广东省广州市荔湾区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题（含答案）.docx

2023 学年第一学期初中学生学业水平抽测七年级数学
本试卷共三大题 25 小题，共 6 页，满分 120 分．考试时间 120 分钟，不能使用计算器．
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位 置上．
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 2B 铅笔画图．答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液．不 按以上要求作答的答案无效．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
4, - 9 , -3, 0

1. 有 2
四个数，其中最小的是（ ）

A. 4 B. - 9
2
【答案】B

【解析】

C. -3

D. 0

【分析】根据有理数比较大小的方法求解即可．
【详解】解： - 9 < -3 < 0 < 4 ，
2
故最小的数为- 9 ，
2
故选：B．
【点睛】题目主要考查有理数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题关键．

2. 2023 年 10 月 26 日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十七号的飞行速度约为 450000 米/分，大约 10 分钟后成功进入预定轨道．把“450000”用科学记数法表示应为（ ）

A. 4.5 ´105
B. 4.5´106
C. 45 ´104
D. 0.45 ´106

【答案】A

【解析】

【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a ´ 10 n ，其中1 £ a <10 ，确定 a 与 n
的值是解题的关键．确定本题中的 a = 4.5 ， n = 5 ，从而可得答案．

【详解】解： 450000 = 4.5 ´105 ， 故选 A．
3. 多项式 2a3b + ab2 - ab 的次数和项数分别是（ ）

A. 3，3 B. 4，3 C. 3，2 D. 2，2

【答案】B
【解析】

【分析】本题主要考查多项式的定义，根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其 中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得答案．
【详解】多项式 2a3b + ab2 - ab 的次数和项数分别4 ， 3 故选 B．

4. 下列式子计算正确的是（ ）

A. 3x + 2 y = 5xy

B. 5x - 3x = 2

C. -2( x - y) = -2x - 2 y
D. 3x2 y - 2 yx2 = x2 y

【答案】D
【解析】

【分析】本题考查了合并同类项及去括号，直接根据合并同类项和去括号的规则逐一判断即可．

【详解】A. 3x 和 2 y 不是同类项，不能合并，此选项不符合题意；
B. 5x - 3x = 2x ，计算错误，此选项不符合题意；
C. -2( x - y) = -2x + 2 y ，计算错误，此选项不符合题意；
D. 3x2 y - 2 yx2 = x2 y ，计算正确此选项符合题意； 故选 D．

5. 下列各式中，是一元一次方程的是（ ）

A. x - y = 2

B. x2 - 2x = 0
C. x = 5 2
D. 2 - 5 = 0
x

【答案】C
【解析】

【分析】由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为 1，③整式方程，据此进行判断即可．
【详解】A 选项方程中含有 2 个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；

B 选项方程中未知数的最高次为 2 次，不是一元一次方程，不符合题意；

C 选项方程符合一元一次方程的定义，符合题意；

D 选项方程是分式方程，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．

6. 历史上，数学家欧拉最先把关于 x 的多项式用记号 f(x)来表示，把 x 等于某数 a 时的多项式的值用 f(a)

来表示，例如 x＝﹣1 时，多项式 f(x)＝x2+3x﹣5 的值记为 f(﹣1)，那么 f(﹣1)等于( )
A. ﹣7 B. ﹣9 C. ﹣3 D. ﹣1

【答案】A
【解析】

【分析】将 x=－1 代入代数式即可求出答案．

【详解】当 x=－1 时，
原式= (-1)2 + 3´(-1) - 5 = 1- 3 - 5 = -7 ，故选：A．
【点睛】本题主要考查的是代数式的计算求值问题，理解计算法则是解决这个问题的关键．

7. 已知等式3a = 2b + 5 ，则下列等式中不一定成立的是（ ）．

A. 3a - 5 = 2b

【答案】B
【解析】

B. 3ac = 2bc + 5
C. 3a -1 = 2b + 4
D. a = 2 b + 5
3 3

【分析】根据等式的性质逐项分析即可求出答案．

本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质．

【详解】解：A. 3a = 2b + 5 两边同时减去 5，得3a - 5 = 2b 故 A 成立，不符合题意；
B. 当c = 0 时， 3ac = 2bc + 5 不成立，故 B 不成立，符合题意
C. 3a = 2b + 5 两边同时减去 1，得3a -1 = 2b + 4 ，故 C 成立，不符合题意；
D. 3a = 2b + 5 两边同时除以 3，得 a = 2 b + 5 ，故 D 成立，不符合题意．
3 3
故选：B．

