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三维空间上凸函数的判定

刘 风
（宿州学院 数学系， 2005级数学与应用数学，安徽 宿州 234000）

摘要：本文从凸集入手，着力讨论空间上凸（凹）曲面的几何特征，并给出判定空间上凸函数的几个充要条件。
关键词：凸集；凸域； 凸函数;上图

1引 言
在数学分析里面，我们已经讨论了平面上凸函数的一些性质，但是对于多元函数却没有给出凸函数的定义及判定凸函数的充要条件。本文以空间为代表，讨论上凸（凹）曲面的几何特征，并给出判定其凸函数的几个充要条件。
2凸 集
定义2.1 设是任意一实线形空间，是的一个集合，如果对任意的以及，都有
， （1）
则称集合是凸集。
例2.1 设是任意一实线形空间，则对任意给定的非零向量以及实数，集合是上的一个凸集。
证明：显然有。令由于，故有，从而有
。
即得，由凸集的定义可知，是上的一个凸集。
定义2.2 若区域上任意两点的连线都含于，则称为凸域。即若是
上的凸域，则对任意两点以及对任意的实数，都有
。 （2）
显然，凸域为上的凸集，因此易推出凸域的以下基本性质：
1> 任意多个平面凸域的交集是平面凸域。
2> 任意多个平面凸域的代数并是平面凸域，其中对任意两个凸域与，代数并
定义为
。 （3）
3> 任取上的一个凸域，作到的一个线形映射，则是上的凸集。
3 上的凸函数
定义3.1 设为定义在凸域上的二元函数，若对任意两点以及实数，都有
， （4）
则称为上的凸函数。反之，如果总有
， （5）
则称为上的凹函数。
如果（4）（5）两式中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数与严格凹函数。
容易证明：若-为凸域上的凸函数，则为凸域上的凹函数，因此只需讨论凸函数的性质即可。下面将给出判定二元凸函数的几个充要条件。
定理3.1 设为定义在凸域上的可微函数，则为凸函数的充要条件是：对上任意两点，都有
。 （6）
证明：以及，设，其中。显然，由已知条件得
，
。
且有
，
。
将这些式子联立便有
。
即
。
从而由定义3.1知为上的凸函数。
设为凸域上的凸函数，则对上任意两点以及恒有
。
即得
。
令，则由题设条件知为内的连续可导函数，故由法则及复合函数求导法则得

。
从而必要性得证。
注<1>：定理3.1的几何意义在于：凸曲面总是在它的任一切平面的上方(图略)，这是可微凸函数的几何特征。
例3.1 若函数为定义在凸域上的可微凸函数，，则为的极小值点的充要条件是为的稳定点。
证明：由极值的充要条件知，必要性显然。
由为定义在凸域上的可微函数知，有
。
由为的稳定点知，进一步得
从而为的极小值点。
定理3.2 设为定义在凸域上的二元函数，则为凸函数的充要条件是：对上任意两点，函数关于为凸函数，其中的定义为
。 （7）
证明：，有，任取上两点
由的凸性知

。
故为上的凸函数。
以及，令
，
。
则有
，
。
从而由的凸性知

。
故函数关于为凸函数。
定理3.3 为凸域上凸函数的充要条件是：对上任意点及，有
。 （8）
证明：当时，以及且有
。
即
。
故为上的凸函数。
利用数学归纳法证明：当时，由定义3.1知命题显然。
假设时命题成立，即以及，都有
。
那么当时，现设，令
，则得，由数学归纳可知

。
从而对任意正整数，不等式（8）恒成立。
定理3.4 设为定义在凸域上的二元函数,定义的上图
， （9）
则为凸函数的充要条件是：在乘积空间上为凸集。
证明：设是上的凸集，则以及
，有
。
即
。
则
。
故为上的凸函数。
设为上的凸函数，则以及，
由的定义知
。
又由的凸性知
。
因而有
。
即
。
故在乘积空间上为凸集。
例3.2 设为任意指标集，是凸集上的一簇凸函数，则为上的凸函数。其中定义为
。 （10）
证明：容易验证，由定理3.4知，对任意，都有为凸集，则也为凸集，故有为凸集。再由定理3.4可知，为上的凸函数。
定理3.5 设为定义在凸域上的可微函数，且在上具有二阶连续偏导数，则为上的凸函数的充要条件是：对上任意点，都是正半定的。
证明：由泰勒定理知，对上任意点，存在
使得
（11）
设对任意点都是正半定的，则有
。
由（11）式得

。
故由点的任意性和定理3.1知为上的凸函数。
假设存在一点，使得为负定的，则且
，有
。
由的二阶偏导数的连续性知，，使得，恒有
。 （12）
令且，显然有
，由（12）式得
。
同时也有
。
由（11）式得
。
故由定理3.1知上的严格凹函数，这显然与题设矛盾，所以对任意点，都是正半定的。
注<2>:对于定理3.2与定理3.5，上的凸函数无此结论。
4结 语
本文主要给出了判定上凸函数的五个充要条件，其实在此基础上还可给出严格凸函数与一致凸函数的定义及性质，并可将这些结果推广到维线形空间，由于篇幅所限，故在此不做深入讨论。另加说明，在经济学分析中经常会用到凸分析中的非光滑分析知识，而凸函数却在其中占有非常重要的地位，因此对凸函数的研究无论是在理论上还是在实际应用上都具有十分重要的意义。
参考文献：
[1]游兆永，龚怀云，徐宗本.非线形分析.西安：西安交通大学出版社，1986
[2]Wendell H.Heming(美).多元函数（上）.北京：人民教育出版社，1981
[3]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.北京：高等教育出版社，1980

The Conclusion of Convex Functions in
LIU Feng
(Department of mathematics,mathematics and applied mathematics in
2005 of Suzhou College,Suzhou Anhui 234000)
Abstract:The article begins with convex set,it makes efforts to discuss the
geometric characteristics of conxex(concaxe) surface in the three dimensional
space,and gives several necessary and sufficient conditions of concluding the
three dimensional convex function.
Key words:convex set;convex field; convex function;epigraph