七年级数学专练——角（含答案）.docx

1. 角的概念：
（1） 有公共端点的两条 组成的图形叫做角．
这个公共端点是角的 ，这两条射线是角的 ．

角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边．
（2） 角有以下的表示方法：

①用三个大写字母及符号“ ”表示．

三个大写字母分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在 ．

②用一个大写字母表示角，这个字母就是 ．

表示方法
图标
记法
注意事项

（1）用三个大写字母

∠AOB 或

∠BOA

顶点字母要写在中间

（2）用一个大写字母

∠O

顶点处只能有一个角．

（3）用希腊字母

∠α

在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，并写上希腊字母
注意：当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示．

③用一个 或一个 表示．在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上希腊字母或数字．
④角的大小与边的长短无关，因为角的两边是射线，不可以度量．角的大小只与构成角的两边张开的大小有关．角既可以度量，也可以比较大小，还可以参与运算．如无特殊说明，所说的角都是小于平角的角．
2. 角度制及换算：
（1） 把圆周角等分成 360 等分，每一份就是 ，记作 ．
（2） 把 1 度的角等分成 60 等分，每一份就是 ，记作 ．
（3） 把 1 分的角等分成 60 等分，每一份就是 ，记作 ．
（4） 由此我们可以得出：

①1°=60′，1′=60″．②1 周角= ，1 平角= ．
（5） 以度、分、秒为单位的角的度量制叫做 ．
3. 角的比较：
（1） 方法 1（度量法）：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．

（2） 方法 2（叠合法）：把两个角的顶点和一边重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．
4. 余角和补角：
（1） 一般地，如果两个角的和等于 90°（直角），我们就说这两个角互为 ，称其中的一个角是另一个角的余角．
（2） 一般地，如果两个角的和等于 180°（平角），我们就说这两个角互为 ，称其中一个角是另一个角的补角．
5. 制作长方体形状的包装纸盒：
（1） 先在一张软纸上画出长方体包装盒展开图的草图，简单设计一下，裁纸、折叠，观察效果．如果发现问题，应调整原来的设计，直至达到满意的初步设计．
（2） 在硬纸板上，按照初步设计，画好长方体包装盒的展开图．注意要预留出黏合处，并要适当减去棱角．在展开图上进行图案与文字的美术设计．
（3） 裁下展开图，折叠并粘好黏合处，得到长方体包装盒．

K 知识参考答案：
1．1）射线，顶点，两条边；（2）∠，中间，顶点，数字，希腊字母

2．（1）1 度的角，1°；（2）1 分的角，1′；（3）1 秒的角，1″；（4）360°，180°；（5）角度制

4．（1）余角；（2）补角

K—重点
余角和补角
K—难点
角度的单位及其表示方法
K—易错
角度的单位换算
一、角
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边．

【例 1】下列关于平角、周角的说法正确的是A．平角是一条直线
B. 周角是一条射线

C. 反向延长射线 OA，就形成一个平角

D. 两个锐角的和不一定小于平角

【答案】C

二、角的比较与运算
1. 角的比较有两种方法：度量法；叠合法．

2. 注意度、分、秒之间的换算．

【例 2】如图，射线 OC、OD 分别在∠AOB 的内部、外部，下列各式错误的是

A．∠AOB<∠AOD B．∠BOC<∠AOB

C．∠COD<∠AOD D．∠AOB<∠AOC

【答案】D

【例 3】在同一平面内，∠AOB=45°且∠BOC=30°，则∠AOC 的大小是

A．75° B．15°

C．75°或 15° D．以上都不对

【答案】C

【解析】分两种情况讨论：①OC 在∠AOB 的内部；②OC 在∠AOB 的外部．

∠AOC=∠AOB–∠BOC=45°–30°=15° ，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+30°=75° ．故选C． 学@科网
三、余角和补角
（1） 余角：如果两个角的和等于 90°（直角），就说两个角互为余角，即其中一个角是另外一个角的余角．
（2） 余角的性质：同角(等角)的余角相等．
（3） 补角：如果两个角的和等于 180°（平角），就说这个两个角互为补角，即其中一个角是另外一个角的补角．
（4） 补角的性质：同角（等角）的补角相等．

【例 4】已知∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补，且∠1=∠3，那么

A．∠2>∠4 B．∠2<∠4

C．∠2=∠4 D．∠2 与∠4 大小不确定

【答案】C

【解析】根据等角的补角相等得∠2=∠4，故选 C．

【例 5】下列说法中，正确的是A．一个角的补角一定大于这个角B．任何一个角都有补角
C．若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3 互余

D．一个角如果有余角，则这个角的补角与它的余角的差为 90°

【答案】D

【名师点睛】（1）一般地，如果两个角的和等于 90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．
（2）一般地，如果两个角的和等于 180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．