8. 如图，正方体的展开图为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D
【解析】

【分析】本题考查几何体的展开图，根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．
【详解】解：A、“ <”与“ = ”是对面，与正方体表面不一致，不符合题意；
B、“ Ù”与“ d”的位置与正方体表面不一致，不符合题意；
C、“ d”与“ Ù”和= 的位置与正方体表面不一致，不符合题意；
D、图形位置与正方体表面一致，符合题意； 故选：D．
9. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有一道问题：今有 四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何?这道题的意思是：今有若干人乘车，若每 4 人共乘一车，最终剩余 1 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 8 个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有 x
个人，则可列方程（ ）．

A. 4( x -1) = 2x + 8
B. 4( x +1) = 2x - 8
C. x +1 = x - 8 4 2
D. x -1 = x + 8 4 2

【答案】C
【解析】

【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设共有 x 人乘车，依据车的数量一定，列方程即可．
【详解】解：设共有 x 人乘车，
依题意得， x +1 = x - 8 ，
4 2

故选：C．
10. 在数轴上表示有理数a ， b ， c 的点如图所示，若 a + b < 0 ， ac < 0 ，则下面四个结论：① abc<0 ；
② b + c < 0 ；③ a - b > 0 ；④ a - c < a ，其中一定成立的结论个数为（ ）．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A
【解析】

【分析】本题主要了数轴，绝对值，有理数的加法和乘法法则，解题的关键是掌握和的符号与加数的关系．根 据已知得出 a < 0, c > 0 ， a > b ，b 的符号无法确定，再逐个判断即可．
【详解】解：∵ ac < 0 ，
∴ a < 0, c > 0 ，

∵ a + b < 0 ，
∴ a > b ，
①b 的符号无法确定，故 abc<0 不一定成立，故①不符合题意；
②∵b 的符号无法确定，故b + c < 0 不一定成立，故②不符合题意；
③∵ a > b ，∴ a - b > 0 ，故③一定成立，符合题意；

④∵ a < 0, c > 0 ，

∴原点在点 A 和点 C 之间，

∵ a - c 表示点 A 与点 C 之间的距离， a 表示点 A 到原点距离，

∴ a - c > a ，故④不成立，不符合题意； 综上：一定成立的结论有③，共 1 个，
故选：A．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. -1.5 的相反数是 ．
【答案】1.5
【解析】

【分析】本题考查了相反数．根据只有符号不同的两数互为相反数，即可求解．
【详解】解： -1.5 的相反数是1.5 ，

故答案为：1.5 ．
12. 如果 x = -2 是方程3kx - 2k ＝ 8 的解，则 k ＝ ．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据方程的解的定义可知， x = -2 满足方程3kx - 2k ＝ 8 ，故将 x = -2 代入方程3kx - 2k ＝ 8 ， 即可解得 k 值．
【详解】解：∵ x = -2 是方程3kx - 2k ＝ 8 的解，
∴将 x = -2 代入方程3kx - 2k ＝ 8 ，得-6k - 2k = 8
解得 k = -1
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了方程的解的概念，将 x = -2 代入方程3kx - 2k ＝ 8 ，正确计算 k 值，是解题关键．
13. 如图，将两块直角三角板的直角顶点重合，若∠AOD=128°，则∠BOC= ．

【答案】52°##52 度
【解析】

【分析】根据题意得到∠AOB=∠COD=90°，再计算∠BOD=∠AOD-90°=38°，然后根据

∠BOC=∠COD-∠BOD 进行计算即可．

【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°， 而∠AOD=128°，
∴∠BOD=∠AOD-90°=38°，

∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-38°=52°．

故答案为：52°．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
14. 一个长方形的周长为8a + 6b ，其中长为 a - 2b ，则宽为 ．
【答案】3a + 5b ## 5b + 3a

【解析】

【分析】本题考查整式加减的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．

【详解】解：长方形的宽为 1 (8a + 6b) - (a - 2b) = 4a + 3b - a + 2b = 3a + 5b ，
2
故答案为： 3a + 5b ．
15. 已知线段 AB = 20 ，在直线 AB 上有一点C ，且 BC = 6 ，若点 M ， N 分别是线段 AB ， BC 的中点 则线段 MN 的长为 ．
【答案】 7 或13
【解析】

