高考十年真题数学分项汇编——导数及其应用大题综合（含答案）.docx

专题23 导数及其应用大题综合

考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1 切线方程及其应用
（10年10考）
2024·全国新Ⅱ卷、2024·天津卷、2023·北京卷
2023·全国乙卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷
2022·天津卷、2022·全国甲卷、2022·全国乙卷
2022·北京卷、2021·天津卷、2021·北京卷
2021·全国乙卷、2020·北京卷、2020·全国卷
2019·北京卷、2018·北京卷、2018·北京卷
2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷
2017·山东卷、2017·北京卷、2016·北京卷
2016·北京卷、2016·全国卷、2015·重庆卷
2015·全国卷、2015·天津卷、2015·山东卷
2015·北京卷
1.能理解导数的几何意义并会求切线方程，会求参数
2.理解函数的单调性与导数之间的关系，能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间，能够利用导数解决与函数单调性的综合问题，该内容是新高考卷的必考内容，近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。
3.能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值，体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系，该内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习
4.能进行函数转化证明不等式，会函数中的恒成立问题与有解问题，会求零点及其应用，会隐零点、双变量、极偏等内容的学习，都可能成为高考命题方向
考点2 具体函数及含参函数的单调性
（10年6考）
2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国甲卷
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷
2018·全国卷
考点3 含参函数的单调性
（10年10考）
2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷
2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷
2021·浙江卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷
2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷
2018·天津卷、2018·全国卷、2017·全国卷
2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷
2017·全国卷、2016·山东卷、2016·四川卷
2016·全国卷、2016·北京卷、2016·山东卷
2016·四川卷、2016·全国卷、2015·江苏卷
2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·四川卷
2015·四川卷、2015·北京卷
考点4 极值最值及其应用
（10年10考）
2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷
2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷
2022·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·天津卷
2021·全国乙卷、2020·北京卷、2019·全国卷
2019·江苏卷、2018·北京卷、2018·北京卷
2018·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷
2017·江苏卷、2017·全国卷、2017·山东卷
2017·北京卷、2016·山东卷、2016·天津卷
2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·重庆卷
2015·山东卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷
2015·山东卷、2015·全国卷
考点5 证明不等式
（10年9考）
2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷、2019·北京卷
2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷
2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷
2015·全国卷、2015·湖北卷、2015·福建卷
2015·北京卷
考点6 恒成立与能成立（有解）问题
（10年9考）
2024·天津卷、2024·全国甲卷、2023·全国甲卷
2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷
2021·天津卷、2020·山东卷、2020·全国卷
2019·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷
2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·四川卷
2015·四川卷、2015·山东卷、2015·湖南卷
2015·湖南卷、2015·福建卷、2015·北京卷
考点7 零点问题
（10年8考）
2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅱ卷
2020·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国卷
2020·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷
2018·浙江卷、2018·全国卷、2017·全国卷
2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·全国卷
2015·江苏卷、2015·全国卷、2015·全国卷
2015·陕西卷、2015·北京卷
考点8 方程的根
（10年4考）
2022·浙江卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·浙江卷
2021·全国甲卷、2019·全国卷、2018·江苏卷
考点09 双变量问题
（10年6考）
2024·天津卷、2022·浙江卷、2022·北京卷
2021·浙江卷、2020·天津卷、2018·全国卷
2015·湖北卷
考点10 隐零点问题
（10年4考）
2023·全国甲卷、2017·全国卷
2016·全国卷、2015·全国卷
考点11极值点偏移问题
（10年4考）
2022·全国甲卷、2019·天津卷
2016·全国卷、2015·天津卷
考点12 导数与其他知识点联动问题
（10年4考）
2024·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷
2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷

考点01 切线方程及其应用
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
【详解】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
2．（2024·天津·高考真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
【答案】(1)
【分析】（1）直接使用导数的几何意义；
【详解】（1）由于，故.
所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为.
3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
【答案】(1)
【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
【答案】(1)；
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)；
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
6．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
【答案】(1)
【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；
【详解】（1），则，
所以，故处的切线斜率为；
7．（2022·天津·高考真题）已知，函数
(1)求函数在处的切线方程；
【答案】(1)
【分析】（1）求出可求切线方程；

