现代逻辑：谓词逻辑.doc

第五章 非形式的一阶谓词逻辑

本章和下一章都属于现代谓词逻辑。这一章主要介绍一阶谓词逻辑的基本概念、形式结构和语义，是一阶谓词演算的理论基础。

§1 从传统谓词逻辑到现代谓词逻辑

传统谓词逻辑主要是研究性质命题及其推理(以三段论为核心)的逻辑。在传统谓词逻辑中，所有的命题都是仅仅具有如下四种形式的命题：
A——所有的S都是P
E——所有的S都不是P
I——有些S是P
O——有些S不是P
至于具有“这个S是P”和“这个S不是P”之形式的命题则被笼统地处理成相应的A命题和E命题。无疑，对于可以分析成这种形式的命题来说，传统谓词逻辑中的方法很有实用性。但这种分析方法同时也存在着很大的局限性和过于笼统化。试看如下命题：
(1)张三比李四年纪大。
(2)上海位于南京和杭州之间。
(3)有的提案得到了所有议员的欢迎。
它们和具有上述A、E、I、0四种形式的命题有着明显的区别，称为关系命题，即表达个体对象之间是否具有某种关系。由这些命题构成的推理称为关系推理。例如：
张三比李四年纪大，
李四比王五的年纪大
所以，张三此王五的年纪大。
直观上看，这个推理是有效的，并且其有效性正在于命题的内部结构。类似这个推理的关系推理显然应该成为着重分析命题内在逻辑结构的谓词逻辑的研究对象。但关系命题和关系推理都超出了传统谓词逻辑力所能及的范围。传统谓词逻辑仅仅研究性质命题；而且仅仅研究三段论或是对性质命题的形式稍作变化的推理。
尽管传统谓词逻辑也属于谓词逻辑，但它对谓词的研究极其有限。谓词有多种类型。有一元、二元乃至多元谓词，有一阶、二阶乃至高阶谓词。一元谓词是表示一个个体对象的性质的谓词，二元及二元以上的谓词则是表示两个或两个以上的个体对象之间的关系的谓词。传统谓词逻辑所研究的性质命题是只包含一元谓词的命题，三段论也仅是关于一元谓词的逻辑理论。对于包含二元及二元以上的谓词的关系命题及其相关的关系推理形式，传统谓词逻辑完全没有研究。其根本原因在于传统谓词逻辑的理论体系根本无法表达这类命题和推理。自传统谓词逻辑产生以来，早就有逻辑学家意识到了这一问题，并且做了大量的工作企图去弥补这一缺陷(可参阅一些论及关系命题和关系推理的以传统逻辑为主的逻辑教材或著作)。但事实证明，凡是在传统谓词逻辑理论框架内去解决这一问题，都是不会取得令人满意的结果的；而对于现代谓词逻辑来说，解决这一问题是一件轻而易举的事。关系命题及其推理是现代谓词逻辑的最基本内容，在其理论体系中，关系命题及其推理与性质命题及其推理并无实质性的区别，仅仅是包含不同的谓词而已。
谓词逻辑重在研究量词的逻辑性质。传统谓词逻辑把量词归结为“所有”和“有些”，并进而把命题归结为全称命题和特称命题，而对于日常语言中经常出现的单称命题基本上是回避。为了不致使其理论产生矛盾，对量词理论采取了种种限制，例如规定被量词约束的词项不能是空类等。在现代谓词逻辑中，一切词项都可以是空类，逻辑应该尽量满足一切可能性，只有这样才具有普遍应用性。传统逻辑采取“限制”的办法从根本上说是不得已的。实际上，如果取消这一限制，传统谓词逻辑理论除了极少的一部分外，基本上都是无效的。因此，这种理论就不具备任何完整性。更为重要的是，量词是和谓词的元数相关的。一个仅含有一元谓词的命题是一种最简单的情形，是谓词逻辑所研究的最基本命题。对于包含多元谓词的命题，情况马上变得复杂起来。因为量词的某些逻辑性质，只有在量词同时出现的场合下才充分显示出来也只有在这种情况下，才能体现出量词的重要意义。由于传统谓词逻辑完全没有研究包含多元谓词和多重量词的关系逻辑，在传统逻辑的框架内就不可能揭示出量词的重要逻辑性质和规律。这使得传统谓词逻辑的内容贫乏，应用范围狭窄。
