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力学竞赛理论力学部分练习题
一、 四叶玫瑰线
你能一笔画出图示曲线吗？如图所示为一四叶玫瑰曲线，其极坐标表达式为。请你进行分析计算和设计：
（1）写出图示四叶玫瑰线的直角坐标表达式；
（2）利用理论力学知识设计一种机构来画出这一曲线。

题2图
解：（1）对于四叶玫瑰曲线，在直角坐标系中可写成（图3-1）

将代入上式，得 （1）
利用三角函数的积化和差公式

可得 （2）

图3-1 图3-2
（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮在固定内齿轮内作纯滚动，其中内齿轮的半径为，小齿轮的半径为，画笔所在点离小齿轮圆心的距离为。随系杆的转动，其点的轨迹为

利用小齿轮的纯滚动条件，有，代入上式可得

作变换，令，上式可改写为
（3）
对照式（2）和式（3）中的系数，有
， ，
联解之，得
， ， （4）
做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出的四叶玫瑰曲线。

二、 手指转笔
在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小；
（3）给出笔与手指间的摩擦因数随长度变化应满足的条件。
手指转笔的刚体简化模型：如题2图所示，设手指为半径为的圆柱，笔为一回转半径为的细直杆（对质心C转动惯量为）。设手指保持不动，开始时笔在距质心C距离为的A处与手指相切，初角速度为，设，且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。（江苏技术师范学院）

题2图
解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒，。
（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点（圆柱上的点），此时杆绕旋转的角速度为，质心C与A距离为。杆对A的转动惯量为，依题意，A为杆此刻的速度瞬心，由机械能守恒可得

故 （1）
设杆受压力和摩擦力，如图4-1（a）所示，，分别为质心加速度的径向和切向分量，为杆转动的角加速度。

（a） （b）
图4-1
点加速度，由指向，且点的加速度无切向分量，而由基点法可知
（2）
方向如图4-1b所示，其中 ，。代入式（2）后，投影得
， （3）
根据刚体平面运动微分方程，可列出
（4）
联立求解式（3）和式（4），可得
（5）
（6）
（3）、分析摩擦因数应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数应满足
（7）
因 ，对，有，（）。则

故
三、小虫在转盘上爬行
一光滑水平面上的圆盘，中心O用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为。在圆盘上P点有一个质量为的小虫，处于静止状态，如题（a）图所示。小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。请你分析计算。
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）在时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图（b）所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。
（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。（江苏技术师范学院）

（a） （b） （c）
题3图
五、小虫爬行问题解答
解：(1) 关键词：点的合成运动，动量矩守恒。
（2） 取小虫为动点，定参考系，动参考系固连在转盘上，与转盘一起转动。
根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴O的动量矩守恒。设在时刻，为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度），为小虫相对于转盘参考系的速度，转盘的角速度为，为小虫相对于定参考系的位矢，为小虫相对于动参考系的位矢，牵连速度。
根据点的速度合成公式，有
（1）
由于系统对转轴的动量矩守恒，有
（2）
在此问题中，，可以得到

进一步有
（3）
设与的夹角为，则上式可以化为
（4）
所以，转盘转过的角位移为
（5）
将式中的用小虫在动参考系中爬行的路程表示，可得转盘转过的角位移为
（6）
若用极坐标描述，有
（7）
则式（6）可表示为
（8）
从以上可知，转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。
（3） 当小虫爬行的轨迹为圆弧时，有

代入式（8），得
（9）
当小虫沿圆弧爬行一周时，将代入上式，可得转盘转过的角度为
（10）

四、四两拨千斤（南京工程学院）
中国武术中有“四两拨千斤”的招式。请你分析一下：
（1）“四两拨千斤”与力学中的什么内容有关系？
（2）试用力学原理简要解析一下“四两拨千斤”的关键所在？
（3）试分析图示拔桩装置的力学原理。
解：（1）力的合成
（2）“四两拨千斤”是用很小的力去改变一个很大的力的方向。

设需改变的力为，用的力为，两力的合力为。为有效的改变力的方向，使合力与间的夹角为最大。以小力为半径画一圆，如上图示，由的起点到圆的切线方向为合力与原力间的最大值。与切线垂直的半径方向为小力的最有效方向。
当时，
可认为需施加的力与原力方向垂直时作用的效果最为明显。
（3）分析图示装置的力学原理
图示A、B两点的受力为两个力三角形如图示

