高考十年真题数学分项汇编——导数及其应用大题综合.docx

专题23 导数及其应用大题综合

考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1 切线方程及其应用
（10年10考）
2024·全国新Ⅱ卷、2024·天津卷、2023·北京卷
2023·全国乙卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷
2022·天津卷、2022·全国甲卷、2022·全国乙卷
2022·北京卷、2021·天津卷、2021·北京卷
2021·全国乙卷、2020·北京卷、2020·全国卷
2019·北京卷、2018·北京卷、2018·北京卷
2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷
2017·山东卷、2017·北京卷、2016·北京卷
2016·北京卷、2016·全国卷、2015·重庆卷
2015·全国卷、2015·天津卷、2015·山东卷
2015·北京卷
1.能理解导数的几何意义并会求切线方程，会求参数
2.理解函数的单调性与导数之间的关系，能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间，能够利用导数解决与函数单调性的综合问题，该内容是新高考卷的必考内容，近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。
3.能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值，体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系，该内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习
4.能进行函数转化证明不等式，会函数中的恒成立问题与有解问题，会求零点及其应用，会隐零点、双变量、极偏等内容的学习，都可能成为高考命题方向
考点2 具体函数及含参函数的单调性
（10年6考）
2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国甲卷
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷
2018·全国卷
考点3 含参函数的单调性
（10年10考）
2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷
2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷
2021·浙江卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷
2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷
2018·天津卷、2018·全国卷、2017·全国卷
2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷
2017·全国卷、2016·山东卷、2016·四川卷
2016·全国卷、2016·北京卷、2016·山东卷
2016·四川卷、2016·全国卷、2015·江苏卷
2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·四川卷
2015·四川卷、2015·北京卷
考点4 极值最值及其应用
（10年10考）
2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷
2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷
2022·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·天津卷
2021·全国乙卷、2020·北京卷、2019·全国卷
2019·江苏卷、2018·北京卷、2018·北京卷
2018·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷
2017·江苏卷、2017·全国卷、2017·山东卷
2017·北京卷、2016·山东卷、2016·天津卷
2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·重庆卷
2015·山东卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷
2015·山东卷、2015·全国卷
考点5 证明不等式
（10年9考）
2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷、2019·北京卷
2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷
2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷
2015·全国卷、2015·湖北卷、2015·福建卷
2015·北京卷
考点6 恒成立与能成立（有解）问题
（10年9考）
2024·天津卷、2024·全国甲卷、2023·全国甲卷
2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷
2021·天津卷、2020·山东卷、2020·全国卷
2019·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷
2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·四川卷
2015·四川卷、2015·山东卷、2015·湖南卷
2015·湖南卷、2015·福建卷、2015·北京卷
考点7 零点问题
（10年8考）
2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅱ卷
2020·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国卷
2020·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷
2018·浙江卷、2018·全国卷、2017·全国卷
2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·全国卷
2015·江苏卷、2015·全国卷、2015·全国卷
2015·陕西卷、2015·北京卷
考点8 方程的根
（10年4考）
2022·浙江卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·浙江卷
2021·全国甲卷、2019·全国卷、2018·江苏卷
考点09 双变量问题
（10年6考）
2024·天津卷、2022·浙江卷、2022·北京卷
2021·浙江卷、2020·天津卷、2018·全国卷
2015·湖北卷
考点10 隐零点问题
（10年4考）
2023·全国甲卷、2017·全国卷
2016·全国卷、2015·全国卷
考点11极值点偏移问题
（10年4考）
2022·全国甲卷、2019·天津卷
2016·全国卷、2015·天津卷
考点12 导数与其他知识点联动问题
（10年4考）
2024·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷
2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷

考点01 切线方程及其应用
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
2．（2024·天津·高考真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
6．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
7．（2022·天津·高考真题）已知，函数
(1)求函数在处的切线方程；
8．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
10．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
11．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
12．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
13．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
14．（2020·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
15．（2020·全国·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
16．（2019·北京·高考真题）已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
17．（2018·北京·高考真题）设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
18．（2018·北京·高考真题）设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
19．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
20．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1.
（I）求函数的单调区间；
（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明：；
（III）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
21．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：在处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.
22．（2017·山东·高考真题）已知函数.
(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；
23．（2017·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
24．（2016·北京·高考真题）设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
25．（2016·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
26．（2016·全国·高考真题）已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
27．（2015·重庆·高考真题）设函数
（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
28．（2015·全国·高考真题）已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
29．（2015·天津·高考真题）已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
30．（2015·山东·高考真题）设函数. 已知曲线 在点处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求的值；
31．（2015·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

考点02 具体函数的单调性
1．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
5．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
6．（2020·全国·高考真题）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
7．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）若，求的单调区间；

考点03 含参函数的单调性
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
2．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
4．2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
5．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
7．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
8．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
9．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
11．（2020·全国·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
12．（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
13．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1.
（I）求函数的单调区间；

14．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
15．（2017·全国·高考真题）已知函数
（1）讨论的单调性；
16．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
17．（2017·天津·高考真题）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
18．（2017·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
19．（2017·全国·高考真题）设函数.
（I）讨论函数的单调性；
20．（2016·山东·高考真题）设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.
（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
21．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
22．（2016·全国·高考真题）已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
23．（2016·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
24．（2016·山东·高考真题）已知．
（Ⅰ）讨论的单调性；
25．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（1）讨论f(x) 的单调性；
26．（2016·全国·高考真题）设函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
27．（2015·江苏·高考真题）已知函数.
（1）试讨论的单调性；
28．（2015·重庆·高考真题）设函数
（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（2）若在上为减函数，求的取值范围．
29．（2015·天津·高考真题）已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
30．（2015·四川·高考真题）已知函数f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.
（Ⅰ）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
31．（2015·四川·高考真题）已知函数，其中.
（1）设是的导函数，讨论的单调性；
32．（2015·北京·高考真题）设函数， ．
（1）求的单调区间和极值；

