高考十年真题数学分项汇编——三角恒等变换与解三角形小题综合.docx

10 三角恒等变换与解三角形小题综合

考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用（含拼凑角思想）
（10年9考）
2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ卷
2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷
2020·全国卷、2019·全国卷、2019·江苏卷
2018·全国卷、2018·全国卷、2018·江苏卷
2017·全国卷、2017·北京卷、2017·江苏卷
2016·江苏卷、2015·重庆卷、2015·全国卷
2015·江苏卷
1. 推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题，该内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，同时也需掌握升幂公式和降幂公式，掌握拼凑角思想，需加强复习备考

2. 掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用，会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题，会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题，会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题，该内容是新高考卷的常考内容，一般考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，也常结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
考点2 二倍角公式的应用（含升幂公式与降幂公式）
（10年10考）
2024·上海卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·北京卷
2022·浙江卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷
2020·全国卷、2020·浙江卷、2020·江苏卷
2019·北京卷、2019·全国卷、2018·全国卷
2018·全国卷、2017·全国卷、2016·山东卷
2016·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷
2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·上海卷
考点3 辅助角公式的应用
（10年10考）
2024·全国甲卷、2022·北京卷、2021·全国乙卷
2017·全国卷、2016·浙江卷
考点4 解三角形小题综合之求角和求三角函数函数值
（10年9考）
2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国乙卷
2021·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国卷
2020·全国卷、2019·全国卷、2019·浙江卷
2018·全国卷、2017·浙江卷、2017·全国卷
2017·全国卷、2017·全国卷、2016·山东卷
2015·北京卷、2015·北京卷
考点5 解三角形小题综合之求边长或线段
（10年7考）
2023·全国甲卷、2021·全国乙卷、2021·全国甲卷
2019·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷
2016·上海卷、2016·北京卷、2016·天津卷
2016·全国卷、2015·广东卷、2015·重庆卷
2015·重庆卷、2015·广东卷、2015·天津卷
2015·安徽卷、2015·福建卷
考点6 解三角形小题综合之求面积
（10年5考）
2022·浙江卷、2021·浙江卷、2019·全国卷
2018·全国卷、2017·浙江卷、2017·浙江卷
考点7 解三角形小题综合之求最值或范围
（10年4考）
2022·全国甲卷、2019·北京卷、2018·江苏卷
2018·北京卷、2015·全国卷
考点8 解三角形小题综合之实际应用
（10年4考）
2024·上海卷、2021·全国乙卷
2017·浙江卷、2015·湖北卷

考点01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用（含拼凑角思想）
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
3．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）．
A． B． C． D．
5．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ）
A． B．
C． D．
6．（2020·全国·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（    ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
7．（2020·全国·高考真题）已知，则（    ）
A． B． C． D．
8．（2019·全国·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
9．（2019·江苏·高考真题）已知，则的值是 .
10．（2018·全国·高考真题）已知，则 ．
11．（2018·全国·高考真题）已知，，则 ．
12．（2018·江苏·高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
13．（2017·全国·高考真题）已知，tanα=2，则cos(α−π4)= ．
14．（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则= .
15．（2017·江苏·高考真题）若,则 .
16．（2016·江苏·高考真题）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 .
17．（2015·重庆·高考真题）若,则
A． B． C． D．
18．（2015·全国·高考真题）(2015新课标全国Ⅰ理科)=
A． B．
C． D．
19．（2015·江苏·高考真题）已知，，则的值为 ．

考点02 二倍角公式的应用（含升幂公式与降幂公式）
1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）．
A． B． C． D．
3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（    ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
4．2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
5．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
6．（2021·全国乙卷·高考真题）（    ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国·高考真题）若，则 ．
8．（2020·浙江·高考真题）已知，则 ； ．
9．（2020·江苏·高考真题）已知 =，则的值是 .
10．（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是 ．
11．（2019·全国·高考真题）已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
12．（2018·全国·高考真题）函数的最小正周期为
A． B． C． D．
13．（2018·全国·高考真题）若，则
A． B． C． D．
14．（2017·全国·高考真题）已知，则．
A． B． C． D．
15．（2016·山东·高考真题）函数的最小正周期是（    ）
A． B．π C． D．2π
16．（2016·全国·高考真题）若 ，则
A． B． C．1 D．
17．（2016·四川·高考真题）cos2–sin2= .
18．（2016·全国·高考真题）若 ，则
A． B． C． D．
19．（2016·全国·高考真题）若，则
A． B． C． D．
20．（2015·浙江·高考真题）函数的最小正周期是 ，单调递增区间是 .
21．（2015·上海·高考真题）函数的最小正周期为 .

考点03 辅助角公式的应用
1．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ．
2．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ．
3．（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
4．（2017·全国·高考真题）函数的最大值为 .
5．（2016·浙江·高考真题）已知，则 ，= ．
6．（附加）（2013·全国·高考真题）设当时，函数取得最大值，则 .

考点04 解三角形小题综合之求角和求三角函数函数值
1．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则 ， .
5．（2020·全国·高考真题）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高考真题）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB= .

7．（2020·全国·高考真题）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（    ）
A． B．2 C．4 D．8
8．（2019·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B= .
9．（2019·浙江·高考真题）在中，，，，点在线段上，若，则 ； .
10．（2018·全国·高考真题）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B． C． D．
11．（2017·浙江·高考真题）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是 ，cos∠BDC= ．
12．（2017·全国·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A= .
13．（2017·全国·高考真题）的内角的对边分别为，若，则 ．
14．（2017·全国·高考真题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=
A． B． C． D．
15．（2016·山东·高考真题）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=
A． B． C． D．
16．（2015·北京·高考真题）在中，，，，则 ．
17．（2015·北京·高考真题）在中，，，，则 ．

考点05 解三角形小题综合之求边长或线段
1．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
2．（2021·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ．
3．（2021·全国甲卷·高考真题）在中，已知，，，则（    ）
A．1 B． C． D．3
4．（2019·全国·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2018·全国·高考真题）在中，,BC=1,AC=5，则AB=
A． B． C． D．
6．（2017·山东·高考真题）在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A． B． C． D．
7．（2016·上海·高考真题）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 ．
8．（2016·北京·高考真题）在△ABC中， ，a=c，则= .
9．（2016·天津·高考真题）在中，若    ，则=
A．1 B．2         C．3 D．4
10．（2016·全国·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= .
11．（2015·广东·高考真题）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．
12．（2015·重庆·高考真题）设的内角的对边分别为，且，则 ．
13．（2015·重庆·高考真题）在中，，，的角平分线，则 .
14．（2015·广东·高考真题）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则
A． B． C． D．
15．（2015·天津·高考真题）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，则的值为 ．
16．（2015·安徽·高考真题）在中，，，，则 .
17．（2015·福建·高考真题）若中，，，，则 ．

考点06 解三角形小题综合之求面积
1．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
2．（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则 .

3．（2019·全国·高考真题）的内角的对边分别为.若，则的面积为 .
4．（2018·全国·高考真题）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为 ．
5．（2017·浙江·高考真题）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是 ，cos∠BDC= ．
6．（2017·浙江·高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， ．

考点07 解三角形小题综合之求最值或范围
1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
2．（2019·北京·高考真题）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
3．（2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
4．2018·北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B= ；的取值范围是 .
5．（2015·全国·高考真题）如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 ．

考点08 解三角形小题综合之实际应用
1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度)

2．（2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ）

A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
3．（2017·浙江·高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， ．
4．（2015·湖北·高考真题）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m.