，
则：
当较小时，很大，即可用很小的力拉动很大的力

五、自动向上滚的论子

（1）与力学相关的内容
重力做功
（2）力学原理解释轮子上滚的原因
由于轨道与轮子形状特殊，保证轮子的重心在轨道低处时比在高处时高，重力做功时得轮子向上滚。
（3）求直轨道和轮子的尺寸及夹角的关系
设有效轨道的最低处为A ，最高处为B ，其高度分别为、，两端的水平距离为，以表示轮子在轨道A、B处与两侧轨道接触点之间的距离。

有上三图：
轮子在A处其重心到轨道底部距离：
轮子在B处其重心到轨道底部距离：
由图三： （1）
由图（1）（3）： （2）
轮子在A、B处重心的高度差：

当，即轮子的重心在最低处大于在轨道处的最高处，轮子向上滚动。即满足：

且：

六、难中的奖

七、火车过桥
建筑工程中常用的钢筋混凝土结构，在设计上希望钢筋承受拉力，混凝土承受压力今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，如图（）所示。在使用中出现了险情：列车通过时跨中挠度超出了设计要求。有人说：这好办，只要中间部位再加一个桥墩就行。请问：
（1） 该问题与力学中的什么内容有关系？
（2） 试分析一下加桥墩方案是否可行？为什么？（列车通过时可按均布荷载考虑）
（3） 请你提出一个可行方案来，并说明理由。（淮海工学院）

解：（1）关键词：梁的弯曲变形，弯矩，超静定。
（2）不可行。此结构变成如图（b）所示超静定结构，若设桥的跨度为2L 载荷集度，抗弯刚度为。则按力法求解得：B点弯矩为（上侧受拉）。由此可见：混凝土上表面出现拉应力，这与设计上混凝土承受压力相矛盾，所以，在中间加一桥墩的方案不可行。
（3）可以考虑所加桥墩与桥底面有一间隙a的办法，如图（c）所示。
首先要求 ； 其次按支座移动求解如图（d）所示。力法方程为：，得
解得：
所以：
即所设计的间隙为：

八、四人追车
平直轨道上有一节质量的车厢，速度为，车厢与铁轨间摩擦可以忽略。有4个人列队前行，前两个人质量同为，第3个人质量为，第4个人质量为。当前两个人发现车厢后，以速度2追上车厢并且登上去坐下。第3个人发现较晚，但是也以2.2 的速度追上登上去坐下。第4个人发现最晚，但最后还是以1.15 速度追上去刚好登上了车厢。根据以上条件，回答下下列问题：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2），与有没有关系？如果有关系，请找出它们与的关系。
(3) 如果其它条件不变，第4个人的质量增加，登上车厢后坐下，对车厢的速度影响有多大？（淮海工学院）
（1）动量守恒。
（2）假设第3个人登上去坐下后，车厢的速度为u，
根据动量守恒：
得
又
由上面两式得：
m4与m没有关系。
（3）假设第4个人登上去坐下后，车厢的速度仍然为，所以如果其他条件不变其的质量对速度没有影响。

V0

M m m m3 m4
九、魔术表演
利用一无底的薄壁圆桶（设半径R），再找两个乒乓球，如果满足就可以进行魔术表演了：把两乒乓球如图所示放在圆桶内，那么有时候圆桶会翻倒，有时候不会翻倒。（淮海工学院）

1、 为什么要满足
2、 假设圆桶重Q，球重P，圆桶不翻倒需要满足什么条件？
3、 要使得圆桶有时候翻倒，有时候不翻倒，这里面有什么“机关”？
解1、，保证球可以放入桶内。，保证两球重心不在一水平线，从而产生翻倒力矩。