【详解】（1），故，而，
曲线在点处的切线方程为即.
8．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
【答案】(1)3
【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
【详解】（1）的定义域为
当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
10．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
11．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
12．（2021·北京·高考真题）已知函数．
1）若，求曲线在点处的切线方程；
【答案】（1）；
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
13．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
切线方程为：,
与联立得，
化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得,
，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.
14．（2020·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
【答案】（Ⅰ），
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
【详解】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
15．（2020·全国·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
【答案】（1）；
【分析】（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；
【详解】（1）因为，由题意，，即：，则．
16．（2019·北京·高考真题）已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
【答案】（Ⅰ）和.
【分析】(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
【详解】（Ⅰ），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
17．（2018·北京·高考真题）设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
【答案】(1) 1  
【详解】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．
详解：解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
18．（2018·北京·高考真题）设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
【答案】（Ⅰ）
【详解】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；
详解：解：（Ⅰ）因为，
所以.
，
由题设知，即，解得.
19．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
【答案】（1）切线方程是；
【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．
【详解】（1），．
因此曲线在点处的切线方程是．
20．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1.
（I）求函数的单调区间；
（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明：；
（III）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.
【分析】（I）由题意可得，由以及即可解出；
（II）分别求出两切线方程，根据直线平行的条件得，两边取对数即可证出；
（III）方法一：分别求出两曲线的切线的方程，则问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合，构造函数，令，利用导数证明函数存在零点，即可证出.
【详解】（I）由已知，，有.
令，解得x=0.
由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：
x

0

0
+

极小值

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.
由，可得曲线在点处的切线斜率为.
因为这两条切线平行，故有，即.
两边取以a为底的对数，得，所以.
（III）［方法一］：导数的几何意义＋零点存在性定理
曲线在点处的切线l1：.
曲线在点处的切线l2：.
要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，
只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.
即只需证明当时，方程组有解，
由①得，代入②，得.   ③
因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.
设函数，
即要证明当时，函数存在零点.
，可知时，；
时，单调递减，
又，，
故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.
由此可得在上单调递增，在上单调递减.
在处取得极大值.
因为，故，
所以
.
下面证明存在实数t，使得.
由（I）可得，当时，
有
，根据二次函数的性质，
所以存在实数t，使得，
因此，当时，存在，使得.
所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
［方法二］：
因为曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，所以直线l满足如下条件：

．
记，则是关于t的减函数．
，
使，即，即．
当时，；当时，，，由（Ⅰ）可得当时，．
若．则，取，，所以在区间内存在零点．

所以当时，存在直线l，使l曲线的切线，也是曲线的切线．
【整体点评】（III）方法一：利用切线重合，建立等量关系，通过消元得出方程，根据方程有解，转化为函数有零点，由零点存在性定理证出；
方法二：根据斜率相等得出方程，引入新变元，构建关于新变元的方程，再由方程有实根，转化为对应函数有零点，即可证出．
21．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：在处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.
【答案】（I）单调递增区间为，，单调递减区间为.（II）（i）见解析.（ii）.
【详解】试题分析：求导数后因式分解根据，得出，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对求导，根据函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，解得，根据的单调性可知在上恒成立，关于x的不等式在区间上恒成立，得出，得，，
求出的范围，得出的范围.
试题解析：（I）由，可得
，
令，解得，或.由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（II）（i）因为，由题意知，
所以，解得.
所以，在处的导数等于0.
（ii）因为，，由，可得.
又因为，，故为的极大值点，由（I）知.
另一方面，由于，故，
由（I）知在内单调递增，在内单调递减，
故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.
由，得，.
令，，所以，
令，解得（舍去），或.
因为，，，故的值域为.
所以，的取值范围是.【考点】导数的应用
【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.
22．（2017·山东·高考真题）已知函数.
(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；
【答案】（Ⅰ）；
试题解析：（Ⅰ）由题意，
所以，当时，，，
所以，
因此，曲线在点处的切线方程是，
即.
23．（2017·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
【答案】(Ⅰ)；
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
24．（2016·北京·高考真题）设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
【答案】（Ⅰ）;
【详解】试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程；
试题解析：（Ⅰ）由，得．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为．

25．（2016·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
【答案】（Ⅰ），；
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
依题设，即
解得.
26．（2016·全国·高考真题）已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
【答案】（1）
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
27．（2015·重庆·高考真题）设函数
（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
【答案】（1），切线方程为；
试题解析：（1）对求导得
因为在处取得极值，所以，即.
当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得
28．（2015·全国·高考真题）已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
【答案】（Ⅰ）；
试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.
因此，当时，轴是曲线的切线.
29．（2015·天津·高考真题）已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
【答案】（Ⅰ） 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）见解析； 【详解】（Ⅰ）由，可得，其中且，
下面分两种情况讨论：
（1）当为奇数时：
令，解得或，
当变化时，的变化情况如下表：

