小学奥数几何难题.docx

小学奥数几何难题

类型一：旋转、对称类

（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）
在中，，．点在边上使得，点在边上使得．请求出三角形的面积．

【考点】 图形对称
【答案】
【分析】 方法一：过点作交于点，作、关于的对称点、，连接、、，如下图所示：

∵，又，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．∵，∴，又∵，∴，∴．
方法二：（供参考）作交于点，作交于点．

∵，，∴，又、分别是、的高，于是有：，即．而又．
【总结】 本题没有边之间的比例，只有角度相等，因此尝试做对称来构造出平行线，解决问题．

如图，正方形有三个顶点分别在的三条边上，．求正方形的面积．

【考点】 图形旋转
【答案】
【分析】 如下图所示，连接，根据题意有：，，．

那么有：，因此，．
如下图所示，将以点为中心，逆时针旋转，至位置，同样的将以点为中心，顺时针旋转，至位置．因为，，所以两个阴影三角形恰好构成完整的四边形．连接，因为，所以为直角三角形，同理也是直角三角形．有，因此，．

【总结】 正方形中的旋转问题．

类型二：勾股、弦图类

（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）
是直角三角形．在边、、上分别取点、、，使得．当成为等腰直角三角形、、时，求的面积．

【考点】 勾股定理
【答案】
【分析】 作交于点，易知和完全相同（∵，∴，又∵，∴．）

∴有，，又∵，是的中点，∴也是中点，即，∴．因此有．
【总结】 本题其实是弦图的应用：

图中即构成了一个标准的弦图．其实很多时候出现等腰直角三角形就可以考虑构造弦图来解决问题．

如图，是正方形外面的一点，厘米，的面积是平方厘米，的面积是平方厘米．请问：正方形的面积是多少平方厘米？

【考点】 勾股与弦图
【答案】 平方厘米
【分析】 将反向延长如下图所示构造弦图，

以为底，的高是，于是有：，即厘米，同理有厘米．因此平方厘米．
【总结】 本题构造弦图是关键点！

（2011年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛武汉卷）
如图，点在直角内，且，厘米，的面积是平方厘米，的面积是平方厘米，求的面积．

【考点】 勾股与弦图
【答案】 平方厘米
【分析】 如下图所示构造弦图：

以为底，的高为，有：，即厘米，同理有厘米，因此平方厘米，所以平方厘米．
【总结】 本题和上一题本质相同，不过是点的位置发生了改变．

（2011年日本算术奥林匹克大赛高小决赛）
下图是一个面积为、的四边形．其两条对角线和在四边形的内部相交，当，，时，求的面积．

【考点】 勾股定理
【答案】 平方厘米
【分析】 作，交延长线于点，设，，．

根据勾股定理：，，两式想减，结合平方差公式得：……①
又，整理得……②
①②得：，平方厘米．
【总结】 本题貌似上两题类似，实则不然．上面两题告诉我们的是两个小三角形的面积，而此题是整个的面积．因为题中出现两个长度，不好构造弦图，因而转化为做垂线利用勾股定理解决问题．

自内部一点向、、作垂线，垂足依次为、、，以、、、、、为边长分别向外作正方形，如下图所示，这六个正方形的面积依次记为、、、、、．如果，，那么试求的值．

【考点】 勾股定理
【答案】
【分析】 连接、、，其长度分别记为、、，另记，，，，，，如下图所示：

∵，即，又∵，，两式相减得．同理有，因而．
【总结】 正方形面积很容易和平方结合起来，而垂线则要想到勾股定理．

类型三：等积变化类

如下图，大正方形被分成了面积相等的五块，若长为厘米，则大正方形的面积为多少平方厘米？

【考点】 等积变化模型
【答案】 平方厘米
【分析】 连接、、，过点作交于点，交于点．如下图所示：

设正方形边长为，那么每一块的面积都是，即有，所以，有，又，所以，所以．同样的，，所以有：，所以有：，因此，也即，即，所以正方形面积为平方厘米．
【总结】 如何从五块面积都相等这个条件中提取出更多的信息是解决本题的关键．一般来说等积变化都是用于解决线段比例和面积比例相互转化问题，通常看到线段间的比例、等分点、面积相同的若干块等都可以考虑用到等积变化模型．