造成传统谓词逻辑的局限性和缺陷的根本原因在于其研究工具。传统谓词逻辑主要是用自然语言建立起来的逻辑理论，即使后来的一些逻辑学家引入了许多现代逻辑符号也不能从根本上解决问题，因为这些符号在相当大的程度上是对传统逻辑所使用的自然语言的一种缩写，其本意不是并且实际结果也不能使逻辑理论尤其是推理系统化、严格化。逻辑和数学一样，作为一门工具性的科学，其本身的语言和理论应该相当精确而严格，不能有任何歧义。而自然语言具有不可克服的歧义性和多义性，用自然语言极易混淆不同的逻辑关系，如“是”这个词项，在不同的命题中可以表达许多不同的逻辑关系。自然语言不仅不能精确地表述各种逻辑形式和逻辑规律，而且也不能构造逻辑演算。后者在现代逻辑理论中已被证明是多么的重要，离开了逻辑演算的逻辑理论是很难想象的。现代谓词逻辑克服了传统谓词逻辑的局限性，因为它系统地使用了不会产生任何歧义的符号，尤其是表达个体变元、谓词变元和量词的符号，并在此基础上应用了形式化方法，因而就可以把性质命题、关系命题及其推理纳入谓词逻辑的统一体系之中，构造严密而精确的谓词演算。现代谓词逻辑把传统谓词逻辑的研究对象作为自己研究对象的一部分，运用现代逻辑的工具重新去描述传统谓词逻辑理论。从考察推理的逻辑形式以确定推理的有效性——这一点正是逻辑理论的核心所在——的角度看，现代谓词逻辑可以取代传统谓词逻辑。除了作为逻辑发展史中的一种逻辑理论的价值外，传统谓词逻辑的存在意义也仅仅在于它比较直观，符合人们的日常思维习惯。
现代谓词逻辑是现代逻辑最基本的逻辑理论。它把命题逻辑作为自己的子系统，或者说，现代谓词逻辑是命题逻辑理论一致性的扩充。但为了研究的方便，我们把命题逻辑作为一个独立的系统，在第二、三章首先介绍，而在谓词逻辑中则系统地研究量词理论。现代谓词逻辑可分为一阶谓词逻辑和高阶谓词逻辑。一阶谓词逻辑是只研究一阶谓词(即仅指称个体对象的性质或个体对象之间的关系，而不指称个体对象的性质的性质、性质之间的关系或个体对象之间的关系的关系、关系的性质的谓词)和个体量词(即只约束个体对象，而不约束个体对象的性质或个体对象之间的关系的量词)的谓词逻辑，又称狭义谓词逻辑，是现代谓词逻辑中研究得最彻底最成熟的逻辑理论。由于高阶谓词逻辑最终可以化归为一阶谓词逻辑。所以我们在本书中也只介绍一阶谓词逻辑。

§2 命题的一阶谓词逻辑分析

一阶谓词逻辑主要研究量化命题。本节在运用一阶谓词逻辑语言着重分析量化命题的同时，也分析不含量词的原子命题，并对这些命题进行符号化。首先引入几个基本概念。
一、个体词、个体函数词、谓词
考察下面一组命题或命题函数:
(1)3是质数。
(2)约翰的父亲是英国人。
(3)所有的x都是化合物。
(4)张三与李四是同学。
(5)上海在杭州与北京之间。
其中，“3”、“约翰”、“x”、“张三”、“李四”、“上海”、“杭州”、“北京”表示的都是个体对象。在现代谓词逻辑中，用来指称这些个体对象的符号称为个体词。个体词又分为个体变元(或个体变项)和个体常元(或个体常项)。个体常元指称某一确定的具体对象，例如指称个体对象“3”、“约翰”、“张三”、“李四”、“上海”、“杭州”、“北京”的个体词就是个体常元。个体变元指称某一个体对象类中任意的个体，如例(3)中的“x”，其中的个体对象类是个体的取值范围，称为论域或个体域。个体常元一般用a，b，c，…来表示，个体变元则用x，y，z来表示。
我们注意到，例(2)与例(1)是有差别的。例(1)的主项(为表述的方便，借用传统谓词逻辑“主项”这一概念)是某个确定的个体对象本身，而例(2)的主项尽管也是某个确定的个体对象，但它是由另一个确定的对象通过某种关系确定下来的，这种关系就是函数关系。如该例中的“……的父亲”。再如“2的平方是偶数”中的主项也是由个体对象“2”通过函数关系“……的平方”来确定的。由于这种函数的定义域是个体对象，值域也是个体对象，因此，指称这种函数关系的符号就称为个体函数词，简称函数词。个体函数词代表的是一种对个体对象的运算，实质上起的是个体词的作用。在前述的例子中，“约翰的父亲”指称的是个体常元，“2的平方”指称的也是个体常元“4”。因此，可以把个体函数词作为一种特殊的个体词。
谓词是指称对象(在一阶谓词中是个体对象)所具有的性质或对象之间所具有的关系的符号。谓词可以分为谓词常元(或谓词常项)和谓词变元(或谓词变项)。表示某一确定论域中的特定的性质或关系的谓词称为谓词常元，如前例中的“是质数”、“是英国人”、“是化合物”、“是同学”、“在……之间”。不表示某一确定论域中的特定性质或关系的谓词称为谓词变元。谓词变元一般用符号F，G，H…来表示。根据谓词指称的个体对象的数目(称为元数)，可以