【分析】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，注意分类讨论．

可分两种情况：当点 C 在线段 AB 上时，当点 C 在射线 AB 上时，根据两点间的距离先求解 AC 的长，再根据线段中点的定义可求解 MN 的长．
【详解】解：当点C 在线段 AB 上时，如图，

∵ AB = 20 ， BC = 6 ，
∴ AC = AB - BC = 20 - 6 = 14 ，
∵点 M、N 分别是线段 AB 、 BC 的中点，
∴ MB = 1 AB = 10 ， BN = 1 BC = 3
2 2
\ MN = MB - NB = 10- 3 = 7
当点 C 在射线 AB 上时，如图，

∵ AB = 20 ， BC = 6 ，
∴ AC = AB + BC = 20 + 6 = 26 ，
∵点 M、N 分别是线段 AB 、 BC 的中点，
\ MB = 1 AB = 10 ， BN = 1 BC = 3
2 2
\ MN = MB + BN = 10 + 3 = 13
故答案为： 7 或13 ．
16. 将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为 2，宽为 1，依此类推，当摆放 2024 个时，实线部分长为 ．

【答案】5060
【解析】

【分析】根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案．

此题主要考查了图形变化类，得出实线部分按第奇数与偶数个长度变化规律是解题关键．

【详解】由图形可得出：摆放一个矩形实线长为 3， 摆放 2 个矩形实线长为 5，摆放 3 个矩形实线长为 8
摆放 4 个矩形实线长为 10，摆放 5 个矩形实线长为 13，

即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加 2，第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加 3， 摆放 2024 个时，相等于在第 1 个的基础上加 1012 个 2，1011 个 3，
摆放 2024 个时，实线部分长为：
3 +1012´ 2 +1011´ 3 = 5060 ．
故答案为： 5060 ．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程： x - 3 - 2x = 1 ．
2 3
【答案】 x = -15

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分 母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为 1”，准确计算．
【详解】解： x - 3 - 2x = 1
2 3
去分母得： 3( x - 3) - 4x = 6 去括号得： 3x - 9 - 4x = 6 移项合并同类项得： -x = 15 系数化为 1 得： x = -15
18. 如图，已知点A ， B ， C ，请按下列要求画图．

（1） 画直线 BC 和线段 AC ；
（2） 画射线 AB ，并在射线 AB 上用尺规作线段 AE ，使得 AE = 3AC （注：不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】

【分析】本题主要考查了作图知识及把几何语言转化为几何图形的能力，作一条线段等于已知线段的尺规 作图．
（1） 根据直线和线段的定义画图即可；
（2） 以点 A 圆心，以 AC 为半径，在射线 AB 上顺次截取 3 次即可．
【小问 1 详解】
解：直线 BC 和线段 AC 如图所示；

；

【小问 2 详解】

解：线段 AE 如图所示，

；

19. 计算：
（1） 5 -(-12) -15 + (-8) ；
3
（2） - 1 ´(-1)2023 - 6 ¸(-32 ) ．

【答案】（1） -6
1
（2）
3
【解析】

【分析】本题考查有理数的混合运算．

（1） 根据加减运算法则，进行计算即可；

（2） 先乘方，再乘除，最后算加减．
掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．

【小问 1 详解】
解：原式= 5 +12 -15 - 8 = -6 ；
【小问 2 详解】
原式= 1 ´(-1) - 6 ¸ (-9) = - 1 + 2 = 1 ．
3 3 3 3
3
20. 先化简，再求值： 2 (x3 - 3xy ) - ( x - 2 y ) - (x - 3xy + 2x3 )，其中 x - y = 5 ， xy = 1 ．

【答案】 -3xy - 2 ( x - y ) ， -11

【解析】

【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，先去括号，再合并同类项化简，然后将值代入即可得出答案．
【详解】解： 2 (x3 - 3xy ) - ( x - 2 y ) - (x - 3xy + 2x3 )
= 2x3 - 6xy - x + 2 y - x + 3xy - 2x3

