平方可积函数.doc

平方可积函数的认识
1、平方可积函数的来源与定义
平方可积函数是连续物理过程，而连续是由离散情况变化而来，因此这里将首先引入离散情况。
现在考虑一个问题：要测量某个物理量在不同条件下的值，设有个温度值，第一次测量结果是：

第二次测量结果是：

评估两次测量的偏差，最直接的设想是计算每个温度下测量偏差之和：

其实就是平均值，但是这并不能反映真实情况，因为各项有正有负可能抵消，在极端的情况下，平均值可以为0，而实际上两次测量可以存在很大误差。于是，采用：

这虽然避免了正负相消，但是绝对值是很不方便运算的，因此考虑更常见的

但是的量纲很明显的不对，于是对上式进行开方得到：

的量纲显然与测量值、一致，因此它是合理的。
称为方差，称为标准差。上述考虑的是离散情况下，如果观测的物理量对温度的变化是连续进行的，则相应的会有两个函数和。类似于上式，存在函数平方的积分。总之，经过发现可以得出把一个函数平方再积分，用这个量来刻画函数性质在种种物理过程中是十分有效的。
由于已知黎曼积分本质上是适用于连续函数的积分，但是由于统计思想的深入，不得不考虑连续函数或不光滑函数。因此，这里的积分考虑的是勒贝格积分理论。
定义1设是上的可测函数，而且在上可积，这种函数的集合称为平方可积函数空间，记作（或简单记作）。
2、平方可积函数的长度与角度
定义空间的基本思想就是希望它尽可能的与欧式空间在几何上接近。已知欧式空间的几何学有两个基本的量，一个是长度，一个是角度。然而离散情况下的长度是，现在就引出两个函数和下的长度。
定义2设、，定义的模（或称范数，就是长度）为

定义实空间中和内积为

复空间中和内积为

上述给出的都是空间中函数长度的计算方法，下面将角度引入到空间中。
根据空间中两个向量，余弦定律是，则一定有。即存在一个角使定律成立，所以把角度引入中，就应该亦存在与余弦定理相应的不等式。
定理3（Schwarz不等式）若、为实值或者是复值函数，则下式成立：

而且等号当且仅当与几乎处处相差一个常数因子时成立。
3、空间中规范正交系
定义3若两个函数之内积为0，则说它们相互正交，若一个函数范数为1，就称为归一的，规范的（归一函数自然不会几乎处处为0），若一个函数序列适用，则称为一个归一或规范正交系（简记）。
若而为中，则有贝塞尔不等式成立：

定义4若是中，若再没有一个非（即不处处为0）的函数与一切正交，就说是完全的。
定理5为完全的必要充分条件是对任意的有等号成立：

被称为封闭式方程或帕塞瓦尔等式。
定理6 设是中一个柯西序列，即对任一，均有存在，使当时，则必存在唯一的，使而且。
在中可以找到完全的后，任意的就可以展开为一下形状的级数

称它为之关于的傅里叶级数，已知此级数在意义下收敛于，拍斯维尔等式指出

由于函数与一个序列对应：

可以很容易得到，双方是一对一的，而且保持线性空间结构，，因此有内积和范数，如若还有另一个对应于，则，，可以证明

因此，在集合中也可以引入内积和范数

这里，。在这个集合中引入线性结构有上述定义的内积与范数后，可以得到一个空间，记作。和是线性同构的，这个同构是由中的一个完全的来实现的，选择不同的得到不同的同构，但总是同构的，这个同构还是等距的。
与同构，而是一个含有无穷多个线性无关向量的基底，例如，所以是无穷维向量。所以与其同构的也是无穷维的，而上述的基底就对应于的一个完全。
综上，空间是具有无穷维的欧式空间的结构，且性质简单而丰富，仅次于空间。

4