把谓词分为一元谓词、二元谓词，……，n元谓词。一元谓词只指称一个个体对象，显然表达的就是个体对象的性质，如“是质数”、“是英国人”、“是化合物”就是一元谓词。二元谓词指称两个个体对象，表达的是其间的关系，如“是同学”。三元谓词表达的是三个个体对象之间的关系，如“在……之间”。谓词的元数可以明确地标示出来，如F1表示F是一元谓词，G2表示G是二元谓词，等等。
二、量词
量词是谓词逻辑中最重要的研究对象。谓词逻辑也因之称为量词逻辑。
量词是构成简单命题的成分。简单命题分为不含有量词(仅含有个体词或函数词、谓词)的原子命题和含有量词的量化命题。原子命题是谓词逻辑中最简单的命题，而谓词逻辑的逻辑特征主要通过量化命题显示出来，因此谓词逻辑所研究的简单命题主要是量化命题。
量词是表示被其约束的对象的数量的逻辑符号。依据它所指的是某对象类中的所有对象还是至少一个对象，量词可分为全称量词和存在量词。全称量词用“"”表示，自然语言中的“所有”“凡”、“任一个”、“每一个”、“一切”等都表示全称量词。其准确含义是“对任一……来说”。存在量词用“$”表示，自然语言中的“有些”、“有的”、“至少有些”等表示的都是存在量词。其准确含义是“至少存在一个……”。根据量词所约束的对象是个体词还是谓词，可以把量词分为一阶量词、二阶量词以至高阶量词。一阶量词是只约束个体词的量词，即这种量词所限制的只是个体对象。一阶谓词逻辑只研究一阶量词。二阶量词所约束的是一阶谓词，三阶量词所约束的是二阶谓词，依此类推，它们都是高阶谓词逻辑的研究对象。
有了个体词、个体函数词、一阶谓词、一阶量词等概念和符号，就可以对命题进行逻辑分析和符号化。根据是否含有量词可以把命题分为量化命题和原子命题。根据命题的复杂度又可把命题又可以分为简单命题和复合命题。下面将按这两种标准，对命题进行符号化。
三、原子命题的符号化
原子命题可以分为简单原子命题和复合原子命题。
1.简单原子命题的符号化
简单原子命题是不含有量词的简单命题。下列命题都是简单原子命题：
(1)3是质数。可符号化为：F(a)。
(2)张三与李四是同学。可符号化为：G(a，b)。
(3)上海在杭州与北京之间。可符号化为：H(a，b，c)。
(4)约翰的父亲是英国人。可符号化为:F(f(a))。
以上简单原子命题符号化后的表达式称为简单原子命题形式，简称简单原子式。简单原子式也可以是简单原子命题函数(关于命题与命题函数之区别将在后面详述)的逻辑形式。
例如:
(1)x等于y与3之和。可符号化为：H(x，y，a)。
(2)x是化合物。可符号化为：F(x)
H(x，y，a)与F(x)也都是简单原子式。
2.复合原子命题的符号化
复合原子命题是由联结词和简单原子命题构成的复合命题。复合原子命题或复合原子命题函数符号化后的表达式称为复合原子式。考虑以下命题(函数):
(l)x不是有理数。可符号化为:﹁F(x)。
(2)亚里士多德既是哲学家，又是逻辑学家。可符号化为F(a)∧G(a)。
(3)或者甲是被告，或者乙是被告。可符号化为：F(a)∨F(b)。
(4)如果x能被2整除，那么y也能被2整除。可符号化为:H(x，a)→H(y，a)。
(5)张三尊敬李四，当且仅当李四也尊敬张三。可符号化为:H(a，b)↔H(b，a)。
符号化后的这五个表达式是最基本的复合原子式，它们均分别只含有二个联结词。由复合原子式通过联结词可构成多重复合原子式。例如:
(6)F(x)∨﹁F(x)
(7)F(x)→(G(y)→F(x)∧G(y))
(8)F(x)∧G(y)→(F(x)↔G(y))
都是多重复合原子式。"
四、量化命题的符号化
1.量化命题和量化式
含有量词的命题称为量化命题。量化命题(或命题函数)符号化后的表达式称为量化命题形式。简称量化式。
量化式可以分为基本重化式和复合量化式。
基本量化式是仅由量词和简单原子式构成的命题形式。例如，
