求此简谐振动的表达式.pptx

机械振动机械振动第六章第六章 机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。物体在一定位置附近作来回往复的运动。广广义义振振动动：任任一一物物理理量量(如如电电量量、电流等电流等)在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。一、一、简谐振动的描述简谐振动的描述6-1 简谐振动简谐振动 物体运动时，离开物体运动时，离开平衡位置平衡位置的位移的位移(或角位移或角位移)随随时间按时间按余弦余弦或或正弦正弦函数变化函数变化.mxmx以弹簧振子为例以弹簧振子为例mO 1.运动方程运动方程振振幅幅A 物物体体离离开开平平衡衡位位置置的的最大距离最大距离,决定于初始条件决定于初始条件.周周期期T 物物体体完完成成一一次次全全振振动动所需时间所需时间.mxmx以弹簧振子为例以弹簧振子为例mO 频率频率 :单位时间内振动的次数单位时间内振动的次数.角频率角频率 相位相位 t :决定某时刻的质点决定某时刻的质点的运动状态的运动状态初相位初相位 2.振动速度及加速度振动速度及加速度简谐振动的加速度简谐振动的加速度和位移反向正比和位移反向正比.3.振动初相及振幅由初始条件决定振动初相及振幅由初始条件决定初始条件：当初始条件：当t=0时时,x=x0，v=v0代入代入得得例如：例如：v0=0,x0=A =0 xmO A A k 例例1.一质点沿一质点沿x 轴作简谐振动，轴作简谐振动，A=0.12 m,T=2 s,当当t=0 时时,x0=0.06 m,此时刻质点向此时刻质点向x 正向运动。求此简正向运动。求此简谐振动的表达式。谐振动的表达式。解：解：取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点,设简谐振动表达式为设简谐振动表达式为T=2 s简谐振动的表达式为简谐振动的表达式为初初始始条条件件v0 0 x0=0.06A=0.12 m二、简谐振动的旋转矢量表示法二、简谐振动的旋转矢量表示法1.简谐振动与匀速圆周运动简谐振动与匀速圆周运动匀速圆周运动在匀速圆周运动在x轴上轴上的投影为简谐振动：的投影为简谐振动：2.简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法 xO 旋转矢量旋转矢量简谐振动简谐振动矢量大小矢量大小振幅振幅矢量旋转角速矢量旋转角速度（恒定）度（恒定）角频率角频率t=0时矢量时矢量与与x轴夹角轴夹角初相初相注意：注意：旋转矢量本旋转矢量本身绕起始端匀角速身绕起始端匀角速度逆时针旋转，其度逆时针旋转，其末端在末端在x轴上的轴上的投投影点影点才做才做简谐振动简谐振动。3.两同频率简谐振动的相位差两同频率简谐振动的相位差两个谐振动两个谐振动相位差相位差对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 =2 1初相差初相差若若 =2 1 0,称称x2比比x1超前超前(或或x1比比x2落后落后)。当当=0,两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相当当 =,两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相O xA1A2 O xA1A2 O xA1A2 用旋转矢量表示振动相位关系用旋转矢量表示振动相位关系x2比比x1超前超前/2同相同相反相反相x,v,a avx T O tx,v,a O 例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。速度、位移与加速度的相位差。例例2.以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，确定其振动方程图所示，确定其振动方程.x(cm)O t(s)12 1 21 x0O t=0 xA A t=1sA解解:设振动方程为设振动方程为由旋转矢量确定振由旋转矢量确定振动初相位：当动初相位：当 t=0,旋转矢量以旋转矢量以 从从 t=0 到到t=1 转过角度为转过角度为 三、简谐振动的动力学方程三、简谐振动的动力学方程A AO mk 由振动方程由振动方程令令(回复力回复力)反之，如质点所受的力反之，如质点所受的力则质点一定作简谐振动则质点一定作简谐振动.或位移满足或位移满足简谐振动简谐振动微分方程微分方程简谐振动的定义简谐振动的定义运动学定义运动学定义动力学定义动力学定义或或归纳与总结归纳与总结简谐振动的质点所受的合外力与它相简谐振动的质点所受的合外力与它相对于平衡位置位移成正比而反向。对于平衡位置位移成正比而反向。固有角频率固有角频率四、简谐振动实例四、简谐振动实例1弹簧振子弹簧振子选选平衡位置平衡位置为原点为原点位移为位移为x处，物体所受的的处，物体所受的的合外力合外力满足简谐振动的动力学定义满足简谐振动的动力学定义,物体一定作简谐振动物体一定作简谐振动.由由牛顿第二定律牛顿第二定律角频率角频率完全由振动系统本生的性质决定。完全由振动系统本生的性质决定。固有周期固有周期固有频率固有频率振动方程振动方程A AO mk 2.单摆单摆当当 5 时，时，摆球角位移为摆球角位移为 时时受的合外力受的合外力平衡位置平衡位置：=0.谐振动微分方程谐振动微分方程结论结论：单摆的单摆的小角度摆动小角度摆动是简谐振动。