2、整体受力如图，在临界翻倒的情况下，应有NA=0，对B取矩，有

取两球为研究对象，可得

联立求解，可得：

故要使得圆桶不翻倒，必须满足
3、 魔术的机关在于：2个乒乓球的重量不一样，一个是普通的乒乓球，一个是注水的乒乓球。表演魔术时，如果先放空心乒乓球再放注水乒乓球，圆桶就会翻倒，若先放注水乒乓球再放空心乒乓球，圆桶不会翻倒。
要满足的条件：根据2的结果，注水乒乓球的重量
十、绊马索
古代战争中，绊马索常用于拦截敌方的骑兵队伍。下图为一隐蔽在树林中的绳索，两端系于树根部。当敌方的骑兵向绊马索的中部冲杀过来时，坐骑可能会被绊倒。若设绳索的弹性模量为，强度极限为，系于两树之间的长度为，横截面积为。试问：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）绳子中部的变形量与冲击力的关系？
（3）若绳索的初始张力为，坐骑与士兵的总质量为。试问，要想冲断绳索，骑兵的极限速度至少为多少？（南京理工大学）

解：
（1） 冲击问题，强度问题
F

F
L/2

（2）

，=，
=，得到

（3）能量守恒
，
，
故极限速度

十一、飞鸟栖木（南京理工大学）
质量为的鸟以与圆木垂直的水平速度站到了圆木的一头。圆木的质量为，长度为，位于结了冰的湖面上。。
（1） 若要求圆木的运动规律，将使用什么力学原理？
（2） 鸟与圆木一起运动时，圆木的质心速度是多少？
（3） 鸟与圆木一起运动时，圆木运动的角速度是多少？

解：
（1）动量守恒，动量矩守恒，
（2）动量矩守恒，
质点系质心坐标由质心坐标计算公式确定，由平行轴定理确定
，，
（3）动量守恒，，圆木质心G速度

C
ω
G

十二、摆钟调准
某人在新加坡购买一高档精密挂钟，带回北京后发觉时间不准了，经过钟表店仔细检查，发现无任何质量问题，十分迷惑。后经多方打听，终于找到一钟表专家将其。问：
（1）该问题涉及何力学原理？
（2）在北京该挂钟每天与标准时间相差多少秒？（已知：新加坡纬度为，北京纬度为，地球半径为6370km，南北两极处重力加速度）
（3）如何调整摆锤的位置？设摆锤与摆杆质量相同，分别视为均质圆盘与均质细杆，摆杆长为0.3m，摆锤半径为0.05m，摆锤可沿摆杆滑动。（南京理工大学）

解：
1） 非惯性参考系中质点动力学，振动。
2） 为当地纬度，为当地表观加速度。
每天比标准时间慢228.9秒。
3） 摆锤沿摆杆上移约2mm。

十三、一个小孩在平面上沿一曲线行走，此曲线由两个时间的函数X(t)和Y(t)确定．假设小孩借助长度为a的硬棒，拉或推某玩具，试推导玩具满足的微分方程；（常州工学院）

十四、一梯子AB架在墙与地面之间，当未处于临界状态时，梯子两端所受的来自墙或地面的反力与其摩擦力如图2所示．对于这样一个平面力系，如何用平衡方程求这4个未知力? （常州工学院）

十五、神奇的“不倒翁”

十六、滚动圆环的力学问题

十七、图示悬臂刚架的横梁上的中间有一重P的物体，与横梁之间存在摩擦角为，今有一个人重P，向上跳高后落在自由端处，使得重物正好产生滑动。问
（1）该问题与力学中的什么内容有关？
（2）物体与横梁之间摩擦因数为多少？
（3）在考虑物体滑到自由端的时间时，还需要注意到什么问题？（江苏工业学院

十八、现有一个半圆薄壁筒，平均半径为，质心在C点，且处。
（1）无任何计时仪器，能否利用这个半圆薄壁筒来估算自己的脉搏跳动情况？
（2）如果不能，请说明原因；如果能，请给出相应的原理。
（3）为方便估算脉搏跳动次数，请给出的一个数值。（江苏工业学院）

十九、奇妙的舞蹈
A0
C0
B0
三名舞蹈演员在舞台上（当作平面上三点）组成一正三角形（边长为a）。音乐一开始，每一演员即朝向右侧的另一演员以常速率缓v慢前进，如音乐时间足够长，问：
（1）三名演员有没有可能相遇？
（2）如相遇，每个演员共转过多少转？
3）演员走过的轨迹是什么曲线？