以下命题形式都是基本量化式:
(l)"xF(x)
(2)$yG(y)
(3)"x$yH(x，y)
(4)$x"yH(x，y)
(5)"x"yH(x，y)
(6)$x$yH(x，y)
复合量化式是由量词和复合命题形式组成的命题形式。例如，
下列命题形式均是复合量化式，
(l)"x﹁F(x)
(2)﹁"xF(x)
(3)"x(F(x)↔$(y))
(4)$y（A∧B)
(5)"x(A→B)
(6)"xA∨$yB
2.对传统谓词逻辑A、E、I、0四种命题的符号化
一阶谓词逻辑对A、E、I、0四种命题的符号化与传统谓词逻辑有着根本的区别。
首先考虑A命题。例如：
(1)所有的金属都是导电的。
现代谓词逻辑对A命题有两种符号化的方法。
方法一:先设定个体域(论域)，然后再符号化。（1)的个体域是金属，在此前提下，用F表示谓词“是导电的”则(1)可符号化为:
"xF(x)。
方法一存在若明显的缺陷。不同的命题必须设定不同的个体域，这使得个体词是事先带着某种确定的意义作为命题形式的个体变元，从而就使量化式反映不出同类命题形式的共性。更有甚者，当一个命题形式中须要用到多个个体变项时，每一个体变项的论域都必须规定，这极易引起混乱。因此，方法一不具有普遍应用性。
现代谓词过辑一般应用方法二：把性质命题的主项也用谓词表示出来，从而使个体域反映在谓词之中。应用方法二，（1)可以分析为：
对任一个体而言，如果它是金属，那么它是导电的。可以符号化为：
"x(S(x)→P(x))。
该复合量化式具有普遍应用性，其中个体变项x的论域是一切事物，当对S与P作不同的解释时，就可以得到任何A命题。
E命题的符号化类似于A命题。例如：
(2)所有的共产党员都不是有神论者。
可以分析为：对任一个体而言，如果它是共产党员，那么它不是有神论者。符号化为:
"x(S(x)→﹁P(x))。
再看I命题。例如：
(3)有些天鹅是黑色的。
可以分析为，至少存在一个个体，它是天鹅并且是黑色的。符号化为:
$x(S(x)∧P(x))。
我们把I命题分析成上述的合取式，而不是像全称命题一样，分析成蕴涵式：$x(S(x)→P(x))。因为若这样，就会使一假的命题可能成为真命题。例如：
有些人是神仙。
这是一个假命题。若分析为蕴涵式$x(S(x)→P(x))，表示“至少存在一个体，如果它是人，那么它是神仙”。该量化式可变形为$x(﹁S(x)∨P(x))，它表示“至少存在一个体，它或者不是人，或者是神仙”，这等于说“或者存在一个不是人的个体，或者存在一个是神仙的个体。”(因为$x(﹁S(x)∨P(x))↔（$x﹁S(x)∨$xP(x))，我们将在以后证明这一等值式是成立的。)最后这个选言命题很容易满足，是一真命题。这意味着“有些人是神仙”也是真命题。因此，I命题不可用蕴涵式来表示。当用合取式表示时，能够保持与原命题相同的真值。
与此相反，全称命题不可分析为合取式。例如，"x(S(x)→P(x))表示任何是S的东西都是P，而"x(S(x)∧P(x))表示任何东西都既是S，又是P二者含义差别极大。只有前者才是诸如“所有金属都是导电的”等A命题的正确符号化。同样，E命题也不能符号化为"x(S(x)∧﹁P(x))，而应是"x(S(x)→﹁P(x))。
0命题与I命题一样，其命题形式也是分析成合取式。例如:
(4)有些天体不是行星。
可以分析为：“至少存在一个体，它是天体，并且不是行星”。符号化为:
$x(S(x)∧﹁P(x))。
至此，可以把传统谓词逻辑与现代谓词逻辑对四种基本性质命题符号化的不同方法比较一下：
所有S都是P：SAP；"x(S(x)→P(x))
所有S都不是P:SEP；"x(S(x)→﹁P(x))
有些S是P:SIP；$x(S(x)∧P(x))
有些S不是P:SOP；$x(S(x)∧﹁P(x))
两者的根本区别在于现代谓词逻辑引入了个体词和量词，从而丰富了量化理论。通过个体词(x)分别与主项(S)和谓词(P)之间的属于关系，可以精确地描述S和P之间的关系，从而确定性质命题的逻辑形式。全称量词和存在量词的引入使得可以对任意的命题形式进行量化表达，从而克服了传统谓词逻辑只能对主项(S)作出量化表达的局限性。用量化的蕴涵式和量化的合取式分别表示全称命题形式和特称命题形式充分显示了这两种命题形式的严格区别。