= 2x3 - 2x3 - 6xy + 3xy - x - x + 2 y

= -3xy - 2x + 2 y

= -3xy - 2 ( x - y )
Q x - y = 5 ， xy = 1
3
\原式= -3´ 1 - 2´ 5 = -1-10 = -11
3

棒次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

21. 某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了 12 名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为 60 米．以 60 米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值．

里程波动值
2
6
-5

3
-2
0
-5
-8

4
1

（1） 第 2 棒火炬手的实际里程为 米，第 6 棒火炬手的实际里程为 米；

（2） 若第 4 棒火炬手的实际里程为 61 米，求第 10 棒火炬手的实际里程．
【答案】（1） 66 ， 58 ；
（2） 63 米
【解析】

【分析】本题考查正数和负数，有理数的加减运算，需要理解正负号在特定数学环境中的意义．

（1） 实际里程为基准值与波动值的和，据此作答即可；

（2） 根据题意，先求出第 4 棒火炬手的里程波动值，再求出其余人的波动值的和，然后结合所有波动值的和应该为 0，据此可求得第 10 棒火矩手的里程波动值，从而求出其实际里程．
【小问 1 详解】
第 2 棒火炬手的实际里程为60 + 6 = 66 （米），
第 6 棒火炬手的实际里程为60 - 2 = 58 （米） 故答案为： 66 ， 58 ；
【小问 2 详解】
Q 第 4 棒火炬手的实际里程为 61 米，
\第 4 棒火炬手的里程波动值为1，
Q2 + 6 - 5 +1+ 3 - 2 + 0 - 5 - 8 + 4 +1 = -3
\第 10 棒火矩手的里程波动值为0 - (-3) = 3
\第 10 棒火炬手的实际里程为60 + 3 = 63 （米） 答：第 10 棒火炬手的实际里程63 米．
22. 如图，已知ÐAOB = 114° ， OC 是ÐAOB 的平分线， OE 在ÐBOC 内．

（1） 若ÐCOE = 1 ÐBOC ，求ÐBOE 的度数；
3
（2） 若ÐAOE - ÐBOE = 52° ，求ÐAOE 的度数．

【答案】（1） 38°
（2） 83°
【解析】

【分析】本题考查了角平分线的有关计算及几何图中的角度计算．
（1）根据角平分线的定义求出ÐBOC = 57° ，再根据题意求出ÐCOE = 19° ，然后根据角的和差即可得出答案；
（ 2 ） 先根据角平分线的定义求出 ÐAOC = 57° ， 再根据 ÐAOE - ÐBOE = 52° 利用角的和差求出
ÐCOE = 26° ，然后再根据角的和差即可得出答案．
【小问 1 详解】
解：Q ÐAOB = 114° ， OC 是ÐAOB 的平分线，

\ÐBOC = 1 ÐAOB = 57° 2

QÐCOE = 1 ÐBOC
3
\ÐCOE = 19°
QÐBOE = ÐBOC - ÐCOE = 57° -19° = 38° ；
【小问 2 详解】
Q ÐAOB = 114° OC 是ÐAOB 的平分线，
\ÐAOC = ÐBOC = 1 ÐAOB = 57°
2
Q ÐAOE - ÐBOE = 52°
\ÐAOC + ÐCOE -(ÐBOC - ÐCOE ) = 52°
\ÐAOC + ÐCOE - ÐBOC + ÐCOE = 52°
\2ÐCOE = 52°
\ÐCOE = 26°
\ÐAOE = ÐAOC + ÐCOE = 57° + 26° = 83°．
购票张数
1 至 40
41 至 80
80 以上

23. 为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校 组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下：

每张票的价格
20 元
18 元
免 2 张门票，其余每张 17 元
该校七年级两个班共有 83 名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过 30，但不足 40．

（1） 如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了 1572 元．求七（2）班学生的人数；

（2） 在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有 7 名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案．
【答案】（1）七（2）班有 44 人；