1. 如图所示，下列表示角的方法错误的是

A. ∠1 与∠AOB 表示同一个角

B. ∠β 表示的是∠BOC

C. 图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D．∠AOC 也可用∠O 来表示
2．下列算式：①33.33°=33°3'3″；②33.33°=33°19'48″；③50°40'33″=50.43°；④50°40'33″≈50.676°．其中正确

的是

A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 3．下列角中，能用∠1，∠ACB，∠C 三种方法表示同一个角的是

A． B．

C． D．

4. 下列说法正确的是

A．角的边越长，角度就越大B．周角就是一条射线
C．一条直线可以看成平角

D．平角的两边可以构成一条直线

5. 如图所示，以 C 为顶点的角(小于平角)共有

A．4 个 B．8 个 C．10 个 D．18 个

6.4 点 10 分时，时针与分针所夹的小于平角的角为

A．55° B．65° C．70° D．以上度数都不对7．从 5 点 15 分到 5 点 20 分，分针旋转的度数为
A．20° B．26° C．30° D．36°

8. 小明离家时发现，钟面上时针与分针的夹角为 75°，这个时间可能是

A．1:30 B．2:30 C．3:30 D．4:30

9. 两个锐角的和一定是

A. 锐角 B．直角 C．钝角 D．以上都有可能10．3°=
A．180′ B．18′ C．30′ D．3′

11．如图是一块手表早上 8 时的时针、分针的位置图，那么分针与时针所成的角的度数是

A．60° B．80° C．120° D．150°

12．3.76°= 度 分 秒；22°32′24″= 度．
13．小雨在广场喷泉的北偏西 30°方向，距离喷泉 70 米处，那么喷泉在小雨的 处．

14．如图，O 是直线 l 上一点，∠1+∠2=78°42′，则∠AOB= ．

15．已知∠α=30°，∠α 的余角为 ．
16. 已知∠A 和∠B 互为余角，∠A=60°，则∠B 的度数是 ，∠A 的补角是 ．
17．已知∠α=76°，∠β=41°31′，求：

（1） ∠β 的余角；
（2） ∠α 的 2 倍与∠β 的 1 的差．
2

18. 一个角的余角的 3 倍比这个角的补角少 24°，那么这个角是多少度？

19. 下列时刻中，时针与分针之间的夹角为 30°的是

A．早晨 6 点 B．下午 1 点

C．中午 12 点 D．上午 9 点

20. 将 31.62°化成度分秒表示，结果是

A．3106'2'' B．31037'12"
C．31037'2" D．31°37'

21. 如图，AB 是街道，点 O 表示一家超市，点 C、D 是两个居民小区，设计人员不小心把∠1、∠2、∠3 的度数弄丢了，身边没有量角器，只知道∠1–∠2=∠2–∠3，则∠2 的度数是 ．

22. 如图 1 所示∠AOB 的纸片，OC 平分∠AOB，如图 2 把∠AOB 沿 OC 对折成∠COB（OA 与 OB 重合）， 从 O 点引一条射线 OE，使∠BOE= 1 ∠EOC，再沿 OE 把角剪开，若剪开后得到的 3 个角中最大的一
2
个角为 76°，则∠AOB= °．
23. 如下图，（1）若射线 OC 平分∠AOB，则∠AOC= 1 ；
2
（2）若∠AOB=2 ，则 OC 为∠AOB 的平分线．

24. 如图，O，D，E 三点在同一直线上，∠AOB=90°．

（1） 图中∠AOD 的补角是 ，∠AOC 的余角是 ；
（2） 如果 OB 平分∠COE，∠AOC=35°，请计算出∠BOD 的度数．

25. 点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使∠BOC=65°．将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处．

（1） 如图①，将三角板 MON 的一边 ON 与射线 OB 重合时，则∠MOC= ；
（2） 如图②，将三角板 MON 绕点 O 逆时针旋转一定角度，此时 OC 是∠MOB 的平分线，求旋转角

∠BON= ；∠CON= ．
（3） 将三角板 MON 绕点 O 逆时针旋转至图③时，∠NOC=5°，求∠AOM．

26．（2018·河南）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，∠EOD=50°，则∠BOC 的度数为

．
27．（2018·昆明）如图，过直线 AB 上一点 O 作射线 OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC 的度数为 ．

28． （2018·黔东南）∠α=35°，则∠α 的补角为 度．

1. 【答案】D

【解析】如果从同一个顶点出发有好几个角，那么我们就不能用单独的一个大写字母来表示一个角，故选 D．
2. 【答案】D

3. 【答案】C

【解析】A．可用∠1，∠ACB 表示，但不能用∠C 表示，故A 项不符合题意．

B. 可用∠1，∠ACB 表示，但不能用∠C 表示，故B 项不符合题意．

C. 可用∠1，∠ACB，∠C 表示，故C 项符合题意．

D. 可用∠1，∠ACB 表示，但不能用∠C 表示，故D 项不符合题意． 故选C． 学@科网
4. 【答案】D

【解析】A．由于角的大小与角的两边的长度无关，则A 错误；

B. 周角应该是两条射线共一个端点组成的图形，则B 错误；

C. 一条直线没有顶点，不可以看成平角，角是有顶点的，则C 错误；

D. 根据平角的概念可知：平角的两边在一条直线上，则D 正确. 故选D．
5. 【答案】C

【解析】小于平角的共有 4+3+2+1=10 个三角形，故选 C． 6．【答案】B

【解析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了 12 等份，每一份是 30°，4 点 10 分时，分针从 12 到
2 转动两个格转动角度为：30°×2=60° ，时针转动 10 ×30°=5° ，4 点 10 分时，分针与时针的夹角是
60
2×30°+5°=65° ．故选 B．