是简谐振动。3.复摆复摆绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。令令小幅摆动时小幅摆动时角位移角位移，回复力矩回复力矩 M=mghsin M=mgh 由刚体的由刚体的转动定律转动定律或或谐振动微谐振动微分方程分方程结论结论：复摆的复摆的小角度小角度摆动摆动是简谐振动。是简谐振动。拓展与思考拓展与思考由能量守恒建立简谐振动微分方程由能量守恒建立简谐振动微分方程xmO k x 很小很小(5)，线性谐振动线性谐振动角谐振动角谐振动简谐振动的判断及振动方程的确定简谐振动的判断及振动方程的确定归纳与总结归纳与总结0+m m悬线悬线平衡位置平衡位置固定端固定端例如：对图示的扭摆，例如：对图示的扭摆，圆盘的转动惯量为圆盘的转动惯量为J 为扭转常数，取为扭转常数，取决于决于悬线的长度、悬线的长度、直径及材料。直径及材料。例例3.如图如图m=2 10-2kg,弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时,x0 9.8cm,v0=0(1)取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点，写出振动方程；写出振动方程；(2)若取若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点，写出振动方程写出振动方程,并计算振动频率。并计算振动频率。解：解：(1)确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 k=mg/l 令向下有位移令向下有位移 x,则则 f=mg k(l+x)=kx系统作谐振动，设振动方程为系统作谐振动，设振动方程为9.8cmmO x m由初始条件得由初始条件得由由x0=Acos 0=0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0,cos 0=0 0=/2,3/2 v0=A sin 0 ,sin 0 0,取取 0=3/2 x=9.8 10-2cos(10t+3/2)m对同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振动取不同的计时起点 不同，但不同，但、A不变不变固有频率固有频率9.8cmmO x m x0 9.8cm,v0=0例例4.如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、轻弹簧、一半径为一半径为R、转动惯量为、转动惯量为J的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.解：解：将将m的平衡位置取为的平衡位置取为坐标原点，设平衡位置对坐标原点，设平衡位置对应的弹簧伸长量为应的弹簧伸长量为 l0,则则mxO R,Jk当当m有位移有位移x时时联立得联立得mxO R,Jkm物体作简物体作简谐振动谐振动谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数五、简谐振动的能量五、简谐振动的能量系统的机械能守恒系统的机械能守恒xtotTo EEk(t)Ep(t)振动能量曲线振动能量曲线例例5.一弹簧振子沿一弹簧振子沿x轴作简谐振动，弹簧倔强系轴作简谐振动，弹簧倔强系数为数为k，物体质量为，物体质量为m，简谐振动振幅为，简谐振动振幅为A。求。求弹簧振子的动能为势能的弹簧振子的动能为势能的3倍时的位置倍时的位置x。解：解：另解：另解：一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动,其频率仍为其频率仍为 质质点点同同时时参参与与同同方方向向同同频频率率的谐振动的谐振动:合振动合振动:6-2 简谐振动的合成简谐振动的合成x1x2 1 2 xA1AA2如如 A1=A2,则则 A=0，两个同幅反相的振动合成，两个同幅反相的振动合成的结果将使质点处于静止状态。的结果将使质点处于静止状态。合振动的振幅取得最大，两分振合振动的振幅取得最大，两分振动相互动相互加强。加强。合振幅最小合振幅最小，两分振动相互减弱。两分振动相互减弱。两个重要特例两个重要特例若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相:合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中随随t 缓变缓变随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二二.两个同方向频率相近简谐振动的合成两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍拍分振动分振动合振动合振动当当 2 1时时,拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频:单位时间内加强或减弱的次数单位时间内加强或减弱的次数 =|2 1|xt tx2t tx1t tBeat phenomenon拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别就准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就被会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就被校准了。