高考十年真题数学分项汇编——数列的通项公式及数列求和大题综合.docx

专题20 数列的通项公式及数列求和大题综合

考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1 等差数列的通项公式及前n项和
（10年5考）
2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国新Ⅱ卷、2019·全国卷、2018·全国卷、2016·全国卷
1.掌握数列的有关概念和表示方法，能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式，理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题
该内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和，需综合复习

3.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习

4.熟练掌握裂项相消求和和、错位相减求和、分组及并项求和，该内容是新高考卷的常考内容，常考结合不等式、最值及范围考查，需重点综合复习
考点2 等比数列的通项公式及前n项和
（10年4考）
2020·全国卷、2019·全国卷
2018·全国卷、2017·全国卷
考点3 等差等比综合
（10年6考）
2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷、2019·北京卷
2017·北京卷、2017·全国卷、2016·北京卷
2015·天津卷
考点4 数列通项公式的构造
（10年9考）
2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·全国甲卷
2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·天津卷
2021·浙江卷、2021·全国乙卷、2021·全国卷
2020·全国卷2019·全国卷、2018·全国卷
2016·山东卷、2016·天津卷、2016·天津卷
2016·全国卷、2016·全国卷、2016·全国卷
2015·重庆卷、2015·全国卷
考点5 数列求和
（10年10考）
2024·天津卷、2024·全国甲卷、2024·全国甲卷
2023·全国甲卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·天津卷
2020·天津卷、2020·全国卷、2020·全国卷
2019·天津卷、2019·天津卷、2018·天津卷
2017·天津卷、2017·山东卷、2016·浙江卷
2016·山东卷、2016·天津卷、2016·北京卷
2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·天津卷
2015·天津卷、2015·山东卷、2015·山东卷
2015·湖北卷、2015·安徽卷
考点6 数列中的不等式、最值及范围问题
（10年几考）
2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·浙江卷
2021·全国乙卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷
2017·北京卷、2016·浙江卷、2016·天津卷
2015·重庆卷、2015·浙江卷、2015·四川卷
2015·上海卷、2015·安徽卷
考点7 数列与其他知识点的关联问题
（10年5考）
2024·上海卷、2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2019·全国卷、2017·浙江卷、2015·陕西卷
2015·湖南卷

考点01 等差数列的通项公式及前n项和
1．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
4．（2019·全国·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
5．（2018·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．
    （1）求的通项公式；
    （2）求，并求的最小值．
6．（2016·全国·高考真题）等差数列{}中，.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

考点02 等比数列的通项公式及前n项和
1．（2020·全国·高考真题）设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{log3an}的前n项和．若求m．
2．（2019·全国·高考真题）已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
3．（2018·全国·高考真题）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
4．（2017·全国·高考真题）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．

考点03 等差等比综合
1．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
2．（2020·全国·高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
3．（2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
4．（2017·北京·高考真题）已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
5．（2017·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
6．（2016·北京·高考真题）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式．
7．（2015·天津·高考真题）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)设，，求数列的前项和.

考点04 数列通项公式的构造
1．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式
(2)求数列的前n项和.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
4．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
6．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
7．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
8．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
9．（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
10．（2020·全国·高考真题）设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
11．（2019·全国·高考真题）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
12．（2018·全国·高考真题）已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
13．（2016·山东·高考真题）已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
14．（2016·天津·高考真题）已知是各项均为正数的等差数列，公差为 ，对任意的是 和的等比中项.
（Ⅰ）设，求证： 是等差数列；
（Ⅱ）设，求证：
15．（2016·天津·高考真题）已知是等比数列，前n项和为，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.
16．（2016·全国·高考真题）已知数列的前n项和，其中．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求．
17．（2016·全国·高考真题）已知各项都为正数的数列满足，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的通项公式.
18．（2016·全国·高考真题）已知是公差为3的等差数列，数列满足．
（Ⅰ）求的通项公式；    （Ⅱ）求的前n项和．
19．（2015·重庆·高考真题）在数列中，
（1）若求数列 的通项公式；

（2）若证明：
20．（2015·全国·高考真题）为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.

考点05 数列求和
1．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
6．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
7．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
8．（2020·全国·高考真题）设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
9．（2020·全国·高考真题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
10．（2019·天津·高考真题） 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
11．（2019·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
12．（2018·天津·高考真题）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
13．（2017·天津·高考真题）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
14．（2017·山东·高考真题）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.
(I)求数列{an}通项公式；
(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.
15．（2016·浙江·高考真题）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）求数列{||}的前项和.
16．（2016·山东·高考真题）已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
17．（2016·天津·高考真题）已知是等比数列，前n项和为，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.
18．（2016·北京·高考真题）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式．
19．（2015·浙江·高考真题）已知数列和满足，

（1）求与；
（2）记数列的前项和为，求.
20．（2015·全国·高考真题）为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
21．（2015·天津·高考真题）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)设，，求数列的前项和.
22．（2015·天津·高考真题）已知数列满足，且成等差数列.
（Ⅰ）求的值和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
23．（2015·山东·高考真题）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
24．（2015·山东·高考真题）设数列的前n项和为.已知.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和.
25．（2015·湖北·高考真题）设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
26．（2015·安徽·高考真题）已知数列是递增的等比数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．

考点06 数列中的不等式、最值及范围问题
1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
3．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
4．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
5．（2020·浙江·高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
6．（2019·浙江·高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
7．（2017·北京·高考真题）已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
8．（2016·浙江·高考真题）设数列满足，．
（Ⅰ）证明：，；
（Ⅱ）若，，证明：，．
9．（2016·天津·高考真题）已知是各项均为正数的等差数列，公差为 ，对任意的是 和的等比中项.
（Ⅰ）设，求证： 是等差数列；
（Ⅱ）设，求证：
10．（2015·重庆·高考真题）在数列中，
（1）若求数列 的通项公式；
（2）若证明：
11．（2015·浙江·高考真题）已知数列满足=且=-（）.
（1）证明：1（）；
（2）设数列的前项和为，证明（）.
12．（2015·四川·高考真题）设数列的前项和，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前项和，求使成立的的最小值．
13．（2015·上海·高考真题）已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.
14．（2015·安徽·高考真题）设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，证明.

考点07 数列与其他知识点的关联问题
1．（2024·上海·高考真题）若．
(1)过，求的解集；
(2)存在使得成等差数列，求的取值范围．
2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
4．（2019·全国·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
5．（2017·浙江·高考真题）已知数列满足：，
证明：当时，
（I）；
（II）；
（III）.
6．（2015·陕西·高考真题）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．
（Ⅰ）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较
与的大小，并加以证明．
7．（2015·湖南·高考真题）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：
（1）数列是等比数列
（2）若，则对一切，恒成立.