二十、神奇的圈操（中国矿业大学）
艺术体操运动员有在进行圈操表演时，使圈高速转动，并在地面上向前抛出，不久圈可自动返回到运动员跟前。假定圈为均质圆环，质量为m，半径为r。试对圈的运动进行分析：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）圈的运动有几种形式？
（3）需要满足什么条件，圈才能返回，其返回的速度是多少？
（4）若在圈的出发点有一高为h(h
二十一、一重F置于有四条腿的边长为a的正方形桌面上的一点（如图），求每条腿上的压力。桌面可视为刚性。（中国矿业大学）

二十二、设计一辆赛车,使它能在由静止发动时,获得可能的最大加速度.我们假定赛车的发动机施加确定的很大的转矩于后轮,我们的问题是要确定赛车的最佳重量分布.需要考虑的作用于赛车的外力有(1)重力；（2）轮子上支持赛车的法向力；（3）摩擦力。图示给出了赛车的草图。
其中赛车的重心C的高度位置h确定,需要确定重心到后轮中心的距离。（中国矿业大学）

600
600
10m
8m
图 8－2
图 8－1

二十三、分析计算题：如何逃离大坑

地面有一圆锥台形的大坑（图8－1），见图8－2，底面直径为8m，深10m，坑壁倾角600。现假设有两人落入坑中。
（1） 若人与坑壁的摩擦因数为1.0，请问两人是否可以沿坑壁爬上地面，为什么？（需作必要的计算）。
图8－3
12m
12m

图8－4
图8－5
10m

图8－6

（2）如给他们两张梯子（图8－3）、两个销钉（图8－4）、两块板（图8－5）和一根带有弯钩的伸缩杆（图8－6，长约4～6m）。梯子两端都有圆柱形孔（孔径略大于销钉的直径）。假设它们的质量都不计，梯子、板、坑壁之间的摩擦也不计，人与梯子、板之间有摩擦，摩擦因数为0.8。问两人利用这些工具是否可以离开坑到达地面？要说明过程及符合哪些力学原理。（给出2种或2种以上方法本小题才能得满分）
（3）两人是否可以不借助于任何工具，各自离开坑到达地面。要说明方法和作必要的计算。给出一种可行方法即可。
（本题人的几何尺寸不考虑）（命题人：河海大学）

二十四、分析计算题
边长4米的正方形房间，初始时刻四角各有一只臭虫。其中A、C为雄性，B、D为雌性。A相中了B，B相中了C，C相中了D，D相中了A。它们同时以每小时1米的速度向自己的意中虫爬去，且眼里只有“我的那个它请计算：
（1）多长时间后，它们能聚在一起，讨论它们之间的事。
（2）当夹角为θ时，A虫到中点的距离r。
（3）在夹角为θ处，A虫爬行轨迹的曲率半径ρ。（河海大学）

r
θ
A
B
C
D

二十五、大家在日常生活中通常遇到这样的情景，如果没有打开瓶盖的起子，当然可用牙齿咬开，也可以把瓶盖挨着桌子，猛击瓶盖而打开它．但这两种方法都不太好：前者不太卫生，易损坏牙齿；后者易损坏桌子，有时甚至会击碎瓶口，使手受伤．下面的方法则较文雅也方便．如图左手拇指紧压住瓶盖，其余四指紧握住瓶颈且靠近瓶盖．右手抓住筷子的一头，另一头夹在瓶盖与手指之间，然后右手向下用力，一般很容易就打开了瓶盖。（20分）
(1)本问题与力学中的什么内容有关系?
(2)若筷子弯曲太大如何处理?
(3)右手上用的力与瓶盖上所受力的关系? 若右手向下用力过猛，筷子何处最易折断？

二十六、一天，师傅欲检验徒弟知识的灵活应用能力，准备了半径分别为、两齿轮、，小齿轮可在大齿轮内作纯滚动，小齿轮上有偏心点，其偏心距为。要求徒弟根据给定的材料设计一套简单的机构，绘制精美的几何图形。聪明的徒弟很快领会师傅的意图，将大齿轮固定，小齿轮的偏心点处安装画笔，如图1示，当小齿轮在大齿轮内滚动时，画笔下出现了精美的几何图形。（40分）
下面的问题交给聪明的你，相信你能解答
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）求出偏心点（画笔）的轨迹方程，图形的几何形状与何参数有关？当图形曲线退化为直线时，机构参数满足何关系?
（3）当几何图形为图2示的三叶玫瑰曲线时，机构参数与曲线方程中的参数满足何关系？