校准了。微波测速雷达：微波测速雷达：被测物体移动时，由于直达波和反被测物体移动时，由于直达波和反射波混合的结果在接收检波器上混频出差拍信号，射波混合的结果在接收检波器上混频出差拍信号，该差拍信号的频率和移动物体速度成线性关系。该差拍信号的频率和移动物体速度成线性关系。拍的应用拍的应用三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动合振动分振动分振动合合振动质点的轨迹方程振动质点的轨迹方程为椭圆方程为椭圆方程.两相互垂两相互垂直同频率直同频率不同相位不同相位差简谐振差简谐振动的合成动的合成四、四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 轨迹称为轨迹称为李萨如图形李萨如图形对于两个频率不相同的谐振动，其相位差对于两个频率不相同的谐振动，其相位差不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。只有在两振动的的轨迹。只有在两振动的频率成简单的整数比频率成简单的整数比时，才有稳定的轨迹。时，才有稳定的轨迹。李李萨萨如如图图形形 解：解：(1)式中式中t以秒计，以秒计，x以厘米计。以厘米计。(1)求求x1和和x2合振动的振幅和合振动的振幅和初相位。初相位。(2)如果如果x1和和x3合成振幅最大，则合成振幅最大，则 3取何值？取何值？如如果果x2和和x3合成振幅最小，则合成振幅最小，则 3取何值？取何值？例例6.三个同方向的简谐振动分别为三个同方向的简谐振动分别为式中式中t以秒计，以秒计，x以厘米计。以厘米计。(1)求求x1和和x2合振动的振幅和合振动的振幅和初相位。初相位。(2)如果如果x1和和x3合成振幅最大，则合成振幅最大，则 3取何值？取何值？如如果果x2和和x3合成振幅最小，则合成振幅最小，则 3取何值？取何值？例例6.三个同方向的简谐振动分别为三个同方向的简谐振动分别为解：解：(2)x1和和x3合成振幅最大合成振幅最大,x1和和x3同相同相x2和和x3合成振幅最小合成振幅最小,x1和和x3反相反相一、一、阻尼振动阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。6-3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动和共振受迫振动和共振固定端固定端 m叶片叶片 阻尼系数阻尼系数 kx物体以不大的速率在粘性介质中运动时物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻尼系数阻尼系数由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得l0=mg/k 系统固有角频率系统固有角频率阻尼因子阻尼因子弱阻尼弱阻尼阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减过阻尼过阻尼过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来回到平衡位置并停下来A C B tx(t)tx(t)b c a tx0阻尼振动的应用阻尼振动的应用在实际生产和生活中，常根据不同的要求，通过不在实际生产和生活中，常根据不同的要求，通过不同的方法来控制阻尼的大小。例如，同的方法来控制阻尼的大小。例如，各种机器，为了减震、防震，都要加大摩擦阻尼。各种机器，为了减震、防震，都要加大摩擦阻尼。各种声源、乐器，总希望它能辐射足够大的声各种声源、乐器，总希望它能辐射足够大的声 能，能，就需要加大其辐射阻尼，各种乐器上的空气箱就起就需要加大其辐射阻尼，各种乐器上的空气箱就起这种作用。这种作用。在灵敏电流计中，为了尽快地、在灵敏电流计中，为了尽快地、较准确地进行读数测量，常使电流较准确地进行读数测量，常使电流计的偏转系统处于临界阻尼状态下计的偏转系统处于临界阻尼状态下工作。因为临界阻尼与过阻尼和弱工作。因为临界阻尼与过阻尼和弱阻尼状态相比，振动物体回到平衡阻尼状态相比，振动物体回到平衡位置的时间最短。位置的时间最短。二、二、受迫振动受迫振动受迫振动：受迫振动：振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。这种周期性的外力称为这种周期性的外力称为驱动力驱动力。系统在弹性力、阻力和驱动系统在弹性力、阻力和驱动力的作用下，其运动方程为力的作用下，其运动方程为令令受迫振动的微分方程受迫振动的微分方程 mkxO =/2 阻尼振动阻尼振动在阻尼较小的情况下的通解在阻尼较小的情况下的通解经过一段时间后，减经过一段时间后，减幅振动可以忽略不计。幅振动可以忽略不计。系统达到稳定状态后系统达到稳定状态后的振动为一稳定的等幅的振动为一稳定的等幅振动。振动。受迫振动的稳定状态为受迫振动的稳定状态为受迫振动微分方程受迫振动微分方程A O xt(1)角角频率频率:等于驱动力的角频率等于驱动力的角频率 (3)初相初相:特点特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化。稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化。