（2）够买 81 张票最省钱．
【解析】

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．

（1） 根据电影票价格表中的购票方式和价格，列出方程求解即可；

（2） 根据题意进行分类讨论：当购买 76 张票时，当购买 81 张票时，然后进行比较即可．

【小问 1 详解】解：∵ 83 > 80 ，
∴如果两个班联合起来作为一个团体购票，应付(80 - 2)´17 = 1326 （元），设七（2）班有 a 人，
∴七（1）班有(83 - a ) 人，
∵ 30 < 83 - a < 40 ，
∴ 43 < a < 53 ，
∴七（1）班应付： 20 (83 - a ) = (1660 - 20a ) 元，七（2）班应付：18a 元
∴如果两个班都以班级为单位购票，一共应付(1660 - 20a ) +18a = (-2a +1660 ) 元，
∴ -2a +1660 = 1572 ，解得： a = 44 ， 答：七（2）班有 44 人；
【小问 2 详解】解：∵ a = 44 ，
∴ 83 - a = 39 ，即七（1）班有 39 人，
∵七（1）班有 7 名学生因有比赛任务不能参加这次活动，
∴总人数为83 - 7 = 76 人，
当购买 76 张票时：18 ´ 76 = 1368 （元），
当购买 81 张票时：17 ´(81- 2) = 1343 （元），

∵1343 < 1368
∴够买 81 张票最省钱．
24. 已知a 是最大的负整数，b ，c 满足(b - 9)2 + c - 2 = 0 ，数轴上点 A 对应的数为a ，点 B 对应的数为b ，长度为c 的线段CD 在数轴上移动，设点C 对应的数为 x ，点 D 在点C 右侧．
（1） a = ， b = ， c = ；
（2） 当点 D 移动到 AB 的中点时，求 x 的值；
（3） 当线段CD 在射线 BA 上移动时，是否存在 BD - AC = AD ?若存在，求此时满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） -1，9，2
（2） x = 2 ；
（3）满足条件的 x 的值为1或-11．
【解析】

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，非负性，找到正确的数量关系是解题的关键．

（1） 由非负性可求解；
（2） 由题意可得点 D 对应的数为 x + 2 ，根据点 D 移动到 AB 的中点，列式计算即可求解；

（3） 用 x 表示出 BD、AC、AD ，根据题意列出7 - x = x + 3 + x +1 ，现分类求解即可．

【小问 1 详解】
解：∵ a 是最大的负整数， b ， c 满足(b - 9)2 + c - 2 = 0 ，
∴ a = -1， b = 9 ， c = 2 ， 故答案为： -1，9，2；
【小问 2 详解】
解：设点C 对应的数为 x ，点 D 在点C 右侧，
∴点 D 对应的数为 x + 2 ，

( )
9 + -1
∵点 D 移动到 AB 的中点时，∴ x + 2 = = 4 ，
2

解得 x = 2 ；
【小问 3 详解】
解：∵线段CD 在射线 BA 上移动，
∴ x + 2 £ 9 ，即 x £ 7 ，
∵点C 对应的数为 x ，点 D 对应的数为 x + 2 ，点A 对应的数为-1，点 B 对应的数为 9，

∴ BD = 9 - (x + 2) = 7 - x ， AC = -1- x =
∵ BD - AC = AD ，
x +1 ， AD = -1- (x + 2) =
x + 3 ，

∴ 7 - x - x +1 =
x + 3 ，即7 - x =
x + 3 + x +1 ，

当-1 £ x £ 7 时， 7 - x = x + 3 + x +1 ，解得 x = 1 ；
当-3 £ x < -1时， 7 - x = x + 3 - x -1 ，解得 x = 5 （舍去）；当 x < -3 时， 7 - x = -x - 3 - x -1 ，解得 x = -11；
综上，满足条件的 x 的值为1或-11．
25. 钟表是我们日常生活中常用的计时工具．在圆形钟面上，把一周等分成 12 个大格，每个大格等分成 5 个小格．如图，设在 4 : 00 时，分针的位置为OB ，时针的位置为OA ，运动后的分针为OP ，时针为OQ（本题中的角均指小于180°的角）．

（1） 求4 : 00 开始几分钟后分针第一次追上时针；
（2） 若在 4 : 00 至5 : 00 之间， OM 在ÐAOP 内， ON 在ÐAOQ 内，ÐPOM = 1 ÐAOP ，
3
ÐNOQ = 1 ÐAOQ ．
3
①当OP 在ÐAOB 内时，求ÐPOM 和ÐAON 之间的数量关系；
②从 4 : 00 开始几分钟后，ÐMON = 111o ．
240