图1 图2

R

A
C
二十七、（碰撞）均质圆柱体质量为，半径为，沿水平面以角速度作无滑动滚动，与一高度为的直角台阶相碰撞，如图所示。若碰撞是塑性的，要求碰撞后圆柱体能始终保持接触地滚上台阶，求值的范围。（江苏大学）

二十八、（点的运动学）假想在平原上有一只野兔和一只猎狗，在某一时刻同时发现对方。野兔立即向洞穴跑去，猎狗也立即向野兔追去。在追击过程中，双方均尽全力奔跑，假设双方速度大小不变，方向可变。问：（1）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，求猎狗的运动方程和运动轨迹。（2）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，试确定猎狗的初始位置范围，使得猎狗在这一范围内出发，总可以在野兔进洞前追上它。（江苏大学）

二九、一辆四轮汽车如图1所示(侧视图),车身质量为m3,每个车轮半径为r,质量为m,车重心距前后轮轴距离分别为l1和l2地面的静摩擦系数为ms,从车身传递给后轮的力矩为M0使车辆向前运动,试问
(1) 此问题与力学中什么内容有关?
(2) 设车辆向前运动时车轮保持纯滚动,用功能原理计算车辆的加速度,若要车轮保持纯滚动,最大M0为多大?

（3）假设车辆在一半径为R的水平圆轨道上行驶,在图2示位置的速度为v,切向加速度为at， 试确定车辆前后轮各所受横向力总和(为了计算方便，设车辆重心距问前后轮轴距离相等都等于d)。
（4）当车辆高速拐弯时，车辆会出现两种危险情况，一是车辆因轮胎与地面间摩擦力不足引起的侧滑甩尾，二是车辆向一侧翻滚，试从力学方面针对每种情况提出一种有利于改善的方法或措施，并简述原理。（南京林业大学力学）

三十、为不使自行车在雨天行驶时车轮带起的泥水落到骑车人的身上，在车轮上方周围设有挡泥板。在设计挡泥板时，从经济角度考虑，应使挡泥板短一些，以节省材料。为方便设计，假设自行车以最大设计速度v在水平地面上匀速行驶，车轮作纯滚动，后轮的半径为R，需防护的区域如图中阴影线表示，该区域左边缘距后轮轴的水平距离为l，下边缘距地面的高度等于后轮的半径R ，如图所示。不考虑空气阻力。（南京航空航天大学）
（1）本问题于力学中的什么问题有关？
j
o
l
v
（2）设计自行车后轮的挡泥板后缘的位置（用图示的j角表示）应满足的方程。

三十一、神奇的木棒（河海大学常州校区）
如图1.1所示，把一根均质等直木棒的两端，放在两手的食指上。现在沿水平方向慢速移动两个手指，直到合并在一起为止。非常奇怪两个手指总不同时运动，且最终碰在一起的时候，木棒保持静止，并没有掉下来。
设木棒与手指间的静摩擦因数，动摩擦因数，棒长，手指可视为圆柱体。

图1.1
图1.2
（1）请分析上述现象与力学中的什么内容有关系？
（2）试说明两个手指各自的运动规律及原因，求出手指的停留位置。停留位置与两手指的初始位置有关吗？
（3）如果不用木棒，而是改用刷子（图1.2），再做一次实验，也能得到同样的结果。如果在两个手指碰在一起的地方把刷子切成两段，再把它们各放在天平的一头，天平的状态如何，为什么？
（4）如果两个手指不移动，而是绕各自轴线转动（图1.3），试求木棒的运动方程。设手指边缘点的速度大小为，手指中心距，木棒初始静止，木棒中心位于两手指连线中点偏右距离处。假设手指可以持续转动。

图1.3

三十二、迷人的曲线 （河海大学常州校区）
如图4.1所示，绘图装置由小齿轮和大齿圈构成，设半径分别为r和R，轮心分别为O1和O。E是小齿轮上任意位置处的一个小孔，距离O1为。将绘图装置放在白纸上，大齿圈不动，小齿轮和大齿圈始终啮合，E孔中插入笔芯绘图。