(2)振幅振幅:受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与振动系统的性质件，而与振动系统的性质(固有角频率、质量固有角频率、质量)、阻阻尼的大小和驱动力的特征有关。尼的大小和驱动力的特征有关。讨论讨论受迫振动的稳态解受迫振动的稳态解最大振幅为最大振幅为如如 0 0 ，r=0,即即驱动力驱动力的角频率等于振动系统的固的角频率等于振动系统的固有角频率时，振幅达到最大有角频率时，振幅达到最大值。这种现象叫值。这种现象叫共振共振。三共振三、共振受迫振动的振幅受迫振动的振幅与驱动力的角频率与驱动力的角频率 有关。令有关。令dA/d =0，可得与振幅可得与振幅极大值对应的角频率为极大值对应的角频率为A 0在共振时，在共振时，=0共振原因的进一步分析共振原因的进一步分析受迫振动的振动方程受迫振动的振动方程初相初相则则 =/2振动速度，振动速度，这说明，振动速度和驱动力同相这说明，振动速度和驱动力同相(F=Acos t)，因，因而，驱动力总是对系统做正功，系统能最大限度地而，驱动力总是对系统做正功，系统能最大限度地从外界得到能量。这就是共振使振幅最大的原因。从外界得到能量。这就是共振使振幅最大的原因。驱动力驱动力受迫振动的微分方程受迫振动的微分方程共振的利与弊共振的利与弊共振现象在实际中有着广泛的应用共振现象在实际中有着广泛的应用：钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使其成为了一共鸣盒，以提高音响效果；收音机的调其成为了一共鸣盒，以提高音响效果；收音机的调谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台；原子谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台；原子核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊断等。断等。共振的利与弊共振的利与弊共振现象也有其危害性：共振现象也有其危害性：例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生强烈的共振而受到损坏。强烈的共振而受到损坏。18世纪中叶，一队拿破仑士兵在指挥官的口令下，世纪中叶，一队拿破仑士兵在指挥官的口令下，迈着威武雄壮、整齐划一的步伐，通过法国昂热迈着威武雄壮、整齐划一的步伐，通过法国昂热市一座大桥，快走到桥中间时，桥梁突然发生强市一座大桥，快走到桥中间时，桥梁突然发生强烈的颤动并且最终断裂坍塌，造成许多官兵和市烈的颤动并且最终断裂坍塌，造成许多官兵和市民落入水中丧生。造成这次惨剧的罪魁祸首，正民落入水中丧生。造成这次惨剧的罪魁祸首，正是共振！因为大队士兵齐步走时，产生的一种频是共振！因为大队士兵齐步走时，产生的一种频率正好与大桥的固有频率一致，使桥的振动加强，率正好与大桥的固有频率一致，使桥的振动加强，当它的振幅达到最大限度直至超过桥梁的抗压力当它的振幅达到最大限度直至超过桥梁的抗压力时，桥就断裂了。时，桥就断裂了。共振的利与弊共振的利与弊声音杀人声音杀人 听不到的声音听不到的声音次声，频率低于次声，频率低于20赫兹，人赫兹，人体内脏固有频率和次声频率接近，外来次声会体内脏固有频率和次声频率接近，外来次声会引起引起人体无法忍受的颤抖，从而产生视觉障碍、定向力人体无法忍受的颤抖，从而产生视觉障碍、定向力障碍、恶心等症状，甚至还会出现可导致死亡的内障碍、恶心等症状，甚至还会出现可导致死亡的内脏损坏或破裂。脏损坏或破裂。共振现象也有其危害性：共振现象也有其危害性：例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生强烈的共振而受到损坏。强烈的共振而受到损坏。由开有许多小孔的孔板和由开有许多小孔的孔板和空腔所构成，当传来的噪空腔所构成，当传来的噪声频率与消声器的固有频声频率与消声器的固有频率相同时，就会跟小孔内率相同时，就会跟小孔内空气柱产生剧烈共振。这空气柱产生剧烈共振。这样，相当一部分噪声能在样，相当一部分噪声能在共振时被共振时被“吞吃吞吃”掉。掉。公路隔音墙公路隔音墙措施措施：破坏外力的周期性、改变物体的固有频率、破坏外力的周期性、改变物体的固有频率、改变外力的频率、增大系统的阻尼等。改变外力的频率、增大系统的阻尼等。共振的利与弊共振的利与弊简谐振动微分方程简谐振动微分方程一、简谐振动的定义一、简谐振动的定义动力学定义动力学定义或或简谐振动表达式简谐振动表达式弹性力或准弹性力弹性力或准弹性力运动学定义运动学定义振幅、角频率相位、初相振幅、角频率、相位、初相总总 结结二、简谐振动实例二、简谐振动实例xmO k x 5 5 总总 结结三、简谐振动的能量三、简谐振动的能量同方向、同频率谐振动的合成；合振动的振幅决定同方向、同频率谐振动的合成；合振动的振幅决定于两份振动的振幅和相位差。于两份振动的振幅和相位差。两个同方向频率相近简谐振动的合成，产生两个同方向频率相近简谐振动的合成，产生拍拍现象。现象。拍频等于两分振动的频率差。拍频等于两分振动的频率差。两个相互垂直的同频率简谐振动的合成；合振动轨两个相互垂直的同频率简谐振动的合成；合振动轨迹一般为椭圆，其具体形状决定于两分振动的相位迹一般为椭圆，其具体形状决定于两分振动的相位差和振幅。差和振幅。四、简谐振动的合成四、简谐振动的合成五、阻尼振动五、阻尼振动 受迫振动和共振受迫振动和共振总总 结结