四种基本性质命题在一阶谓词逻辑中的逻辑形式都是复合量化式。
3.带量词的关系命题的符号化
在原子命题的符号化中，已经考察了诸如“张三与李四是同学”这样的不带量词的关系命题。接下来分析含有一个或一个以上量词的关系命题。
例(1)：每一事物影响有些事物。若用个体词x表示影响其他事物的事物，用个体词y表示被其他事物影响的事物。用谓词H表示“影响”这一关系，则(1)可以理解为：
对任一个体x而言，都存在一个体y,x与y有H关系。可以符号化为：
(1′) "x$yH(x，y)。
例（2）：有些事物影响每一事物。可以理解为：
至少有一个体x，对任一个体y而言，x与y有H关系。可以符号化为:
(2′) $x"yH(x，y)。
例(3):任一事物影响任一事物。它可以理解为:
对任一个体x，y而言，x与y都有H关系。可以符号化为：
(3′) "x"yH(x，y)。
例(4)，有些事物影响有些事物。可以理解为:
至少存在一个体x，至少存在一个体y,x与y有H关系。可以符号化为：
(4′) $x$yH(x，y)
(1′)-(4′)都是含有两个量词和一个由二元谓词构成的简单原子式的命题形式。它们都是基本量化式。
下面考察更为复杂的例子。
例(5)：有些人尊重所有人。这个命题中的个体词是“人”，它不同于例(1)-(4)的个体词“事物”。前者须要用谓词定义，而后者是指称任何个体，因而无须用谓词定义。(5)可以理解为：
至少存在一个体x，x是人，并且对任一个体y而言，如果y是人，则x尊重y。若用谓词F表示“是人”，用谓词H表示“尊重”，则本命题可符号化为。
(5′) $x（F(x)∧"y(F(y)→H(x，y)))。
例(6):每个人都尊重有些人。这个命题可理解为:
对任一个体x而言，如果x是人，则至少存在一个体y，y是人，并且x尊重y。可符号化为：
(6′) "x(F(x)→$y(F(y)∧H(x，y)))。
例(7)，没有液体能溶解所有的东西，但有些东西能被所有的液体溶解。它可以理解为：
并非至少存在一个体x，x是液体，并且x能溶解所有的y；并且，至少存在一个体y，对任一个体x而言，如果x是液体，则x能溶解y。若用谓词F表示“是液体”，用谓词H表示“溶解”，则(7)可符号化为:
(7′) ﹁$x(F(x)∧H(x，y))∧$y"x(F（x)→H(x，y))
(7)也可以理解为:
并非至少存在一个体x，x是液体，并且x能溶解所有的y；并且，对任一个体x而言，如果x是液体，则至少存在一个体y，x能溶解y。可以符号化为：
(7′) ﹁$x(F(x)∧H(x，y)∧"x（F(x)→$yH(x，y))
(7′)与(7′)在形式上虽有所不同，但实际上是等值的。
(1′)-(7′)以及(7′)都是复合量化式。由于这类命题形式是由多个量词、谓词和联结词构成的，最能反映量词的逻辑性质，因而是一阶谓词逻辑所研究的最主要的命题形式。
从以上对性质命题和关系命题的分析可知，一阶谓词逻辑把“关系”看作是与“性质”类似的谓词，二者的区别仅仅在于表达“性质”的谓词是一元的，而表达“关系”的谓词是二元的或二元以上的。这种统一性在接下来的一阶谓词演算中得到了更充分的反映。

S3 一阶谓词语言的语法和语义

一阶谓词语言简称一阶语言。它是命题逻辑形式语言一致性的扩充。除了包含有命题逻辑形式语言外，还增加了谓词逻辑特有的个体词、个体函数词、谓词和量词。现代谓词逻辑迄今已发展出了许多等价或不等价的一阶语言。本书将介绍一种最常用的一阶语言——L1语言。一阶语言L1，包括带等词的和不带等词的两种。为求语言的简洁性，在不破坏理论的系统性和严格性的前提下，本章将略去带等词的谓词逻辑。
一阶语言L1包括语法和语义两部分。
一、L1的语法
L1的语法由初始符号、项形成规则、合式公式形成规则和定义四部分构成，合称L1的形式语言。
1.初始符号
(1)个体变元xi（用x，y，z，x1，y1，z1，…表示)；