图4.1
图4.2
请分析：
（1）所绘曲线可能是圆吗？若是，则给出条件；不是，则说明理由？
（2）如果笔芯所绘曲线长度足够的话，该曲线是否一定封闭？试说明理由。若所绘曲线是封闭的，其周期是多少？
（3）绘出图4.2所示曲线的条件是什么？
（4）如果笔芯插在O1处，以匀速运动。为大齿圈上的固定啮合点，某瞬时与夹角为，求固定点相对于小齿轮的速度和加速度的大小。
三十三、1995年10月28日，在我国四川奉节，长江三峡最为险峻雄伟的瞿塘峡夔门，加拿大高空王子杰伊·科克伦在毫无安全保护措施的情况下，手握银色长杆，身着蓝色演出服，在峰峦沟壑的壮美中，居高临下375米，踩着直径3厘米的钢丝，随着悠扬的音乐声，信步纤云，创造了一个精美的神话。他仅用了53分钟，从北岸到南岸，走完了640米，成为人类走钢丝横跨天堑的第一人。（南通大学）
(1) 空中走钢丝，若把人的各肢体与横杠一起看成是一个刚体的话,其运动形式可以分为哪几种？
(2)如果科克伦的力学模型可以用下示倒立摆，假设科克伦的体重约70千克，身高约1.8米，设他的重心至钢丝Ｏ的距离h＝1.2m；平衡杆重27千克，长12米，杆至脚距离也为1.2米，试分别计算人和杆相对于Ｏ轴的转动惯量？
(3)试根据动能定理计算科克伦从0.5度偏摆到5度，持杆时所需时间约为不持杆的多少倍？

三十四、在如下坐标系中（其中z轴为竖直方向），有两根轨道，其参数方程为：1-2：

1’-2’
其中，为正常数，参数。

从图上看来，在轨道处，最低；在轨道处，最高。
（1）请设计一个轴对称机构，使它能够由静止从轨道最低处作纯滚动滚至最高处。
（2）如果一个轴对称机构能停在轨道上任意一处，请设计出此物体的形状。（南通大学）
三十五、单炮多发同时弹着问题（解放军理工大学）
用同一门火炮依次发射数发炮弹，同时落达同一个目标的射击方法称为单炮多发同时弹着法。我军炮兵英雄赵章成曾经在实战中创造过手持迫击炮在运动中两次射击，同时命中同一目标的奇迹。试问：
1、 这里面涉及到那些力学问题？
2、 不考虑空气阻力与风力、地球自转影响，假设用迫击炮在运动中射击，炮弹发射时出口速度v0，目标与两次发射点均在同一水平面上，距离为L，人的运动速度vR，迫击炮最小发射时间间隔 Δt。求两次发射倾角间的关系。
3、 当用大口径线膛炮实现单炮多发同时弹着时，发射点不变，可以靠调节射角，也可以靠不同的装药来实现不同的炮弹初速。设目标与发射点距离为L，高差h，火炮有不变射角α，第一次射击炮弹初速v1。不考虑空气阻力与风力、地球自转影响，求第二次射击时的炮弹初速v2和两次发射的时间间隔Δt。

v0
h

α

L

三十六、李元霸的力量有多大？（解放军理工大学）
据《说唐》描写，天下第一条好汉李元霸曾将一对千斤铁锤掷向天空，试图打击雷公，结果铁锤过了两个时辰才落下来，反将李元霸砸死。请计算并回答以下问题。
1、 一个时辰为两个小时，假设地球上空的重力加速度均为10米／秒2（地球自转与空气阻力不考虑），试问铁锤上升的最大高度为多少千米？铁锤从李元霸手中飞出时的初速度为多少？
2、 假设铁锤从静止到飞出的加速距离为2米，试问李元霸在此过程中的平均投掷力为多少？李元霸当时是骑在马背上掷铁锤的，假设每个马蹄的平均面积是100平方厘米，战马站立在抗压强度相当于C30混凝土（抗压强度为10.3MPa）的岩石地面上，地面能否支撑住马蹄？如果地面更换为16锰钢（抗压强度为230 MPa），试问能否支撑？
3、 考虑到地球自转的影响，铁锤能砸死原地不动的李元霸吗？如果不能，假定事情发生在北纬450附近，铁锤将落在他的身边何处

