1、
平方根与立方根
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一、知识回顾
1、平方根：如果一个数的平方等于，那么，这个数就叫做的平方根；也即，时，我们称是的平方根，记做：。把叫做x的算术平方根。
① 当时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
② 当时，也就是为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。
③ 当时，也即为负数时，它不存在平方根。
2立方根：如果x的立方等
2、于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。
3、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
二、典型例题
例1：下列语句中，正确的是（ ）
A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根
C．一个实数的立方根不是正数就是负数 D．立方根是这个数本身的数共有三个
分析：根据平方根、立方根的定义即可判定；
解答：A、一个非负数的平方根有两个
3、它们互为相反数，故选项A错误；
B、负数有立方根，故选项B错误，
C、一个数的立方根不是正数可能是负数，还可能是0，故选项C错误，
D、立方根是这个数本身的数共有三个，0，1，-1，故D正确．
故选D．
例2：下列说法正确的是（ ）
A．-2是（-2）2的算术平方根 B．3是-9的算术平方根
C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±3
分析：根据算术平方根的定义、平方根的定义、立方根的定义即可判定．
解答：A、一个数的算术平方根为正，故选项A错误；
B、负数没有平方根，故选项B错误；
C、16的平方根是±4，故选项正确；
D、立方根的符号和本身
4、的符号相同，即立方根只有一个根，故选项D错误．
故选C．
例3： 求下列各数的算术平方根
（1）；（2）；（3）.
分析：根据算术平方根的定义，求一个数的算术平方根可转化为求一个数的平方等于的运算，更具体地说，就是找出平方后等于的正数.
解答：（1）因为，所以的算术平方根是，即；
（2）因为，所以的算术平方根是，即；
（3）因为，又，所以的算术平方根是，即.
注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似的错误.
例4：求下列各式的值
（1）； （2）；
5、 （3）； （4）.
分析：±表示的平方根，故其结果是一对互为相反数；－表示的负平方根，故其结果是负数；表示的算术平方根，故其结果是正数；表示的算术平方根，故其结果必为正数.
解答：（1）因为，所以±=±9.
（2）因为，所以－.
（3）因为=，所以=.
（4）因为，所以.
例5：已知|x-2|+ =0，则 点P（x，y）在直角坐标系中（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，从而得到点P的坐标，再根据坐标位置的确定即可解答．
解答：根据题意得，x-2=0，y+3=0，
解得x=2，
6、y=-3，
∴点P的坐标是（2，-3），
∴点P位于第四象限．
故选D．
例6：（2012•宁波）已知实数x，y满足 +(y+1)2=0，则x-y等于（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，
解得x=2，y=-1，
所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
故选A．
例7：下列说法中正确的是（ ）
A．4是8的算术平方根 B．16的平方根是4
C．是6的平方根 D．-a没有平方根
分析：如果一
7、个数x2=a（a≥0），那么x就是a的一个平方根．根据定义知道一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数．
解答：A、∵4是16的算术平方根，故选项A错误；
B、∵16的平方根是±4，故选项B错误；
C、∵ 6 是6的一个平方根，故选项C正确；
D、当a≤0时，-a也有平方根，故选项D错误．
故选C．
例8：计算
（1）64的立方根是
（2）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。其中正确的有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
分析：（1）我们知道4的3次方等于64，所以64的立方根就是4；
（2）①立方根只有一个，27的立方根是3，而不是正负3，-3的立方等于-27，错；② 根据立方根的定义可知对；
③ 根号64开方等于8，立方根是2，正确；
④ 先把3次根号里面的化简等于3次根号下64，那么应该等于4，错。
三、解题经验
本节重点是要理解平方根和立方根的概念，很多同学对平方根的概念仍存在模糊不清，做题时才导致错误，不妨举两个例子认真推敲。
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