(2)个体常元ai(用a，b，c，a1，b1，c1，…表示)；
(3)n元谓词变元Fin(用F，G，H，F1，G1，H1，…表示)；
(4)n元函数变元fin(用f，g，h，f1，g1，h1，…表示)；
(5)命题变元pi(用p，q，r，p1，q1，r1，…表示)；
(6)量词： "；
(7)联结词: ﹁，→；
(8)技术性符号(辅助符号):(，)，，(即左右括号和逗号)。
L1中只有以上八类符号，其中个体常元和函数变元可以没有。L1的任意表达式都是由初始符号按一定规则组合而成的符号串。在各种符号串中，我们感兴趣的是项和合式公式。
2.项形成规则
（1)任意L1的个体变元xi是项；
(2)任意L1的个体常元ai是项；
(3)若fn是L1的n元函数变元，t1，t2，…，tn是L1的项，则fn(t1，t2，…，tn)是项；
(4)只有按(1)-(3)的规则而形成的符号串才是L1的项。
例如，令f，g分别是一元函数变元和二元函数变元，x，a分别是个体变元和个体常元，则x，a是项；f（x)，f(a)是项，g(x，a)，g(f（x），f(a))等都是项。
3.合式公式形成规则
合式公式简称公式。L1的公式按以下规则形成，
(1)任意命题变元pi是公式；
(2)若Fn是一n元谓词符号，t1，t2，…，tn是项，则Fn(t1，t2，…，tn)是公式；
(3)若A是公式，则﹁A是公式；
(4)若A、B都是公式，则A→B是公式；
(5)若A是公式，x是个体变元，则"xA是公式；
(6)L1的所有公式只按(1)-(5)规则形成。
L1的公式是命题逻辑公式的扩充，凡命题逻辑的公式都是L1 的公式。
4.定义
L1语言中，只有﹁、→两种联结词和"一个量词。但可以通过定义把常用的∨、∧、↔等联结词和$量词引入L1，凡包括这些联结词或量词的公式都称为L1的定义公式。定义如下：
(l)A∨B=df﹁A→B，记作D∨。
(2)A∧B=df﹁（A→﹁B），记作D∧。
(3)A↔B=df（A→B）∧（B→A），记作D↔。
(4)$xA=df﹁"x﹁A，记作D$。
今后将不对L1的公式和定义公式作严格区分，L1的定义公式可直接作为公式。
5.量词和联结词的辖域
量词的辖域即量词的作用范围。一个量词的辖域是这个量词右边最短的公式，换句话说，若"xB是A的子公式，则称B为紧接其左边的"x在A中的辖域；若$xB是A的子公式，则称B为紧接其左边的$x在A中的辖域。例如:
(l)"xF(x)→G(x)
(2)$x(F(x)∧G(y))→F(x)
(3)"x($yF(y)→G(x))
公式(1)中，"x的辖域为F(x)。公式(2)中，$x的辖域是F(x)∧G(x)。公式(3)中，"x的辖域为$yF(x)→G(x)，$y的辖域为F（y）。
联结词的辖域即联结词的作用范围。可定义为：若﹁B是A的子公式，则称B为紧接其左边的﹁在A中的辖域；若B→C是A的子公式，则称B和C为B→C中的→在A中的辖域，其中B为左辖域，C为右辖域。
6.自由变元与约束变元
这里的变元是指个体变元。一个变元在公式中的出现有两种不同情形:自由出现和约束出现。凡量化变元(指紧接量词右边的第一个个体变元)或在量词的辖域内出现的与量化变元相同的变元均为约束变元，否则为自由变元。一个变元作为约束变元在某公式中出现称为约束出现，否则为自由出现。一变元在其公式中约束出现称该变元在公式中是约束的，否则为自由的。在公式“F（y）→"x$y（F(y)→G(x))”中，y的第一次出现是自由的，第二、三次出现是约束的。x的两次出现都是约束的，是约束变元。量化变元不必出现在量词的辖域之内，因而存在着空约束。
对L1的任意公式A中的任意变元x是否是自由变元或约束变元，也可以采用以下的归纳定义:
(1)若A=pi，则A中既没有自由变元，也没有约束变元。
(2)若A=Fn(t1，t2，…，tn)，则x在A中的每一出现都是自由的。
(3)若A=﹁B则x在A中的某一特定出现是自由的，当且仅当x的这一出现在B中是自由的。
(4)若A=B→C，则x在A中的某一特定出现是自由的，当且仅当x的这一出现在B或C中是自由的。