考点04 极值最值及其应用
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
6．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
8．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
9．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
10．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
11．（2020·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
12．（2019·全国·高考真题）已知函数.证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
13．（2019·江苏·高考真题）设函数，为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

14．（2018·北京·高考真题）设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
15．（2018·北京·高考真题）设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.
16．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
17．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
18．（2017·山东·高考真题）已知函数.
(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；
(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
19．（2017·江苏·高考真题）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．
20．（2017·全国·高考真题）已知函数．
（1）若，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．
21．（2017·山东·高考真题）已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
22．（2017·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
23．（2016·山东·高考真题）设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.
（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
24．（2016·天津·高考真题）设函数x∈R，其中a,b∈R.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于.
25．（2016·全国·高考真题）(1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
(2)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.
26．（2015·重庆·高考真题）已知函数在处取得极值．
确定a的值；
若，讨论的单调性．
27．（2015·重庆·高考真题）设函数
（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（2）若在上为减函数，求的取值范围．
28．（2015·山东·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
29．（2015·湖南·高考真题）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：
（1）数列是等比数列
（2）若，则对一切，恒成立.
30．（2015·安徽·高考真题）设函数.
（Ⅰ）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（Ⅱ）记，求函数在上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求满足时的最大值.
31．（2015·山东·高考真题）设函数. 已知曲线 在点处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.
32．（2015·全国·高考真题）已知.
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.

考点05 证明不等式等证明问题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
3．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)求证：当时，；
(3)证明：．

4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
5．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
6．（2019·北京·高考真题）已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
7．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
8．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，．
9．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
10．（2017·全国·高考真题）已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.
11．（2016·浙江·高考真题）设函数=，．证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
12．（2016·全国·高考真题）设函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明当时，；
（Ⅲ）设，证明当时，.
13．（2015·全国·高考真题）设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
14．（2015·湖北·高考真题设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数．
(1)求，的解析式，并证明：当时，，；
(2)设，，证明：当时，．
15．（2015·福建·高考真题）已知函数，
（Ⅰ）证明：当；
（Ⅱ）证明：当时，存在,使得对
（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．
16．（2015·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．

考点06 恒成立与能成立（有解）问题
1．（2024·天津·高考真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点则．
7．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
8．（2020·山东·高考真题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
9．（2020·全国·高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
10．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
11．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：在处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.
12．（2017·全国·高考真题）设函数.
（I）讨论函数的单调性；
（II）当时，，求实数的取值范围.
13．（2016·江苏·高考真题）已知函数.
（1）设.
①求方程=2的根；
②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；
（2若，函数有且只有1个零点，求ab的值.
14．（2016·全国·高考真题）已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
15．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（1）讨论f(x) 的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g(x)＞0；
（3）如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.
16．（2015·四川·高考真题）已知函数，其中.
（1）设是的导函数，讨论的单调性；
（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解
17．（2015·山东·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
18．（2015·湖南·高考真题）函数，记 为的从小到大的第 个极值点．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求 的取值范围．
19．（2015·湖南·高考真题）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：
（1）数列是等比数列
（2）若，则对一切，恒成立.
20．（2015·福建·高考真题）已知函数，
（Ⅰ）证明：当；
（Ⅱ）证明：当时，存在,使得对
（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．
21．（2015·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．

考点07 零点问题
1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
4．（2020·浙江·高考真题）已知，函数其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
5．（2020·全国·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
6．（2020·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
7．（2020·全国·高考真题）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
8．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
9．（2019·全国·高考真题）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
10．（2018·浙江·高考真题）已知函数．
（1）若在处导数相等，证明：；
（2）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．
11．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．
12．（2017·全国·高考真题）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
13．（2016·江苏·高考真题）已知函数.
（1）设.
①求方程=2的根；
②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；
（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.
14．（2016·北京·高考真题）设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.
15．（2016·全国·高考真题）已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
16．（2015·江苏·高考真题）已知函数.
（1）试讨论的单调性；
（2）若实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值.
17．（2015·全国·高考真题）设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
18．（2015·全国·高考真题）已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
19．（2015·陕西·高考真题）设
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.
20．（2015·北京·高考真题）设函数， ．
（1）求的单调区间和极值；
（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
考点08 方程的根
1．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
4．2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
5．（2019·全国·高考真题）已知函数.证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
6．（2018·江苏·高考真题）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．

考点09 双变量问题
1．（2024·天津·高考真题）设函数．
1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
2．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
3．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
4．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
5．（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
6．（2018·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
7．（2015·湖北·高考真题）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数．
(1)求，的解析式，并证明：当时，，；
(2)设，，证明：当时，．

考点10 隐零点问题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
2．（2017·全国·高考真题）已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.
3．（2016·全国·高考真题）(1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
(2)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.
4．（2015·全国·高考真题）设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.

考点11 极值点偏移问题
1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
2．（2019·天津·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
（i）证明恰有两个零点
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
3．（2016·全国·高考真题）已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.
4．（2015·天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求的单调区间;
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;
（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.

考点12 导数与其他知识点联动问题
1．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
(2)求证：不经过点.
(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
4．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．