所以，在，上单调递减，在内单调递增.
（2）当为偶数时，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
所以，在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则
由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.
30．（2015·山东·高考真题）设函数. 已知曲线 在点处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求的值；
【答案】（Ⅰ） ；
【详解】（Ⅰ）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，
又所以.
31．（2015·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为2.
试题解析：（1），利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程：

考点02 具体函数的单调性
1．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.
【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可；
【详解】（1），
当时，；当，；
在上单调递减，在上单调递增.
则的单调递减区间为，单调递增区间为.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)在上单调递减
【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
【详解】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析.
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
【详解】（1）

令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
5．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
【详解】（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
6．（2020·全国·高考真题已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
【答案】（1）的减区间为，增区间为；
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
【详解】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
7．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
【答案】（1）增区间是，，减区间是；
【分析】（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；
【详解】（1）当a=3时，，．
令解得x=或x=．
由解得：；
由解得：．
故函数的增区间是，，减区间是．

考点03 含参函数的单调性
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
【详解】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
2．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；
（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
4．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
【详解】（1），
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
5．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
【答案】(1)
(2)在上单调递增.
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为，    
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
7．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
【答案】(1)见解析
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
【详解】(1)，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
8．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
【答案】（1）的减区间为，增区间为；
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
9．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.
【详解】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
11．（2020·全国·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间
【分析】（1）[方法三]不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数 ，再求导得到，根据的正负，判断 的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.
【详解】（1）
[方法一]【最优解】：
等价于．
设，则．
当时，，所以在区间内单调递增；
当时，，所以在区间内单调递减．
故，所以，即，所以c的取值范围是．
[方法二]：切线放缩
若，即，即当时恒成立，
而在点处的切线为，从而有，
当时恒成立，即，则．所以c的取值范围为．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数的定义域为：
，
设，则有 ，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范围为．
（2）且
因此，设 ，
则有，
当时，，所以， 单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减，
所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间.
【整体点评】(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；
方法二切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是使用切线放缩的基础.
方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.
12．（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；
【详解】(1)由函数的解析式可得：，则：

，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
13．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1.
（I）求函数的单调区间；
【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为
【分析】（I）由题意可得，由以及即可解出；
【详解】（I）由已知，，有.
令，解得x=0.
由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：
x

0

0
+

极小值

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
14．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【答案】（1）答案见解析；
【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间；
【详解】（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
15．（2017·全国·高考真题）已知函数
（1）讨论的单调性；
【答案】（1）见解析；
试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
16．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
【答案】（I）单调递增区间为，，单调递减区间为.
试题解析：（I）由，可得
，
令，解得，或.由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
17．（2017·天津·高考真题）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
【答案】（Ⅰ）增区间是，，递减区间是.
试题解析：（Ⅰ）解：由，可得，
进而可得.令，解得，或.
当x变化时，的变化情况如下表：
x

+
-
+

↗
↘
↗
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.
18．（2017·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
【答案1）见解析；
【详解】（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
19．（2017·全国·高考真题）设函数.
（I）讨论函数的单调性；
【答案】（I）函数在和上单调递减，在上单调递增.
试题解析： 解（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex
令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+
当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1+，+∞）时，f’(x)<0
所以f(x)在（-∞，-1-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增
20．（2016·山东·高考真题）设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.
（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；
试题解析：（Ⅰ）由
可得，
则，
当时，
时，，函数单调递增；
当时，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减.
所以当时，单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.
21．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I讨论f(x)的单调性；
【答案】（I） 见解析
试题解析：（Ⅰ）
<0，在内单调递减.
由=0，有.
此时，当时，<0，单调递减；
当时，>0，单调递增.
22．（2016·全国·高考真题）已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
【答案】（Ⅰ）见解析；
【详解】（Ⅰ）
当，则当时，；当时，.
所以f（x）在单调递减，在单调递增.
当，由得x=1或x=ln（-2a）.
①若，则，所以在单调递增.
②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
③若，则，故当时，，
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
23．（2016·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据求a,b的值即可；
（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
依题设，即
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由及知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，.故的单调递增区间为.
【考点】导数的应用；运算求解能力
【名师点睛】用导数判断函