(5)若A="xB，则x在A中的每一出现都是约束的。若A="yB，x是B中的变元，并且x≠y，那么x在A中的某一特定出现是自由的，当且仅当x的这一出现在B中也是自由的。
任一个体变元在一公式中既可自由出现，也可约束出现。一个不含有任何自由变元的公式称为闭公式，而至少含有一个自由变元的公式称为开公式。闭公式与开公式的逻辑意义是不同的。以下两个公式：
(l)H(x，y)
(2)"xF(x)→G(x，a))
公式(1)中的x，y都是自由变元。所以（1)是开公式。而(2)中的x是约束变元，a是个体常元，所以(2)是闭公式。令(1)的个体域是“数”，把H解释为“＞”关系，则H(x，y)表示“x＞y”。显然H(x，y)是其假不定的，它取决于对x,y的赋值。若指定x为5，y为3，则H(x，y)为真，若指定x为3，y为5，则H(x，y)为假。同样，令(2)的个体域也是“数”，把F解释为“偶数”，指定a=2，把G解释为“被2整除"关系，则(2)表示”所有的偶数都能被2整除”，这是一个真命题。一般地，开公式经过解释后还不是命题，而是命题函数，其真假是不确定的。闭公式经过解释后成为命题，非真即假。反之，一命题函数符号化之后的公式是一个开公式，而命题符号化之后的公式都是闭公式。
二、L1的语义
任何一个语法系统在未得到某种语义之前都只是纯符号组合串，只有经过某种语义解释，才能成为该语义系统的语法系统，并判定其真假，确定其他的逻辑性质。对L1的语义解释分为两个部分，一个是语义模型，另一个是真值语义解释。
1.L1的语义模型
定义3.1 语义模型是指能使一种语言的公式集都为真的解释。L1的语义模型是一个由个体对象类和关系所组成的代数结构I，I由如下部分构成：
(1)一个非空集D，称为I的个体域或论域，D中的元素称为I的个体。

(2)一个函项，对L1中的每个谓词符号F，都指定D中的一个关系FI。如果F是一n(n≥2)元谓词符号，那么FI是D中的一n元关系；如果F是一元谓词符号，那么FI是D中的一个子类。
(3)一个函项，对L1中的每个函数符号f，都指定D中的一个运算fI。如果f是一n元函数符号，那么fI是D中的一n元运算。
(4)一个函项，对L1中的每个个体常元符号a，都指定D中的一个个体aI。
由以上部分组成的代数结构I就是L1的语义模型。
2.L1的真值语义解释
L1的真值语义解释就是在语义模型I的基础上，对L1的项和公式进行赋值，使之获得真值语义。
L1的一个赋值是由一个语义模型I和I中一个指派函数β所组成的有序二元组v，v=（I，β）。v对L1的每一个体变元x指派I的个体域D中的一个元素为值，记作β（x)，即v(x)=β(x)；对每一函数符f，指派I中一n元运算fI为值，即v(f)=fI；对每一谓词符号F，指派I中一n元关系FI为值，即v(F)= FI；对每一个体常元a，指派I的个体域D中一个体aI为值，即v(a)=aI。I的个体域D也称之为v的个体域。
定义3.2 任意L1的项t在赋值v下的值v(t)可定义如下:
(1)若t是一L1的个体变元x,则令v(x)=β(x)；
(2)若t是一L1的个体常元a，则令v(a)=aI；
(3)若f是一L1的n元函数符，t1，t2，…，tn是L1的项，则令v(f(t1，t2，…，tn))=fI(v(t1)，v(t2)，…，v(tn))。
定义3.3 任意L1的公式A在赋值v下的值v(A)可定义为:
(1)如果A是F(t1，t2，…，tn)，F是L1的一n元谓词符，t1，t2，…，tn是项,则
1，若v(t1)，v(t2)，…，v(tn)∈v(F)，
v(F(t1，t2，…，tn)={
0,否则。
(2)如果A是﹁B,则
1，若v(B)=0，
v(﹁B)={
0,否则。
(3)如果A=B→C，则
1，若v(B)=0或v(c)=1，
v(B→c)= {
0，否则。
(4)如果A="xB，则
1，若对每一ai(ai∈D)，都有v(B(x/ai))=1，
v("xB)={
0，否则。