三十七、圆环中的细杆（解放军理工大学）
在光滑水平面上内有一半径为R的圆环绕圆心O转动，质量为m，长为l的均质杆AB的A端铰接在圆周上，B端搁置在圆环内壁上，图示瞬时圆环的角速度为ω，角加速度为α。
4、 试画出此时AB杆所受全部主动力及虚加惯性力。
5、 当α与ω反向时，有人说：“将动系固结在圆周上，于是AB杆将以α相对于动系运动，从而可得B点的相对加速度。”这样对吗？仅用运动学方法能求出B点的加速度吗？
6、 若此时当α与ω反向时，求B点的加速度。

三十八、某杂技团作飞车走壁表演，设车由点开始沿路径运动，路径的段为一圆的缺口，而，不计摩擦。（25分）（徐州工程学院）
（1）小车在段运动时与力学中的哪些知识相关？
（2）问高度应为多少才能使小车越过缺口循上述路径运动？
（3）又如欲使值为最小，则角应为若干？

　题一图
三九、人们常可见到这样的杂技表演：一人躺在地上，身上压着一块石板，另一人挥铁锤击石板，石板破了而其底下的人却安然无恙。（25分）
(1)请指出这一表演中所包含的力学概念（或力学问题）。
(2)如果铁锤的质量为，击石头时的速度为，石头的质量为，两者间的恢复因数为，碰撞的能量损失为多少？
(3)如果铁锤与石板的恢复系数.k=0.5,铁锤=5kg， ＝75kg，被表演者吸收转变为身体的变形能的能量为多少？（徐州工程学院）
四十、的横截面面积为A，弹性模量为E，缠绕挂在一端固定的轴上，重量为P的物体挂在绳索的一端，同时用一个刚好足以阻止重物下落的水平力F将绳索压紧在轴上。已知绳索与轴的静摩擦因数为，试求力F的值。（南京工业大学）

四十一、蜘蛛人用蜘蛛丝分挂在相距20公尺的大楼墙壁A, B两点, 试图停止一辆刹车失灵急驶中的高架轨道电车, 蜘蛛丝的弹力和伸长量的关系如图左, 电车速度大小与位移的关系如图右, 请估算电车和乘客总质量为多少? 请写出你的估算依据那些假设条件?

解答:
因为没有刹车,近似认为蜘蛛丝的变形能全部转化为使得电车停止的能量.

图形下方的面积

解得：解答:

四十二、如图所示,一个理想立方几何形状的太空船,位于两相邻面上的火箭推进器产生如图的两个力矩.太空船上还有两个附加的推进器,使得太空船平衡.每个推进器的推力大小为10N.请问应如何放置附加推进器
解答：设推力

四十三、乒乓球运动是大家喜闻乐见的体育活动,国际乒联为了增加乒乓球比赛的观赏性,希望降低乒乓球的飞行速度,将比赛用球的直径由原来的38mm增加到40mm,以增加小球飞行的时间那么飞行时间比原来增加多些呢? （曹庆伟，简述乒乓球直径增加后的时间变化）
解答：根据国际乒联的规定，增加小球的直径，但不增加小球的质量.为了简化讨论，设空气对球的阻力与球的直径平方成正比，并且球沿水平方向做直线运动。设扣杀时乒乓球的初速度为v0，末速度为vt，平均速度为，从球案的一端到另一端飞行的距离为s ，设乒乓球的直径为d ，则
空气的阻力：
根据动能定理：