【答案】（1）从 4 : 00 开始
分钟后分针第一次追上时针．
11

（2）① ÐPOM + 6ÐAON = 40°．②从 4 : 00 开始 573 分钟后，ÐMON = 111o ．
11
【解析】

【分析】（1）本题考查一元一次方程的实际运用、角的运算和追及问题，根据时钟的特点，算出时针每分 钟转0.5° ，分针每分钟转6° ，以及ÐAOB 的度数，设从 4 : 00 开始 x 分钟后分针第一次追上时针，再利用分针转过的角度= 时针转过的角度+ ÐAOB ，列式求解即可．

（2）①本题考查角的运算，设运动时间为 a ，表示出ÐBOP ，ÐAOQ ，ÐAOP ，再结合ÐPOM = 1 ÐAOP ，
3
ÐNOQ = 1 ÐAOQ ，将ÐPOM 和ÐAON 联系起来，即可解题．
3
②本题考查一元一次方程的实际运用和角的运算，设从 4 : 00 开始 m 分钟后，ÐMON = 111o ．根据分针没有追上时针和分针超过时针两种情况分类讨论， 利用 m 分别表示出 ÐAOQ ， ÐAOP ， 再结合
ÐMON = ÐAOM + ÐAON 与∠MON = ∠AOP -∠POM -∠AON 即可解题．
【小问 1 详解】
解：Q360° ¸12 = 30° ， 30° ¸ 60 = 0.5° ，即时针每分钟转0.5°， 又Q30° ¸ 5 = 6° ，即分针每分钟转6° ，
由图知， 4 : 00 时，分针和时针间夹角为 4 ´ 30° = 120°， 设从 4 : 00 开始 x 分钟后分针第一次追上时针，
则有： 6x = 0.5x +120 ，解得 x = 240 ，
11

答：从 4 : 00 开始

【小问 2 详解】
240
分钟后分针第一次追上时针．
11

①解：当OP 在ÐAOB 内部时，如图所示：

设运动时间为a ，则ÐBOP = (6a)° ， ÐAOQ = (0.5a)° ，其中0 < a < 240 ，
11
\ÐAOP = ÐAOB - ÐBOP = 120° -(6a)° ，
Q ÐPOM = 1ÐAOP ，ÐNOQ = 1 ÐAOQ ，
3 3
\ÐPOM = 40° -(2a)° ， ÐNOQ = æ 1 a ö° ，
ç 6 ÷
è ø

\ÐAON = ÐAOQ - ÐNOQ = æ 1 a ö°，即有6ÐAON = (2a)° ，
ç 3 ÷
è ø
\ÐPOM = 40° -(2a)° = 40° - 6ÐAON ，

整理得ÐPOM + 6ÐAON = 40°．
②设从 4 : 00 开始 m 分钟后，ÐMON = 111o ． 下面分类讨论，
第一种：分针没有追上时针时，如图所示：

由①同理可得： ÐBOP = (6m)°， ÐAOQ = (0.5m)°，
Q ÐPOM = 1ÐAOP ，ÐNOQ = 1 ÐAOQ ，
ÐAOP = 120° -(6m)° ，

3 3
\ÐAOM = ÐAOP - ÐPOM = ÐAOP - 1 ÐAOP = 2 ÐAOP ，
3 3
ÐAON = ÐAOQ - ÐNOQ = 2 ÐAOQ ，
3
ë û
\ÐMON = ÐAOM + ÐAON = 2 é120° - (6m)°ù + 2 ´(0.5m)° ，
3 3
整理得ÐMON = 80° - æ 11 m ö° ，
ç 3 ÷
è ø

Q ÐMON = 111o ，

有80° - æ 11 m ö° = 111° ，解得m = - 93 ，
ç 3 ÷ 11
è ø
Q- 93 < 0 ，所以舍去该值．
11
第一种：分针超过时针时，如图所示：

有ÐAOP = (6m)° -120° ，

则∠MON = ∠AOP -∠POM -∠AON
ë û
= (6m)° -120° - 1 é(6m)° -120°ù - 2 ´(0.5m)°
3 3
= (6m)° -120° - (2m)° + 40° - æ 1 m ö°
ç 3 ÷
è ø

= æ 11 m ö° - 80° ，
ç 3 ÷
è ø

有æ 11 m ö° - 80° = 110° ，解得 m = 573 ，
ç 3 ÷ 11
è ø
Q 573 > 240 ，符合题意，有 m = 573 ，
11 11 11
综上所述，从 4 : 00 开始 573 分钟后，ÐMON = 111o ．
11