二次函数易错点剖析.doc

二次函数常见错解示例
一、忽略二次项系数不等于0
例1已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围
是（　）
（A）k ＜3 (B) k＜3 且k ≠0　(C) k ≤3 　(D) k≤3 且k ≠0
错解:选C.由题意,得△=－4 k×3≥0,解得k≤3,故选C.
错解分析:当k=0时,二次项系数为0,此时原函数不是二次函数.欲求k的取值范围,须同时满足:①函数是二次函数;②图象与x轴有交点,上面的解法只注重了△≥0而忽略了二次项系数不等于0的条件.
正解: 选D.由题意,得△=－4 k×3≥0且k ≠0,即k≤3 且k ≠0,故应选D.
二、忽略隐含条件
例2如图,已知二次函数的图象与y轴交于点A, 与x轴正半轴交于B,C两点,且BC＝2, ＝3,则b的值为(　　　)

（A）-5　　　(B)4或-4　　　 (C) 4　　　(D)-4
错解: 选B.依题意BC＝2, ＝3,得点A(0,3),即c＝3.又BC＝2,得方程的两根之差为2,故,解得b=±4.故选B.
错解分析:上面的解法忽略了“抛物线的对称轴x＝-在y轴的右侧”这一隐含条件,正确的解法应是同时考虑-＞0,得b＜0,∴b=4应舍去,故应选D.
正解: 选D.
例3 若y关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值是多少？
错解：因为函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，而其中与y轴有一个交点(0,a)，则与x轴就只有一个交点，所以关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式[-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-.
错解分析：本题关于函数的描述是“y关于x的函数”，并没有指明是二次函数，所以需要分“y关于x的一次函数”和“y关于x的二次函数”两种情况进行讨论.
正解：当函数y是关于x的一次函数时，a=2,函数的解析式为y=-3x+2，函数图象与y轴的交点坐标为(0,2)，与x轴的交点坐标为(,0).所以a=2符合题意.
当函数y是关于x的二次函数时，函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与y轴有一个交点(0,a)，与坐标轴共有两个交点，所以与x轴只有一个交点，则关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式
△=[-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-.
而当a=0时，与y轴的交点为原点，此时，y=-2x2+x与x轴还有一个交点(,0).
综上可得a=2或a=0或a=-.
三、忽略数形结合思想方法的应用
例4 求二次函数y=+4x+5(-3≤x≤0)的最大值和最小值.
错解:当x=-3时,y=2; 当x=0时,y=5;所以，-3≤x≤0时,=2,=5.
错解分析:上面的解法错在忽略了数形结合思想方法的应用,误以为端点的值就是这段函数的最值.解决此类问题,画出函数图象,借助图象的直观性求解即可.
正解:∵y=+4x+5= +1,∴对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,1),画出大致的图象,如图是抛物线位于-3≤x≤0的一段,显然图象上最高点是C,最低点是顶点B而不是端点A,所以当-3≤x≤0时, y最大值为5, y最小值为1.

四、求顶点坐标时混淆符号
例5 求二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标.
错解1 用配方法
y=-x2+2x-2=-(x2-2x)-2
=-(x2-2x+1-1)-2
=-(x2-2x+1) -1=-(x-1) 2 -1
所以二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标为(-1,-1).
错解2 用公式法 在二次函数y=-x2+2x-2中，a=-1，b=2，c=-2，
则，
所以二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标为(-1,1).
错解分析：二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),即横坐标与配方后完全平方式中的常数项互为相反数，而非相等，也就是说不是(-h,k).二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-,)，横坐标前面带“-”，纵坐标的分子为4ac-b2,不要与一元二次方程根的判别式b2-4ac混淆.另外，把一般式转化为顶点式，常用配方法，如果二次项系数是1，则常数项为一次项系数一半的平方；如果二次项系数不是1，则先提出二次项系数（注意：不能像解方程一样把二次项系数消去），使括号中的二次项系数变为1，再对括号中进行配方.
正解：（1）用配方法
y=-x2+2x-2=-(x-1) 2 -1
所以二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标为(1,-1).
（2）用公式法 -，
所以二次函数y=-x2+2x-2的顶点坐标为(1,-1).
五、忽视根的判别式的作用
例6 已知抛物线y=-x2+(6-)x+m-3与x轴有两个交点A，B，且A，B关于y轴对称，求此抛物线解析式.
错解：因为A与B关于y轴对称，所以抛物线对称轴为y轴，即直线x=-.
解得m=6或m=-6.
当m=6时，方程抛物线解析式为y=-x2+3.
错解分析：抛物线与x轴有两个交点为A，B，等价于：相应的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以b2-4ac>0.如果忽视根的判别式在解题中的作用，就不能排除不符合题意的解，扩大了解的范围，导致错误.
正解：因为A与B关于y轴对称，所以抛物线对称轴为y轴，即直线x=-=- ，解得m=6,或者m=-6.
当m=6时，抛物线解析式为y=-x2+3.
此时，b2-4ac=02-4×(-)×3=6>0，方程-x2+3=0有两个不相等的实数根，抛物线y=-x2+3与x轴有两个交点，符合题意.
当m=-6时，方程抛物线解析式为y=-x2-9.此时，b2-4ac=02-4× (-)×(-9)=-18<0，方程-x2-9=0没有实数根，抛物线y=-x2-9与x轴有两个交点，不符合题意，舍去.
因此所求抛物线解析式为y=-x2+3.

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