又因平均速度：
所以：
得到：正比于 则乒乓球直径增加前后的比值：

设： 则：
根据乒协调研组提供的资料，扣杀38mm乒乓球时，击球速度约为26.35m/s，球的平均飞行速度约为17.8m/s。由于击球速度(也就是初速度)基本不随球的直径的变化而变化，所以40mm的乒乓球的击球速度也可以近似认为是26.35m/s。
即：
则：
解得：
注意到：
则： 时间增加了
四十四、两辆汽车匀速前进如图1所示，A车沿直线行驶，，B车沿圆周行驶，
，圆周半径为R。可以发现，A车上的乘客看到B车的运动与B车上乘客看A车的运动是不同的。请分析一下：
（1）本问题与力学中什么内容有关？
（2）利用力学知识分析A车上的乘客看到B车的相对运动和B车上乘客看A车的相对运动。
（3）我们知道，为什么A车上的乘客看到B车的运动与B车上乘客看A车的运动不同呢？苏州科技学院）
解：
（1）本问题与力学中什么内容有关？
关键词：点的运动分析
（2）a) 建立动坐标系与A车固结。如图1所示，根据向径的关系，有，其中就是A车上的乘客所看到的B车的向径，把向动坐标系投影有

利用计算机作图，若设R=1000m，可得到方程（1）的轨迹如图2所示。其中的小圆圈表示初始时的相对位置。建立动坐标系与B车固结（图3），根据向径的关系，有
其中就是B车上的乘客所看到的A车的向径，把向动坐标系投影有：

b) 在前面所给的参数下，可得方程（2）的轨迹为图4。
（3）我们知道，但为什么双方所看到的相对轨迹不同？这与矢量在不同坐标系的分解有关。

四十五、杂技演员使圆盘高速转动，并在地面上向前抛出不久圆盘可自动返回到演员跟前。请分析一下：
（1）本问题与力学中什么内容有关？
（2）利用力学知识分析一下圆盘的运动
解答：
（1） 本问题与力学中什么内容有关？
关键词：质心运动定理 动量矩定理
（2）利用力学知识分析一下圆盘的运动。
（苏州科技学院）
解 ：设圆盘在开始时盘心速度大小为，角速度大小为，以后为和，方向如图6.22a所示。圆盘半径为R，质量为M，它与地面的摩擦系数为μ。于是圆盘上与地面接触点的速度大小是。
第一阶段，。圆盘相对地面有向前（x的正方向）的滑动则摩擦力，指向负x方向，式中N=Mg。由质心运动定理；解得；时，盘心速度，以后圆盘将继续向前无滑动地滚动下去。显然的情况对应于圆盘可以自己滚回来的条件，由于导出必有；在这种情况下（图（b））,在时刻，等于零，圆盘开始往回滚。因此它所走的最远距离是。在时间间隔内，它连滚带滑地往回滚，以后就是无滑动地往回滚。（如果初条件给得很特殊，即，则将出现怎样的运动情况？）
由对质心的动量矩定理：；解得
这说明由于摩擦力的作用，圆盘的质心速度的大小*越来越小，转动角速度也越来越小。
第二阶段，从条件被满足的那个时刻开始，从此以后圆盘相对地面没有滑动，所以不再有摩擦力，又因为圆盘在水平方向没有其他外力作用，所以圆盘将以等角速度无滑动地滚动下去。 将曲线和曲线同画在一张图上（它们的正方向一正一反），是两条斜直线（图6.23）。两斜直线的竖直距离等于，既。两斜线在C点相交的时刻就是刚开始被满足的瞬时。由，解得；此时质心的速度大小为。可能有两种情况：（图6.23（a））或（图6.23（b））。 当并且时，圆盘与地面间有相对滑动，直到时，盘心速度，以后圆盘将继续向前无滑动地滚动下去。显然的情况对应于圆盘可以自己滚回来的条件，由此导出必有：，在（图6.23（b））情况下，在时刻，等于零，圆盘开始往回滚。因此它所走的最远距离是。在时间间隔内，它连滚带滑地往回滚，以后就是无滑动地往回滚。

四十六、海盗船上奇怪的大铁块

（东南大学）

四十七、攀梯子的学问

四十八、美丽的图案(南航金城学院)
我们常见到街头小贩卖一种结构简单的绘图工具，如图3-1，小齿轮O1可在大齿
轮上O内作纯滚动，小齿轮上有若干小孔。一手按住大齿轮，一手用一支笔插进不同的小孔(如图中E点)，转动齿轮，就可画出各种复杂的曲线。
如图3—2。你是否感到惊讶?利用你学过的理论力学知识解释之。试分析用此机构能否画三叶玫瑰线?(如图3—3)

四九、自行车中的