对(4)作一说明。"xB的值为1，当且仅当把论域D中任意个体ai赋给B中的x，都有v(B)=1，即v(B(x/ai))=1；若x不在B中出现，则v("xB)=1当且仅当v（B)=1。例如，公式"xF(x)表示“所有x都是F”，设其论域为D，则对任意个体ai∈D，若v(F(ai))=1，则"xF（x)的值必为1，即v("xF（x))=1。对公式"xF(y)(x不同于y)而言，由于x不在F(y)中出现，故当v(F(y))=1时，必有"xF(y)也取值为1，反之亦然。
3.L1的普遍有效式、可满足式、不可满足式
如果一个赋值v，使得公式A取真值为1，即v(A)=1，则称赋值v满足公式A，记作v╞A。赋值v满足公式集Γ，当且仅当对任意A∈Γ，都有v╞A，记作v╞Γ。
经过赋值后的L1的公式有三种可能情况:普遍有效式、可满足式和不可满足式
一个公式A是普遍有效式，当且仅当它为每一特定的赋值vi所满足，即用任一特定的命题替代其中的命题变项，用任一特定的个体词替代其中的个体变元和个体常元，用任一特定的谓词、函效词替代其中的谓词变元、函数变元，其结果总是真的。或者说，一个公式是普遍有效式，当且仅当任一解释都使之取值为真。若A是普遍有效的，记作vi╞A，简记为╞A。传统逻辑中的同一律、矛盾律和排中律在表示为现代谓词逻辑公式后，分别是：
(l) "x(F(x)→F(x))
(2) "x﹁(F(x)∧﹁F(x))
(3) "x(F(x) ∨﹁F(x))
可以看出，以上三个公式都是普遍有效式，所以它们被作为逻辑规律。
一个公式A是可满足式，当且仅当至少存在一个赋值vx，使A取值为真。记作vx╞A。例如公式"xF(x)就是可满足式，当确定个体城为“自然界的事物”，把F解释为“运动变化”时，公式就是真的。
一个公式A是不可满足式，当且仅当不存在任何赋值，使A取值为真。记作vi|≠A。例如$x(F(x) ∧﹁F(x))就是不可满足式。
从以上定义可知，公式A是普遍有效式，当且仅当﹁A是不可满足式。普遍有效式和不可满足式之间的关系类似于命题逻辑中重言式和不可满足式之间的关系。
这里需要说明重言式与普遍有效式之间的关系。在命题逻辑中，我们讨论了重言式。由谓词逻辑是命题逻辑的扩充，在命题逻辑中取值为真的公式在谓词逻辑中也应是真的，因此，凡命题逻辑中的重言式都是谓词逻辑中的普遍有效式，简言之，若公式A是重言式，则A是普遍有效式。但反之则不必然成立。因为重言式是通过真值赋值确定的，而普遍有效式是通过赋值确定的。赋值与真值赋值之间的关系密切，但两者也存在着很大的区别。赋值需要一个结构模型I和一个指派β，而真值赋值就是1或0。任一赋值都会导出一个真值赋值，即经过语义解释后的公式都是有真假的，但并非每一真值赋值都是由于某个赋值而引出。请看公式：
"xF(x) →$xF(x)
这是一个普遍有效式，在任何赋值下都是永真的。但当对"xF(x)赋以真值真，对$xF(x)赋以真值假时，它就是假的。因而不是重言式。
3.逻辑后承
公式A是公式集Γ的逻辑后承，当且仅当对每一赋值v，如果v╞Γ，则v╞A，记作Γ╞A。若Γ只有一个公式B，则B→A是普遍有效式，即╞B→A。若Γ是空的公式集，则A是普遍有效式。
逻辑后承与重言后承的关系类似普遍有效式与重言式的关系:若A是Γ的重言后承，则A必是Γ的逻辑后承，但反之不必然成立。例如$xF（x)是"xF（x)的逻辑后承，但不是重言后承。
下面引入逻辑等值的概念。对于任意L1的公式A和B，A逻辑等值于B，当且仅当A╞B，并且B╞A，记作AB。若A和B是重言等值的，则A与B是逻辑等值的，反之则不必然成立。

§4 代入和字母变易

代入和字母变易是一阶谓词逻辑的两种基本的语义推理方法。

一、代入
在命题逻辑中，我们讨论了重言式代入定理和代入规则，即对一个重言式中的命题变元作代入后，可以得到另一个重言式。重言式代入定理和代入规则在谓词逻辑中同样适用。本章将在此基础上，着重讨论另一种代入规则——对一阶谓词逻辑项和公式中的自由变元作代入，从而得到新的项和公式。
对一个普遍有效式中的自由变元作代入，所得的公式仍然是一个普遍有效式。但与命题逻辑不同，谓词逻辑中的代入规则适用于任何含有自由变元的公式或项。