7. 【答案】C
【解析】因为一小时 60 分钟，5 分钟为 1 小时，一小时分针转 360 度， 1 小时转 30 度，故选 C．
12 12
8. 【答案】C

9. 【答案】D

【解析】当 α=10°，β=20°时，α+β=30°，即两锐角的和为锐角； 当 α=30°，β=60°时，α+β=90°，即两锐角的和为直角；
当 α=60°，β=70°时，α+β=130°，即两锐角的和为钝角；

综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角． 故选D．

10. 【答案】A

1 = 60¢,
【解析】

\3 = 180¢, 故选A．

11. 【答案】C
【解析】根据图形，8 点整分针与时针的夹角正好是(12 - 8)´ 30

= 120 . 故选 C．

12．【答案】3，45，36，22.54

【解析】3.76°=3°+0.76×60′=3°+45.6′=3°+45′+0.6×60″=3°45′36″；

24″=（24÷60 ）″=0.4′，32′+0.4′=32.4′，32.4′=32.4÷60=0.54°， 所以，22°32′24″=22.54°．
故答案为：3，45，36，22.54．

13．【答案】喷泉在小雨的南偏东 30°方向，距离小雨 70 米

【解析】雨在广场喷泉的北偏西 30°方向，距离喷泉 70 米处，那么喷泉在小雨的南偏东 30°方向，距离小雨 70 米处．

故答案为：喷泉在小雨的南偏东 30°方向，距离小雨 70 米.

14．【答案】101°18′
【解析】O 是直线 l 上一点，∠1+∠2=78°42′， 所以Ð1+ Ð2 + ÐAOB = 180 ，
所以ÐAOB = 180 - 78 42¢ = 10118¢.

故答案为：101°18′．

18．【解析】设这个角为 x，

由题意得 3（90°–x）=180°–x–24°， 解得 x=57°．
答：这个角的度数为 57°． 19．【答案】B
【解析】A、早晨 6 点时针与分针之间的夹角是 180°，故 A 错误；

B、下午 13 点时针与分针之间的夹角是 30°，故 B 正确； C、中午 12 点时针与分针之间的夹角是 0 度，故C 错误； D、上午 9 点时针与分针之间的夹角是 90°，故D 错误； 故选B．
20. 【答案】B

【解析】因为 0.62°=0.62×60′=37.2′，0.2×60″=12″，所以 31.62°=31°37′12″．故选 B．

21. 【答案】60°

【解析】因为∠1–∠2=∠2–∠3，所以∠1＋∠3=2∠2. 又因为∠1＋∠2＋∠3=180°，所以 3∠2=180°，∠2=60°. 故答案为：60°.
22. 【答案】114

23. 【答案】∠AOB；∠AOC 或∠BOC
【解析】（1）因为 OC 平分∠AOB，所以∠AOC= 1 ∠AOB；
2
（2）由角平分线的定义知，若∠AOB=2∠AOC 或∠BOC，则 OC 为∠AOB 的平分线． 故答案为：（1）∠AOB；（2）∠AOC 或∠BOC．
24. 【解析】（1）图中∠AOD 的补角是∠AOE，∠AOC 的余角是∠BOC，故答案为：∠AOE，∠BOC；

（2）因为∠AOC=35°，∠AOB=90°，

所以∠BOC=∠AOB–∠AOC=90°–35°=55° ，

因为 OB 平分∠COE，

所以∠BOE=∠BOC=55°，

所以∠BOD=180°–∠BOE=180°–55°=125°.

25．【解析】（1）∠MOC=∠MON–∠BOC=90°–65°=25° ，故答案为：25°；

（2）因为 OC 是∠MOB 的平分线， 所以∠MOB=2∠BOC=2×65°=130° ，
所以旋转角∠BON=∠MOB–∠MON=130°–90°=40° ，

26．【答案】140°

【解析】因为直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，所以∠EOB=90°，

因为∠EOD=50°，所以∠BOD=40°，则∠BOC 的度数为：180°–40°=140° ．故答案为：140°．

27．【答案】150°42′

【解析】因为∠BOC=29°18′，所以∠AOC 的度数为：180°–29°18′=150°42′．故答案为：150°42′．

28．【答案】145

【解析】180°–35°=145° ，则∠α 的补角为 145°，故答案为：145．