3 + x -1 = (a +1)3 + a +1把 x -1 当作一个整体，即可求解．

【解答】解：（1）根据阅读材料可知：关于 x 的方程 x3 + x = 43 + 4 的解为 x = 4 ；故答案为： x = 4 ；

（2） 关于 x 的方程 x3 + x = a3 + a 它的解是 x = a ；故答案为： x = a ；
（3） 把 x = a 代入等式左边= a3 + a = 右边；
（4） (x -1)3 + x = (a +1)3 + a + 2 整理，得(x -1)3 + x -1 = (a +1)3 + a +1 ， 所以 x -1 = a + 1 ，解得 x = a + 2 ．

32. 阅读下列材料：问题：怎样将0.8 表示成分数？小明的探究过程如下： 设 x = 0.8 ①
10x = 10 ´ 0.8 ②
10x = 8.8 ③
10x = 8 0.8 ④
10x = 8 + x ⑤
9x = 8 ⑥
x = 8 ⑦．
9
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 从步骤①到步骤②，变形的依据是 ； 从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是 ；
（2） 仿照上述探求过程，请你将0.36 表示成分数的形式．
【考点】等式的性质
【分析】（1）根据等式的性质进行填空；

（2）设0.36 = x ，两边同时乘以 100，可得100x = 36 + x ，解方程可得结论．
【解答】解：（1）从步骤①到步骤②，变形的依据是：等式的基本性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等
从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是：等式的基本性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
故答案为：等式的基本性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数， 结果仍相等；等式的基本性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．

（2）设0.36 = x ，

100x = 100 ´ 0.36 ，

100x = 36.36 ，
100x = 36 + x ，
99x = 36 ，
x = 4 ．
11

33. 【定义】
若关于 x 的一元一次方程ax = b 的解满足 x = b + a ，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x = -4
的解为 x = -2 ，而-2 = -4 + 2 ，则方程2x = -4 为“友好方程”．
【运用】
（1）① -2x = 4 ，② 3x = -4.5 ，③ 1 x = -1 三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）；
2
（2） 若关于 x 的一元一次方程3x = b 是“友好方程”，求b 的值；
（3） 若关于 x 的一元一次方程-2x = mn + n(n ¹ 0) 是“友好方程”，且它的解为 x = n ，求m 与n 的值．

【考点】一元一次方程的解
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2） 根据题中的新定义列出有关b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值；利用题中的新定义确定出所求即可；
（3） 根据“友好方程”的定义即可得出关于m 、n 的二元二次方程组，解之即可得出m 、n 的值．
【解答】解：（1）① -2x = 4 ，解得： x = -2 ，
而-2 ¹ -2 + 4 ，不是“友好方程”；
② 3x = -4.5 ，解得： x =- 3 ，
2
而- 3 = -4.5 + 3 ，是“友好方程”；
2
③ 1 x = -1 ，解得： x = -2 ，
2
-2 ¹ -1 + 1 ，不是“友好方程”；
2
故答案是：②；

（2） 方程3x = b 的解为 x = b ．所以 b = 3 + b ．解得b =- 9 ；
3 3 2
（3） 关于 x 的一元一次方程-2x = mn + n 是“友好方程”，并且它的解是 x = n ，
\-2n = mn + n ，且mn + n - 2 = n ，解得m = -3 ， n =- 2 ．
3

34. 我们规定，若关于 x 的一元一次方程ax = b 的解为b - a ，则称该方程为“差解方程”，例如：2x = 4
的解为 2，且2 = 4 - 2 ，则该方程2x = 4 是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题：
（1） 判断3x = 4.5 是否是差解方程；
（2） 若关于 x 的一元一次方程6x m + 2 是差解方程，求m 的值．
【考点】一元一次方程的解
【分析】（1）求出方程的解，再根据差解方程的意义得出即可；
（2）根据差解方程得出关于m 的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1） 3x = 4.5 ，\ x = 1.5 ，
4.5 - 3 = 1.5 ，\3x = 4.5 是差解方程；
（2） 关于 x 的一元一次方程6x = m + 2 是差解方程，\m + 2 - 6 = m + 2 ，
6
解得： m = 26 ．
5

35. 已知当 x = -1 时，代数式2mx3 - 3nx + 6 的值为 17．
（1） 若关于 y 的方程2my + n = 4 - ny - m 的解为 y = 2 ，求mn 的值；
（2） 若规定[a] 表示不超过a 的最大整数，例如[4.3] = 4 ，请在此规定下求[m - 3n] 的值．
2
【考点】一元一次方程的解；代数式求值

【分析】（ 1 ）把 x = -1 代入 2mx3 - 3nx + 6 = 17 得到一个关于 m ， n 的方程， 把 y = 2 代入方程

2my + n = 4 - ny - m 得到一个关于m ， n 的方程，即可得到一个方程组，解方程组即可求得m ， n 的值， 代入代数式即可求解；
（2） 把m ， n 的值代入代数式求值根据[a] 表示的意义即可求解．

【解答】解：（1）把 x = -1 代入2mx3 - 3nx + 6 ，根据题意得： -2m + 3n + 6 = 17 ，则2m - 3n = -11 ，把 y = 2 代入方程得： 4m + n = 4 - 2n - m ，即5m + 3n = 4 ，
í
根据题意得： ì2m - 3n = -11，解得： ìm = -1 ，则mn = -1 ；

î
î5m + 3n = 4
ín = 3

（2） 把 x = -1 代入2mx3 - 3nx + 6 ，根据题意得： -2m + 3n + 6 = 17 ，\ 2m - 3n -11，
\ m - 3 n = -5.5 ，
2
[-5.5] = -6 ，\[m - 3 n] = -6 ．
2

36. 对于任意四个有理数a 、b 、c 、d ，可以组成两个有理数对(a, b) 与(c, d ) ．

我们规定： (a, b) ★ (c, d ) = bc - ad ．例如： (1, 2) ★ (3, 4) = 2´3 -1´ 4 = 2 ． 根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对(2, -3) ★ (3, -2) = ；

（2）若有理数对(-3, 2x -1) ★ (1, x +1) = 7 ，则 x = ；

（3） 当满足等式(-3, 2x -1) ★ (k, x + k) = 5 + 2k 的 x 是整数时， 求整数k 的值 ．
【考点】等式的性质；解一元一次方程
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2） 原式利用题中的新定义计算即可求出 x 的值；
（3） 原式利用题中的新定义计算， 求出整数k 的值即可 ．
【解答】解：（1）根据题意得： 原式= -9 + 4 = -5 ；故答案为： -5 ；
（2）根据题意化简得： 2x -1+ 3x + 3 = 7 ， 移项合并得： 5x = 5 ，解得： x =1 ； 故答案为： 1 ；
（3） 等式(-3, 2x -1) ★ (k, x + k) = 5 + 2k 的 x 是整数，\(2x -1)k - (-3)(x + k) = 5 + 2k ，

\(2k + 3)x = 5 ，\ x =
5 ，
2k + 3

k
是整数，\2k + 3 = ±1或±5 ，
\k = 1， -1， -2 ， -4 ．