单片机C语言求平方根.doc

在单片机中要开平方.可以用到下面算法:        
   算法1: 
   本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现，因为它不需要浮点运算，也不需要乘除运算，因此可以很方便地运用到各种芯片上去。 

我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。 
先看下面两个算式， 

x = 10*p + q   (1) 
公式(1)左右平方之后得： 

x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2) 
现在假设我们知道x^2和p，希望求出q来，求出了q也就求出了x^2的开方x了。 
我们把公式(2)改写为如下格式： 

q = (x^2 - 100*p^2)/20*p+q) (3) 
这个算式左右都有q，因此无法直接计算出q来，因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。 

我们来一个手工计算的例子：计算1234567890的开方 

首先我们把这个数两位两位一组分开，计算出最高位为3。也就是(3)中的p，最下面一行的334为余数，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值 

        3     ---------------     | 12 34 56 78 90        9     ---------------     |   3 34 
下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边： 

        3   q     ---------------     | 12 34 56 78 90        9     ---------------   6q|   3 34 
我们看到q为5时(60+q*q)的值最接近334，而且不超过334。于是我们得到： 

        3   5     ---------------     | 12 34 56 78 90        9     ---------------   65|   3 34     |   3 25     -------------           9 56 
接下来就是重复上面的步骤了，这里就不再啰嗦了。   

这个手工算法其实和10进制关系不大，因此我们可以很容易的把它改为二进制，改为二进制之后，公式(3)就变成了： 

q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4) 
我们来看一个例子，计算100(二进制1100100)的开方： 

       1   0   1   0     ---------------     | 1 10 01 00       1     --------------- 100| 0 10      | 0 00      ---------     |    10 011001|    10 01     ---------------             0 00 
这里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移两位，而由于q的值只能为0或者1，所以我们只需要判断余数(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小关系，如果余数大于等于(4*p+q)那么该上一个1，否则该上一个0。 

下面给出完成的C语言程序，其中root表示p，rem表示每步计算之后的余数，divisor表示(4*p+1)，通过a>>30取a的最高 2位，通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次<<1相当于4*p。程序完全是按照手工计算改写的，应该不难理解。 

unsigned short sqrt(unsigned long a){ 
   unsigned long rem = 0; 
   unsigned long root = 0; 
   unsigned long divisor = 0; 
   for(int i=0; i<16; i++){ 
     root <<= 1; 
     rem = ((rem << 2) + (a >> 30)); 
     a <<= 2; 
     divisor = (root<<1) + 1; 
     if(divisor <= rem){ 
       rem -= divisor; 
       root++; 
     } 
   } 
   return (unsigned short)(root); 
}   
算法2 :单片机开平方的快速算法 

因为工作的需要，要在单片机上实现开根号的操作。目前开平方的方法大部分是用牛顿 
迭代法。我在查了一些资料以后找到了一个比牛顿迭代法更加快速的方法。不敢独享，介 
绍给大家，希望会有些帮助。 

1.原理 
因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一个序列， 
其中[x]为下标。 

假设： 
    B[x],b[x]都是二进制序列,取值0或1。 
    M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow 
(2,0) 
    N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow 
(2,0) 
    pow(N,2) = M 

    (1) N的最高位b[n-1]可以根据M的最高位B[m-1]直接求得。 

    设 m 已知,因为 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <= 
pow(2, m/2) 
    如果 m 是奇数，设m=2*k+1, 
    那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1), 
    n-1=k, n=k+1=(m+1)/2 
    如果 m 是偶数，设m=2k, 
    那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1), 
    n-1=k-1,n=k=m/2 
    所以b[n-1]完全由B[m-1]决定。 
    余数 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2) 

    (2) N的次高位b[n-2]可以采用试探法来确定。 
    因为b[n-1]=1，假设b[n-2]=1，则 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2), 
2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)), 
    然后比较余数M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。这种 
比较只须根据B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判断，其余低位不做比较。 
    若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，b[n-2] = 
1； 
    余数 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] - 
(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)； 
    若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设无效，b[n-2] = 
0；余数 M[2] = M[1]。 

    (3) 同理，可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。 

使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把M的各位逐 
一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。 

2. 实现代码 
这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。 

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/****************************************/ 
/*Function: 开根号处理                   */ 
/*入口参数：被开方数，长整型             */ 
/*出口参数：开方结果，整型               */ 
/****************************************/ 
unsigned int sqrt_16(unsigned long M) 
{ 
     unsigned int N, i; 
     unsigned long tmp, ttp;    // 结果、循环计数 
     if (M == 0)                // 被开方数，开方结果也为0 
         return 0; 

     N = 0; 

     tmp = (M >> 30);           // 获取最高位：B[m-1] 
     M <<= 2; 
     if (tmp > 1)               // 最高位为1 
     { 
         N ++;                  // 结果当前位为1，否则为默认的0 
         tmp -= N; 
     } 

     for (i=15; i>0; i--)       // 求剩余的15位 
     { 
         N <<= 1;               // 左移一位 

         tmp <<= 2; 
         tmp += (M >> 30);      // 假设 

         ttp = N; 
         ttp = (ttp<<1)+1; 

         M <<= 2; 
         if (tmp >= ttp)        // 假设成立 
         { 
             tmp -= ttp; 
             N ++; 
         } 

     } 

     return N; 
}